Teorema de Lie

En matemáticas, específicamente en la teoría de las álgebras de Lie , el teorema de Lie establece que, ^[1] sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, si es una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie resoluble , entonces hay una bandera de subespacios invariantes de con , lo que significa que para cada y i . ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {codim} V_{i}=i}$ ${\displaystyle \pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

Dicho de otra manera, el teorema dice que hay una base para V tal que todas las transformaciones lineales en están representadas por matrices triangulares superiores. ^[2] Esta es una generalización del resultado de Frobenius de que las matrices conmutativas son simultáneamente triangularizables superiores , ya que las matrices conmutativas generan un álgebra de Lie abeliana , que es solucionable a fortiori. ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$

Una consecuencia del teorema de Lie es que cualquier álgebra de Lie resoluble de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0 tiene un álgebra derivada nilpotente (ver #Consecuencias). Además, a cada bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V , le corresponde una subálgebra de Borel (que consiste en transformaciones lineales que estabilizan la bandera); por lo tanto, el teorema dice que está contenida en alguna subálgebra de Borel de . ^[1] ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Contraejemplo

Para cuerpos algebraicamente cerrados de característica p > 0, el teorema de Lie se cumple siempre que la dimensión de la representación sea menor que p (ver la prueba a continuación), pero puede fallar para representaciones de dimensión p . Un ejemplo lo da el álgebra de Lie nilpotente tridimensional generada por 1, x y d / dx que actúa sobre el espacio vectorial p -dimensional k [ x ]/( x ^p ), que no tiene vectores propios. Tomando el producto semidirecto de esta álgebra de Lie tridimensional por la representación p -dimensional (considerada como un álgebra de Lie abeliana) se obtiene un álgebra de Lie resoluble cuya álgebra derivada no es nilpotente.

Prueba

La prueba se realiza por inducción sobre la dimensión de y consta de varios pasos. (Nota: la estructura de la prueba es muy similar a la del teorema de Engel ). El caso básico es trivial y suponemos que la dimensión de es positiva. También suponemos que V no es cero. Para simplificar, escribimos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\cdot v=\pi (X)(v)}$

Paso 1 : Observe que el teorema es equivalente al enunciado: ^[3]

• Existe un vector en V que es un vector propio para cada transformación lineal en . ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$

De hecho, el teorema dice en particular que un vector generador distinto de cero es un vector propio común para todas las transformaciones lineales en . Por el contrario, si v es un vector propio común, tome como su generador y luego admita un vector propio común en el cociente ; repita el argumento. ${\displaystyle V_{n-1}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V_{n-1}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V/V_{n-1}}$

Paso 2 : Encuentra un ideal de codimensión uno en . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea el álgebra derivada . Puesto que es resoluble y tiene dimensión positiva, y por lo tanto el cociente es un álgebra de Lie abeliana distinta de cero, que ciertamente contiene un ideal de codimensión uno y por la correspondencia ideal, corresponde a un ideal de codimensión uno en . ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Paso 3 : Existe alguna función lineal en tal que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}}$

es distinto de cero. Esto se desprende de la hipótesis inductiva (es fácil comprobar que los valores propios determinan una función lineal).

Paso 4 : es un subespacio invariante. (Tenga en cuenta que este paso demuestra un hecho general y no implica solubilidad). ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea , , entonces necesitamos probar . Si entonces es obvio, entonces supongamos y establezcamos recursivamente . Sea y el mayor tal que sean linealmente independientes. Luego probaremos que generan U y por lo tanto es una base de U . De hecho, supongamos por contradicción que no es el caso y sea el menor tal que , entonces obviamente . Como son linealmente dependientes, es una combinación lineal de . Aplicando la función se deduce que es una combinación lineal de . Como por la minimalidad de m cada uno de estos vectores es una combinación lineal de , entonces es , y obtenemos la contradicción deseada. Probaremos por inducción que para cada y existen elementos del cuerpo base tales que y ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle v\neq 0}$ ${\displaystyle v_{0}=v,\,v_{i+1}=Y\cdot v_{i}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {span} \{v_{i}|i\geq 0\}}$ ${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ ${\displaystyle \alpha =(v_{0},\ldots ,v_{\ell })}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v_{m}\notin \langle v_{0},\ldots ,v_{\ell }\rangle }$ ${\displaystyle m\geq \ell +1}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell +1}}$ ${\displaystyle v_{\ell +1}}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ ${\displaystyle Y^{m-\ell -1}}$ ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle v_{m-\ell -1},\ldots ,v_{m-1}}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{\ell }}$ ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle a_{0,n,X},\ldots ,a_{n,n,X}}$ ${\displaystyle a_{n,n,X}=\lambda (X)}$

${\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.}$

El caso es sencillo ya que . Ahora supongamos que hemos demostrado la afirmación para algunos y todos los elementos de y sea . Como es un ideal, es , y por lo tanto ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=\lambda (X)v_{0}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},}$

y sigue el paso de inducción. Esto implica que para cada subespacio U es un subespacio invariante de X y la matriz de la función restringida en la base es triangular superior con elementos diagonales iguales a , por lo tanto . Aplicando esto con en lugar de X se obtiene . Por otro lado, U también es obviamente un subespacio invariante de Y , y por lo tanto ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \pi (X)|_{U}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X)|_{U})=\dim(U)\lambda (X)}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\dim(U)\lambda ([X,Y])}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\operatorname {tr} ([\pi (X),\pi (Y)]|_{U}])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0}$

Dado que los conmutadores tienen traza cero, y por lo tanto . Dado que es invertible (debido a la suposición sobre la característica del campo base), y ${\displaystyle \dim(U)\lambda ([X,Y])=0}$ ${\displaystyle \dim(U)>0}$ ${\displaystyle \lambda ([X,Y])=0}$

${\displaystyle X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),}$

y entonces . ${\displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$

Paso 5 : Termine la prueba encontrando un vector propio común.

Escribe donde L es un subespacio vectorial unidimensional. Como el cuerpo base es algebraicamente cerrado, existe un vector propio en para algún elemento (y por lo tanto, cada uno) distinto de cero de L . Como ese vector también es un vector propio para cada elemento de , la prueba está completa. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \square }$

Consecuencias

El teorema se aplica en particular a la representación adjunta de un álgebra de Lie resoluble (de dimensión finita) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero; por lo tanto, se puede elegir una base en con respecto a la cual consiste en matrices triangulares superiores. Se deduce fácilmente que para cada , tiene diagonal que consiste en ceros; es decir, es una matriz triangular superior estricta. Esto implica que es un álgebra de Lie nilpotente . Además, si el cuerpo base no es algebraicamente cerrado, entonces la solubilidad y nilpotencia de un álgebra de Lie no se ven afectadas por la extensión del cuerpo base a su clausura algebraica. Por lo tanto, se concluye la afirmación (la otra implicación es obvia): ^[4] ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero es resoluble si y sólo si el álgebra derivada es nilpotente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

El teorema de Lie también establece una dirección en el criterio de Cartan para la solubilidad :

Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero y un subálgebra de Lie, entonces es resoluble si y sólo si para cada y . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$^[5]

De hecho, como se indicó anteriormente, después de ampliar el campo base, la implicación se ve fácilmente. (La inversa es más difícil de demostrar). ${\displaystyle \Rightarrow }$

El teorema de Lie (para varios V ) es equivalente al enunciado: ^[6]

Para un álgebra de Lie resoluble sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, cada módulo simple de dimensión finita (es decir, irreducible como representación) tiene dimensión uno. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

De hecho, el teorema de Lie implica claramente esta afirmación. A la inversa, supongamos que la afirmación es verdadera. Dado un módulo V de dimensión finita , sea un submódulo maximal (que existe por finitud de la dimensión). Entonces, por maximalidad, es simple; por lo tanto, es unidimensional. La inducción ahora finaliza la prueba. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V/V_{1}}$

La afirmación dice en particular que un módulo simple de dimensión finita sobre un álgebra de Lie abeliana es unidimensional; este hecho sigue siendo cierto sobre cualquier cuerpo base ya que en este caso cada subespacio vectorial es un subálgebra de Lie. ^[7]

Aquí hay otra aplicación bastante útil: ^[8]

Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero con radical . Entonces cada representación simple de dimensión finita es el producto tensorial de una representación simple de con una representación unidimensional de (es decir, un funcional lineal que se desvanece en corchetes de Lie). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por el teorema de Lie, podemos encontrar un funcional lineal de tal manera que exista el espacio de pesos de . Por el paso 4 de la demostración del teorema de Lie, es también un -módulo; por lo que . En particular, para cada , . Extender a un funcional lineal en que se anule en ; es entonces una representación unidimensional de . Ahora, . Como coincide con en , tenemos que es trivial en y por lo tanto es la restricción de una representación (simple) de . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V=V_{\lambda }}$ ${\displaystyle X\in \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (X))=\dim(V)\lambda (X)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\pi ,V)\simeq (\pi ,V)\otimes (-\lambda )\otimes \lambda }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle V\otimes (-\lambda )}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Teorema de Engel , que se refiere a un álgebra de Lie nilpotente .
• Teorema de Lie-Kolchin , que trata de un grupo algebraico lineal resoluble (conectado).

Referencias

1. Serre 2001, Teorema 3
2. Humphreys 1972, Cap. II, § 4.1., Corolario A.
3. Serre 2001, Teorema 3″
4. Humphreys 1972, Cap. II, § 4.1., Corolario C.
5. Serre 2001, Teorema 4
6. Serre 2001, Teorema 3'
7. Jacobson 1979, Cap. II, § 6, Lema 5.
8. Fulton y Harris 1991, Proposición 9.17.

Fuentes

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Jacobson, Nathan (1979), Álgebras de Lie (Republicación de la edición original de 1962), Nueva York: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-63832-4, Sr.  0559927
• Serre, Jean-Pierre (2001), Álgebras de mentira complejas semisimples , Berlín: Springer, doi :10.1007/978-3-642-56884-8, ISBN 3-5406-7827-1, Sr.  1808366