Teorema de Lie-Kolchin

Teorema en la teoría de representación de grupos algebraicos lineales

En matemáticas , el teorema de Lie-Kolchin es un teorema de la teoría de representación de grupos algebraicos lineales ; el teorema de Lie es el análogo de las álgebras de Lie lineales .

Se afirma que si G es un grupo algebraico lineal conexo y resoluble definido sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y

${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$

una representación en un espacio vectorial finito-dimensional distinto de cero V , entonces existe un subespacio lineal unidimensional L de V tal que

${\displaystyle \rho (G)(L)=L.}$

Es decir, ρ( G ) tiene una línea invariante L , sobre la que G actúa por tanto a través de una representación unidimensional. Esto es equivalente a afirmar que V contiene un vector v distinto de cero que es un vector propio común (simultáneo) para todos los . ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$

De ello se deduce directamente que toda representación finitodimensional irreducible de un grupo algebraico lineal G conexo y resoluble tiene dimensión uno. De hecho, ésta es otra forma de enunciar el teorema de Lie-Kolchin.

El resultado para las álgebras de Lie fue demostrado por Sophus Lie  (1876) y para los grupos algebraicos fue demostrado por Ellis Kolchin  (1948, p.19).

El teorema del punto fijo de Borel generaliza el teorema de Lie-Kolchin.

Triangularización

A veces el teorema también se denomina teorema de triangularización de Lie-Kolchin porque por inducción implica que con respecto a una base adecuada de V la imagen tiene una forma triangular ; en otras palabras, el grupo imagen es conjugado en GL( n , K ) (donde n = dim V ) a un subgrupo del grupo T de matrices triangulares superiores , el subgrupo de Borel estándar de GL( n , K ): la imagen es simultáneamente triangularizable . ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$

El teorema se aplica en particular a un subgrupo de Borel de un grupo algebraico lineal semisimple G.

Contraejemplo

Si el campo K no es algebraicamente cerrado, el teorema puede fallar. El círculo unitario estándar , visto como el conjunto de números complejos de valor absoluto uno, es un grupo algebraico lineal unidimensional conmutativo (y por lo tanto resoluble) sobre los números reales que tiene una representación bidimensional en el grupo ortogonal especial SO(2) sin una línea invariante (real). Aquí la imagen de es la matriz ortogonal ${\displaystyle \{x+iy\in \mathbb {C} \mid x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle \rho (z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.}$

Referencias

• Gorbatsevich, VV (2001) [1994], "Teorema de Lie-Kolchin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kolchin, ER (1948), "Grupos matriciales algebraicos y la teoría de Picard-Vessiot de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 49 (1): 1–42, doi :10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, MR  0024884, Zbl  0037.18701
• Mentira, Sophus (1876), "Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , 1 : 152-193
• Waterhouse, William C. (2012) [1979], "10. Grupos nilpotentes y solubles §10.2 El teorema de triangularización de Lie-Kolchin", Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 66, Springer, págs. 74-75, ISBN 978-1-4612-6217-6