Variedad Solv

En matemáticas , una solvvariedad es un espacio homogéneo de un grupo de Lie resoluble conexo . También puede caracterizarse como un cociente de un grupo de Lie resoluble conexo por un subgrupo cerrado . (Algunos autores también requieren que el grupo de Lie sea simplemente conexo, o que el cociente sea compacto). Anatoly Maltsev introdujo una clase especial de solvvariedades, las nilvariedades , que demostraron los primeros teoremas estructurales. Las propiedades de las solvvariedades generales son similares, pero algo más complicadas.

Ejemplos

• Un grupo de Lie resoluble es trivialmente una variedad solucionable.
• Todo grupo nilpotente es resoluble, por lo tanto, toda nilvariedad es una resoluble. Esta clase de ejemplos incluye toros n -dimensionales y el cociente del grupo real de Heisenberg tridimensional por su subgrupo de Heisenberg entero.
• La banda de Möbius y la botella de Klein son variedades solv que no son variedades nil.
• El toro de aplicación de un difeomorfismo de Anosov del n -toro es una variedad solv. Para , estas variedades pertenecen a Sol , una de las ocho geometrías de Thurston . ${\displaystyle n=2}$

Propiedades

• Una solvvariedad es difeomorfa con respecto al espacio total de un fibrado vectorial sobre alguna solvvariedad compacta. Esta afirmación fue conjeturada por George Mostow y demostrada por Louis Auslander y Richard Tolimieri.
• El grupo fundamental de una variedad solv arbitraria es policíclico .
• Una solvvariedad compacta está determinada hasta el difeomorfismo por su grupo fundamental.
• Los grupos fundamentales de solvvariedades compactas pueden caracterizarse como extensiones de grupo de grupos abelianos libres de rango finito mediante grupos nilpotentes libres de torsión generados finitamente.
• Toda variedad solv es asférica . Entre todos los espacios homogéneos compactos, las variedades solv se pueden caracterizar por las propiedades de ser asféricas y tener un grupo fundamental resoluble.

Lo completo

Sea un álgebra de Lie real . Se llama álgebra de Lie completa si cada mapa ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}}$

en su representación adjunta es hiperbólica, es decir, solo tiene valores propios reales . Sea G un grupo de Lie resoluble cuya álgebra de Lie es completa. Entonces, para cualquier subgrupo cerrado de G , la solvvariedad es una solvvariedad completa . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Referencias

• Auslander, Louis (1973), "Una exposición de la estructura de las variedades solv. Parte I: teoría algebraica" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 79 (2): 227–261, doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13134-9 , MR  0486307
  • — (1973), "Parte II: Flujos inducidos por $G$", Bull. Amer. Math. Soc. , 79 (2): 262–285, doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13139-8 , MR  0486308
• Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "La estructura de las divisiones de Heegaard de una variedad solv" (PDF) , Actas de la 6.ª Conferencia de Geometría y Topología de Gökova, Revista Turca de Matemáticas , 23 (1): 1–18, ISSN  1300-0098, MR  1701636
• Gorbatsevich, VV (2001) [1994], "Variedad Solv", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press