En el campo matemático de la teoría de Lie , el radical de un álgebra de Lie es el ideal resoluble más grande de [1]
El radical, denotado por , encaja en la secuencia exacta
- .
donde es semisimple . Cuando el campo fundamental tiene característica cero y dimensión finita, el teorema de Levi establece que esta secuencia exacta se desdobla; es decir, existe una subálgebra (necesariamente semisimple) de que es isomorfa al cociente semisimple a través de la restricción de la función del cociente.
Un concepto similar es el de subálgebra de Borel , que es una subálgebra resoluble máxima (no necesariamente única).
Definición
Sea un cuerpo y sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre . Existe un único ideal resoluble maximalista, llamado radical, por la siguiente razón.
En primer lugar, sean y dos ideales resolubles de . Entonces, es nuevamente un ideal de , y es resoluble porque es una extensión de por . Ahora, considere la suma de todos los ideales resolubles de . No está vacía porque es un ideal resoluble, y es un ideal resoluble por la propiedad de suma que acabamos de derivar. Claramente, es el único ideal resoluble máximo.
Conceptos relacionados
- Un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si su radical es .
- Un álgebra de Lie es reductiva si y sólo si su radical es igual a su centro.
Véase también
Referencias
- ^ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos: álgebras de Lie y álgebras de Hopf, Encuestas y monografías matemáticas, vol. 168, Providence, RI: American Mathematical Society, pág. 15, doi : 10.1090/surv/168, ISBN 978-0-8218-5262-0, Sr. 2724822.