Espacio métrico completo

Geometría métrica

En el análisis matemático , un espacio métrico M se denomina completo (o espacio de Cauchy ) si cada secuencia de Cauchy de puntos en M tiene un límite que también está en M.

Intuitivamente, un espacio está completo si no hay "puntos que falten" en él (dentro o en el límite). Por ejemplo, el conjunto de números racionales no está completo, porque "falta" eg ​​en él, aunque se pueda construir una sucesión de Cauchy de números racionales que converja hacia él (ver más ejemplos a continuación). Siempre es posible "llenar todos los huecos", lo que lleva a la completitud de un espacio dado, como se explica a continuación. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Definición

Secuencia de Cauchy

Una secuencia de elementos de un espacio métrico se llama Cauchy si para cada número real positivo existe un entero positivo tal que para todos los enteros positivos ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r.}$$

Espacio completo

Un espacio métrico está completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,d)}$

1. Toda secuencia de Cauchy de puntos en tiene un límite que también está en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Toda secuencia de Cauchy en converge en (es decir, a algún punto de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
3. Toda sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de con diámetros que tienden a 0, tiene una intersección no vacía : si es cerrada y no vacía, para cada y entonces hay un único punto común a todos los conjuntos ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Ejemplos

El espacio Q de números racionales, con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia , no es completo. Consideremos por ejemplo la sucesión definida por y Esta es una sucesión de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: Si la sucesión tuviera un límite , entonces al resolver necesariamente todavía ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, considerada como una sucesión de números reales , converge al número irracional . ${\displaystyle x_{1}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x^{2}=2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El intervalo abierto (0,1) , nuevamente con la métrica de diferencia absoluta, tampoco es completo. La secuencia definida por es de Cauchy, pero no tiene un límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado [0,1] es completo; por ejemplo, la secuencia dada sí tiene un límite en este intervalo, a saber, cero. ${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$

El espacio R de números reales y el espacio C de números complejos (con la métrica dada por la diferencia absoluta) son completos, y también lo es el espacio euclidiano R ⁿ , con la métrica de distancias habitual . Por el contrario, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden ser completos o no; los que son completos son espacios de Banach . El espacio C [ a ,  b ] de funciones reales continuas en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach, y por tanto un espacio métrico completo, con respecto a la norma suprema . Sin embargo, la norma suprema no da una norma en el espacio C ( a ,  b ) de funciones continuas en ( a ,  b ) , ya que puede contener funciones no acotadas . En cambio, con la topología de convergencia compacta , a C ( a ,  b ) se le puede dar la estructura de un espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica completa invariante a la traslación .

El espacio Q _p de números p -ádicos es completo para cualquier número primo. Este espacio completa Q con la métrica p -ádica de la misma manera que R completa Q con la métrica habitual. ${\displaystyle p.}$

Si es un conjunto arbitrario, entonces el conjunto S ^N de todas las secuencias en se convierte en un espacio métrico completo si definimos la distancia entre las secuencias y como donde es el índice más pequeño para el cual es distinto de o si no existe tal índice. Este espacio es homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio discreto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle y_{N}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S.}$

Las variedades de Riemann que son completas se denominan variedades geodésicas ; la completitud se desprende del teorema de Hopf-Rinow .

Algunos teoremas

Todo espacio métrico compacto es completo, aunque los espacios completos no necesariamente deben ser compactos. De hecho, un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado . Esta es una generalización del teorema de Heine-Borel , que establece que cualquier subespacio cerrado y acotado de R ⁿ es compacto y, por lo tanto, completo. ^[1] ${\displaystyle S}$

Sea un espacio métrico completo. Si es un conjunto cerrado, entonces también es completo. Sea un espacio métrico. Si es un subespacio completo, entonces también es cerrado. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Si es un conjunto y es un espacio métrico completo, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f desde X hasta es un espacio métrico completo. Aquí definimos la distancia en en términos de la distancia en con la norma suprema ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}}$$

Si es un espacio topológico y es un espacio métrico completo, entonces el conjunto que consiste en todas las funciones continuas acotadas es un subespacio cerrado de y, por lo tanto, también completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{b}(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$

El teorema de categorías de Baire dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire . Es decir, la unión de un número numerable de subconjuntos del espacio densos en ninguna parte tiene un interior vacío .

El teorema del punto fijo de Banach establece que una aplicación de contracción en un espacio métrico completo admite un punto fijo . El teorema del punto fijo se utiliza a menudo para demostrar el teorema de la función inversa en espacios métricos completos como los espacios de Banach.

Teorema ^[2]  (C. Ursescu)  —  Sea un espacio métrico completo y sea una secuencia de subconjuntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Si cada uno está cerrado entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$
• Si cada uno está abierto entonces ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$

Terminación

Para cualquier espacio métrico M , es posible construir un espacio métrico completo M′ (que también se denota como ), que contiene a M como subespacio denso . Tiene la siguiente propiedad universal : si N es cualquier espacio métrico completo y f es cualquier función uniformemente continua de M a N , entonces existe una única función uniformemente continua f′ de M′ a N que extiende f . El espacio M' está determinado hasta la isometría por esta propiedad (entre todos los espacios métricos completos que contienen isométricamente a M ), y se llama completitud de M . ${\displaystyle {\overline {M}}}$

La completitud de M se puede construir como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en M . Para dos secuencias de Cauchy cualesquiera y en M , podemos definir su distancia como ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)}$ $${\displaystyle d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$$

(Este límite existe porque los números reales son completos.) Esto es sólo una pseudométrica , todavía no una métrica, ya que dos secuencias de Cauchy diferentes pueden tener la distancia 0. Pero "tener distancia 0" es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las secuencias de Cauchy, y el conjunto de clases de equivalencia es un espacio métrico, la completitud de M. El espacio original está incrustado en este espacio a través de la identificación de un elemento x de M' con la clase de equivalencia de secuencias en M que convergen a x (es decir, la clase de equivalencia que contiene la secuencia con valor constante x ). Esto define una isometría en un subespacio denso, como se requiere. Nótese, sin embargo, que esta construcción hace uso explícito de la completitud de los números reales, por lo que la completitud de los números racionales necesita un tratamiento ligeramente diferente.

La construcción de los números reales de Cantor es similar a la construcción anterior; los números reales son la completitud de los números racionales utilizando el valor absoluto ordinario para medir distancias. La sutileza adicional con la que hay que lidiar es que no es lógicamente permisible utilizar la completitud de los números reales en su propia construcción. Sin embargo, las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy se definen como antes, y el conjunto de clases de equivalencia se muestra fácilmente como un cuerpo que tiene los números racionales como un subcuerpo . Este cuerpo es completo, admite un ordenamiento total natural y es el único cuerpo completo totalmente ordenado (hasta el isomorfismo ). Se define como el cuerpo de los números reales (véase también Construcción de los números reales para más detalles). Una forma de visualizar esta identificación con los números reales como se los ve habitualmente es que la clase de equivalencia que consiste en aquellas sucesiones de Cauchy de números racionales que "deberían" tener un límite real dado se identifica con ese número real. Los truncamientos de la expansión decimal dan solo una opción de sucesión de Cauchy en la clase de equivalencia relevante.

Para un primo los números p -ádicos surgen al completar los números racionales con respecto a una métrica diferente. ${\displaystyle p,}$

Si se aplica el procedimiento de compleción anterior a un espacio vectorial normado, el resultado es un espacio de Banach que contiene el espacio original como un subespacio denso, y si se aplica a un espacio de producto interno , el resultado es un espacio de Hilbert que contiene el espacio original como un subespacio denso.

Espacios topológicamente completos

La completitud es una propiedad de la métrica y no de la topología , es decir, un espacio métrico completo puede ser homeomorfo a uno no completo. Un ejemplo lo dan los números reales, que son completos pero homeomorfos al intervalo abierto (0,1) , que no es completo.

En topología se consideran espacios completamente metrizables , espacios para los cuales existe al menos una métrica completa que induce la topología dada. Los espacios completamente metrizables pueden caracterizarse como aquellos espacios que pueden escribirse como una intersección de un número contable de subconjuntos abiertos de algún espacio métrico completo. Dado que la conclusión del teorema de categorías de Baire es puramente topológica, se aplica también a estos espacios.

Los espacios completamente metrizables se denominan a menudo topológicamente completos . Sin embargo, este último término es algo arbitrario ya que la métrica no es la estructura más general en un espacio topológico para la que se puede hablar de completitud (véase la sección Alternativas y generalizaciones). De hecho, algunos autores utilizan el término topológicamente completo para una clase más amplia de espacios topológicos, los espacios completamente uniformizables . ^[3]

Un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo separable se denomina espacio polaco .

Alternativas y generalizaciones

Dado que las secuencias de Cauchy también se pueden definir en grupos topológicos generales , una alternativa a confiar en una estructura métrica para definir la completitud y construir la completitud de un espacio es utilizar una estructura de grupo. Esto se ve con mayor frecuencia en el contexto de los espacios vectoriales topológicos , pero solo requiere la existencia de una operación de "sustracción" continua. En este contexto, la distancia entre dos puntos y no se mide mediante un número real a través de la métrica en la comparación, sino mediante un entorno abierto de a través de la sustracción en la comparación. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x-y\in N.}$

Una generalización común de estas definiciones se puede encontrar en el contexto de un espacio uniforme , donde un entorno es un conjunto de todos los pares de puntos que están a no más de una "distancia" particular entre sí.

También es posible reemplazar las sucesiones de Cauchy en la definición de completitud por redes de Cauchy o filtros de Cauchy . Si cada red de Cauchy (o equivalentemente cada filtro de Cauchy) tiene un límite en entonces se llama completa. Además, se puede construir una completitud para un espacio uniforme arbitrario similar a la completitud de los espacios métricos. La situación más general en la que se aplican las redes de Cauchy es en los espacios de Cauchy ; estos también tienen una noción de completitud y completitud al igual que los espacios uniformes. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología general y análisis
• Compleción (álgebra)  : en álgebra, cualquiera de varios funtores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio uniforme completo  – Espacio topológico con noción de propiedades uniformesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Principio variacional de Ekeland  : teorema que afirma que existen soluciones casi óptimas para algunos problemas de optimización.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Teorema de Knaster-Tarski  – Teorema en orden y teoría reticular

Notas

1. Sutherland, Wilson A. (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos . ISBN 978-0-19-853161-6.
2. Zalinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1.OCLC 285163112  .
3. Kelley, Problema 6.L, pág. 208

Referencias

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Kreyszig, Erwin , Introducción al análisis funcional con aplicaciones (Wiley, Nueva York, 1978). ISBN 0-471-03729-X 
• Lang, Serge , "Análisis real y funcional" ISBN 0-387-94001-4 
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introducción al análisis funcional . Ramanujan, MS (trad.). Oxford: Clarendon Press; Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.