Apoyo (matemáticas)

Part of the domain of a mathematical function where the function takes non-zero values

En matemáticas , el soporte de una función de valor real es el subconjunto del dominio de la función que contiene los elementos que no están asignados a cero. Si el dominio de es un espacio topológico , entonces el soporte de se define como el conjunto cerrado más pequeño que contiene todos los puntos no asignados a cero. Este concepto se utiliza ampliamente en el análisis matemático . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Formulación

Supongamos que es una función de valor real cuyo dominio es un conjunto arbitrario . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$El soporte teórico delo escritoes el conjunto de puntos enlos quees distinto de cero: ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

El soporte de es el subconjunto más pequeño de con la propiedad de que es cero en el complemento del subconjunto. Si para todos menos un número finito de puntos, entonces se dice que tiene ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f}$soporte finito .

Si el conjunto tiene una estructura adicional (por ejemplo, una topología ), entonces el soporte de se define de manera análoga como el subconjunto más pequeño de un tipo apropiado tal que desaparece en un sentido apropiado en su complemento. La noción de soporte también se extiende de forma natural a funciones que toman valores en conjuntos más generales que otros objetos, como medidas o distribuciones . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Soporte cerrado

La situación más común ocurre cuando es un espacio topológico (como la línea real o el espacio euclidiano -dimensional ) y es una función continua de valor real (o complejo ). En este caso, el ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$apoyo de ${\displaystyle f}$,, o el ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$el soporte cerrado de , se define topológicamente como elcierre(tomado en) del subconjunto dedondees distinto de cero^[1][2][3]es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$

Dado que la intersección de conjuntos cerrados es cerrada, ¿es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen el soporte teórico de conjuntos de ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f.}$

Por ejemplo, si la función definida por ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$

cierre ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-1,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1].}$

La noción de soporte cerrado generalmente se aplica a funciones continuas, pero la definición tiene sentido para funciones arbitrarias reales o de valores complejos en un espacio topológico, y algunos autores no requieren que (o ) sea continuo. ^[4] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Soporte compacto

Funciones consoporte compacto en un espacio topológicoson aquellos cuyo soporte cerrado es unsubconjuntocompactoSies la recta real, oespacio euclidiano -dimensional, entonces una función tiene soporte compacto si y sólo si tiene ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$soporte acotado , ya que un subconjunto dees compacto si y sólo si es cerrado y acotado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Por ejemplo, la función definida anteriormente es una función continua con soporte compacto. Si es una función suave entonces, debido a que está idénticamente en el subconjunto abierto, todas las derivadas parciales de todos los órdenes también están idénticamente en ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,1].}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

La condición de soporte compacto es más fuerte que la condición de desaparición en el infinito . Por ejemplo, la función definida por ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$

${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las funciones suaves de valor real soportadas de forma compacta en un espacio euclidiano se denominan funciones de relieve . Los apaciguadores son un caso especial importante de funciones de relieve, ya que pueden usarse en teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suaves que se aproximan a funciones no suaves (generalizadas), mediante convolución .

En los buenos casos , las funciones con soporte compacto son densas en el espacio de funciones que desaparecen en el infinito, pero esta propiedad requiere algo de trabajo técnico para justificarla en un ejemplo dado. Como intuición para ejemplos más complejos, y en el lenguaje de los límites , para cualquier función en la recta real que desaparece en el infinito se puede aproximar eligiendo un subconjunto compacto apropiado de tal que ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$

función indicadora ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Soporte esencial

Si se trata de un espacio de medidas topológicas con una medida de Borel (como un subconjunto mensurable de Lebesgue equipado con una medida de Lebesgue), entonces normalmente se identifican funciones que son iguales , en casi todas partes. En ese caso, el ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mu }$soporte esencial de una función medibleescritase define como el subconjunto cerrado más pequeñodetal que-casi en todas partes fueraEquivalentemente,es el complemento delconjunto abiertoen el que-casi en todas partes^[5] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

El soporte esencial de una función depende tanto de la medida como de y puede ser estrictamente menor que el soporte cerrado. Por ejemplo, si la función de Dirichlet es para números irracionales y racionales y está equipada con la medida de Lebesgue, entonces el soporte de es todo el intervalo, pero el soporte esencial de está vacío, ya que es igual en casi todas partes a la función cero. . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En el análisis, cuando los dos conjuntos son diferentes, casi siempre se desea utilizar el soporte esencial de una función, en lugar de su soporte cerrado, por lo que a menudo se escribe simplemente como soporte y se le llama soporte. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

Generalización

Si es un conjunto arbitrario que contiene cero, el concepto de soporte es inmediatamente generalizable a funciones. El soporte también puede definirse para cualquier estructura algebraica con identidad (como un grupo , monoide o álgebra de composición ), en la que el elemento de identidad asume el papel de cero. Por ejemplo, la familia de funciones desde los números naturales hasta los enteros es el conjunto incontable de secuencias de números enteros. La subfamilia es el conjunto contable de todas las secuencias de números enteros que tienen sólo un número finito de entradas distintas de cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to M.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

Las funciones de soporte finito se utilizan para definir estructuras algebraicas como anillos de grupos y grupos abelianos libres . ^[7]

En teoría de la probabilidad y la medida.

En teoría de la probabilidad , el soporte de una distribución de probabilidad puede considerarse vagamente como el cierre del conjunto de valores posibles de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Sin embargo, hay algunas sutilezas a considerar cuando se trata de distribuciones generales definidas en un álgebra sigma , en lugar de en un espacio topológico.

Más formalmente, si es una variable aleatoria, entonces el soporte de es el conjunto cerrado más pequeño tal que ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

Sin embargo, en la práctica, el soporte de una variable aleatoria discreta a menudo se define como el conjunto y el soporte de una variable aleatoria continua se define como el conjunto donde es una función de densidad de probabilidad de (el soporte de la teoría de conjuntos). ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

Tenga en cuenta que la palabra apoyo puede referirse al logaritmo de la probabilidad de una función de densidad de probabilidad. ^[9]

Soporte de una distribución.

También se puede hablar del soporte de una distribución , como por ejemplo la función delta de Dirac en la recta real. En ese ejemplo, podemos considerar funciones de prueba que son funciones suaves con soporte sin incluir el punto. Dado que (la distribución aplicada como funcional lineal a ) es para tales funciones, podemos decir que el soporte de es solo. Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la recta real son casos especiales de distribuciones, también podemos hablar del soporte de una medida de la misma manera. ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta (F)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \{0\}}$

Supongamos que es una distribución, y que es un conjunto abierto en el espacio euclidiano tal que, para todas las funciones de prueba tales que el soporte de está contenido en Entonces se dice que desaparece en Ahora, si desaparece en una familia arbitraria de conjuntos abiertos, entonces para cualquier función de prueba respaldada por un argumento simple basado en la compacidad del soporte y una partición de la unidad también lo demuestra. Por tanto podemos definir el soporte de como el complemento del conjunto abierto más grande en el que desaparece. Por ejemplo, el apoyo del delta de Dirac es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \bigcup U_{\alpha },}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\phi )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Soporte único

En el análisis de Fourier en particular, es interesante estudiar lasoporte singular de una distribución. Esto tiene la interpretación intuitiva como el conjunto de puntos en los que una distribucióndeja de ser una función suave.

Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función escalonada de Heaviside puede, hasta factores constantes, considerarse (una función) excepto en Si bien es claramente un punto especial, es más preciso decir que la transformada de la distribución tiene soporte singular : no se puede expresar con precisión como una función en relación con funciones de prueba con soporte que incluyen. Se puede expresar como una aplicación de una integral impropia del valor principal de Cauchy . ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Para distribuciones en varias variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de análisis matemático . Los soportes singulares también se pueden utilizar para comprender fenómenos especiales de la teoría de la distribución, como los intentos de "multiplicar" distribuciones (la elevación al cuadrado de la función delta de Dirac falla, esencialmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se van a multiplicar deben ser disjuntos).

familia de soportes

Una noción abstracta deFamilia de soportes en unespacio topológico adecuado parala teoría de gavillas, fue definida porHenri Cartan. Al extenderla dualidad de Poincaréavariedadesque no son compactas, la idea del "soporte compacto" entra naturalmente en un lado de la dualidad; véase, por ejemplo,la cohomología de Alexander-Spanier. ${\displaystyle X,}$

Bredon, Sheaf Theory (2ª edición, 1997) da estas definiciones. Una familia de subconjuntos cerrados de es una familia de soportes , si es cerrada hacia abajo y cerrada bajo unión finita . Su extensión es la unión sobre una familia de soportes paracompactantes que satisface además que cualquier espacio es, con la topología subespacial , un espacio paracompacto ; y tiene algunos en los que es un barrio . Si es un espacio localmente compacto , supuso Hausdorff, la familia de todos los subconjuntos compactos satisface las condiciones adicionales, lo que lo hace paracompactante. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Función acotada  : una función matemática cuyo conjunto de valores está acotado.
• Función Bump  : función suave y compacta
• Soporte de un módulo
• Teorema de convolución de Titchmarsh

Citas

1. Folland, Gerald B. (1999). Análisis real, 2ª ed . Nueva York: John Wiley. pag. 132.
2. Hörmander, Lars (1990). Ecuaciones diferenciales parciales lineales I, 2ª ed . Berlín: Springer-Verlag. pag. 14.
3. Pascucci, Andrea (2011). "Métodos PDE y Martingala en la fijación de precios de opciones" . Serie Bocconi y Springer. Berlín: Springer-Verlag. pag. 678. doi :10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.
4. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo, 3ª ed . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 38.
5. Lieb, Elliott ; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 14 (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 13.ISBN​ 978-0821827833.
6. De manera similar, se utiliza el supremo esencial de una función medible en lugar de su supremo.
7. Tomasz, Kaczynski (2004). Homología computacional . Mischaikow, Konstantin Michael, y Mrozek, Marian. Nueva York: Springer. pag. 445.ISBN​ 9780387215976. OCLC  55897585.
8. Taboga, Marco. "Soporte de una variable aleatoria". statlect.com . Consultado el 29 de noviembre de 2017 .
9. Edwards, AWF (1992). Probabilidad (edición ampliada). Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

Referencias

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.