Álgebra que describe la simetría conforme 2D
En matemáticas , el álgebra de Virasoro (llamada así en honor al físico Miguel Ángel Virasoro ) [1] es un álgebra de Lie compleja y la única extensión central del álgebra de Witt . Es ampliamente utilizado en teoría de campos conforme bidimensional y en teoría de cuerdas .
Definición
El álgebra de Virasoro está abarcada por generadores L n para n ∈ ℤ y la carga central c . Estos generadores satisfacen y ![{\displaystyle [c,L_{n}]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+ n,0}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El factor de es simplemente una cuestión de convención. Para una derivación del álgebra como la única extensión central del álgebra de Witt , véase derivación del álgebra de Virasoro .![{\displaystyle 1/12}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El álgebra de Virasoro se presenta en términos de dos generadores (por ejemplo, L 3 y L −2 ) y seis relaciones. [2] [3]
Teoría de la representación
Representaciones de mayor peso
Una representación de mayor peso del álgebra de Virasoro es una representación generada por un estado primario: un vector tal que ![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{n>0}v=0,\quad L_{0}v=hv,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el número h se llama dimensión conforme o peso conforme de . [4]![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una representación de mayor peso está abarcada por estados propios de . Los valores propios toman la forma , donde el número entero se denomina nivel del estado propio correspondiente.![{\ Displaystyle L_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h+N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Más precisamente, una representación de mayor peso está abarcada por -estados propios del tipo con y , cuyos niveles son . Cualquier estado cuyo nivel no sea cero se llama estado descendiente de .![{\ Displaystyle L_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle L_ {-n_ {1}} L_ {-n_ {2}} \ cdots L_ {-n_ {k}} v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=\sum _ {i=1}^{k}n_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para cualquier par de números complejos h y c , el módulo Verma es la representación de mayor peso posible. (La misma letra c se usa tanto para el elemento c del álgebra de Virasoro como para su valor propio en una representación).![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los estados con y forman una base del módulo Verma. El módulo Verma es indescomponible y para valores genéricos de h y c también es irreducible. Cuando es reducible, existen otras representaciones de mayor peso con estos valores de h y c , llamadas representaciones degeneradas, que son clases laterales del módulo de Verma. En particular, la única representación irreducible de mayor peso con estos valores de h y c es el cociente del módulo de Verma por su submódulo máximo.![{\ Displaystyle L_ {-n_ {1}} L_ {-n_ {2}} \ cdots L_ {-n_ {k}} v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un módulo Verma es irreducible si y sólo si no tiene vectores singulares.
Vectores singulares
Un vector singular o un vector nulo de una representación de mayor peso es un estado que es a la vez descendiente y primario.
Una condición suficiente para que el módulo Verma tenga un vector singular en el nivel es que haya algunos números enteros positivos tales que , con![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h=h_{r,s}(c)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r,s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=rs}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{r,s}(c)={\frac {1}{4}}{\Big (}(b+b^{-1})^{2}-(br+b^{- 1}s)^{2}{\Big )}\ ,\quad {\text{dónde}}\quad c=1+6(b+b^{-1})^{2}\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En particular, y el módulo Verma reducible tiene un vector singular en el nivel . Entonces , y el módulo Verma reducible correspondiente tiene un vector singular en el nivel . ![{\displaystyle h_{1,1}(c)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{-1}v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{2,1}(c)=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}b^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2})v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta condición para la existencia de un vector singular en el nivel no es necesaria. En particular, hay un vector singular en el nivel si con y . Este vector singular es ahora descendiente de otro vector singular en el nivel . Sin embargo, este tipo de vectores singulares sólo puede existir si la carga central es del tipo ![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N=rs+r's'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h=h_{r,s}(c)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h+rs=h_{r',s'}(c)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystylers}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
(Para coprime, estas son las cargas centrales de los modelos mínimos ). [4]![{\displaystyle p>q\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los números enteros que aparecen en se denominan índices Kac . Puede resultar útil utilizar índices Kac no enteros para parametrizar las dimensiones conformes de los módulos Verma que no tienen vectores singulares, por ejemplo, en el modelo de clúster aleatorio crítico .![{\displaystyle r,s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{r,s}(c)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Forma hermitiana y unitaridad.
Una representación de mayor peso con un valor real de tiene una forma hermitiana única , de modo que el adjunto hermitiano de es y la norma del estado primario es uno. La representación se llama unitaria si esa forma hermitiana es definida positiva. Dado que cualquier vector singular tiene norma cero, todas las representaciones unitarias de mayor peso son irreducibles.![{\displaystyle c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle L_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{n}^{\daga}=L_{-n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El determinante de Gram de una base del nivel viene dado por la fórmula del determinante Kac , ![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}{\big (}h-h_{r,s}(c){\big )}^{p(N-rs) },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la función p ( N ) es la función de partición , y es una constante positiva que no depende de o . La fórmula determinante de Kac fue establecida por V. Kac (1978), y su primera demostración publicada fue proporcionada por Feigin y Fuks (1984).![{\displaystyle A_{N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La representación irreducible de mayor peso con valores h y c es unitaria si y sólo si c ≥ 1 y h ≥ 0, o
![{\displaystyle c\in \left\{1-{\frac {6}{m(m+1)}}\right\}_{m=2,3,4,\ldots }=\left\{0 ,{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {4}{5}},{\frac {6}{7}},{\frac {25 }{28}},\ldots\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y h es uno de los valores
![{\displaystyle h=h_{r,s}(c)={\frac {{\big (}(m+1)r-ms{\big )}^{2}-1}{4m(m+1) )}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para r = 1, 2, 3, ..., m − 1 y s = 1, 2, 3, ..., r .
Daniel Friedan , Zongan Qiu y Stephen Shenker (1984) demostraron que estas condiciones son necesarias, y Peter Goddard , Adrian Kent y David Olive (1986) utilizaron la construcción de clases laterales o construcción GKO (identificando representaciones unitarias del álgebra de Virasoro dentro de productos tensoriales). de representaciones unitarias de álgebras afines de Kac-Moody ) para demostrar que son suficientes.
Caracteres
El carácter de una representación del álgebra de Virasoro es la función![{\displaystyle {\mathcal {R}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{\mathcal {R}}(q)=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}. }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El carácter del módulo Verma es ![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{{\mathcal {V}}_{c,h}}(q)={\frac {q^{h-{\frac {c}{24}}}}{\prod _ {n=1}^{\infty }(1-q^{n})}}={\frac {q^{h-{\frac {c-1}{24}}}}{\eta (q )}}=q^{h-{\frac {c}{24}}}\left(1+q+2q^{2}+3q^{3}+5q^{4}+\cdots \right) ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la función Dedekind eta ?![{\displaystyle\eta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para any y for , el módulo Verma es reducible debido a la existencia de un vector singular en el nivel . Este vector singular genera un submódulo, que es isomorfo al módulo Verma . El cociente de por este submódulo es irreducible si no tiene otros vectores singulares, y su carácter es ![{\displaystyle c\in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r,s\in \mathbb {N} ^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystylers}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=(1 -q^{rs})\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dejemos con y coprimo, y y . (Luego está en la tabla Kac del modelo mínimo correspondiente ). El módulo Verma tiene infinitos vectores singulares y, por tanto, es reducible con infinitos submódulos. Este módulo Verma tiene un cociente irreducible por su submódulo no trivial más grande. (Los espectros de los modelos mínimos se construyen a partir de tales representaciones irreducibles). El carácter del cociente irreducible es ![{\displaystyle c=c_{p,p'}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2\leq p<p'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p,p'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq r\leq p-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1\leq s\leq p'-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (r,s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}&\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/({\mathcal {V}}_{c,h_{r,s) }+rs}+{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(pr)(p'-s)})}\\&=\sum _{k\in \mathbb {Z } }\left(\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r-ps+2kpp')^{2}-( pp')^{2}\right)}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r+ps+2kpp ')^{2}-(pp')^{2}\right)}}\right).\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta expresión es una suma infinita porque los submódulos y tienen una intersección no trivial, que en sí misma es un submódulo complicado.![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(pr)(p'-s)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicaciones
Teoría de campos conforme
En dos dimensiones, el álgebra de transformaciones conformes locales está hecha de dos copias del álgebra de Witt . De ello se deduce que el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme bidimensional es el álgebra de Virasoro. Técnicamente, el enfoque de arranque conforme para CFT bidimensional se basa en bloques conformes de Virasoro , funciones especiales que incluyen y generalizan los caracteres de las representaciones del álgebra de Virasoro.
Teoria de las cuerdas
Dado que el álgebra de Virasoro comprende los generadores del grupo conforme de la hoja mundial , el tensor de tensión en la teoría de cuerdas obedece a las relaciones de conmutación de (dos copias de) el álgebra de Virasoro. Esto se debe a que el grupo conforme se descompone en difeomorfismos separados de los conos de luz delanteros y traseros. La invariancia del difeomorfismo de la hoja del mundo implica además que el tensor de tensión desaparece. Esto se conoce como restricción de Virasoro , y en la teoría cuántica , no se puede aplicar a todos los estados de la teoría, sino sólo a los estados físicos (compárese con el formalismo de Gupta-Bleuler ).
Generalizaciones
Álgebras de Super Virasoro
Hay dos extensiones supersimétricas N = 1 del álgebra de Virasoro, llamadas álgebra de Neveu-Schwarz y álgebra de Ramond . Su teoría es similar a la del álgebra de Virasoro, que ahora involucra números de Grassmann . Existen más extensiones de estas álgebras con más supersimetría, como el álgebra superconformal N = 2 .
W-álgebras
Las álgebras W son álgebras asociativas que contienen el álgebra de Virasoro y que desempeñan un papel importante en la teoría de campos conformes bidimensionales . Entre las W-álgebras, el álgebra de Virasoro tiene la particularidad de ser un álgebra de Lie.
Álgebras de mentira afines
El álgebra de Virasoro es una subálgebra del álgebra envolvente universal de cualquier álgebra de Lie afín, como lo muestra la construcción de Sugawara . En este sentido, las álgebras de Lie afines son extensiones del álgebra de Virasoro.
Campos vectoriales meromorfos en superficies de Riemann
El álgebra de Virasoro es una extensión central del álgebra de Lie de campos vectoriales meromorfos con dos polos sobre una superficie de género 0 Riemann . En una superficie de Riemann compacta de género superior, el álgebra de Lie de campos vectoriales meromorfos con dos polos también tiene una extensión central, que es una generalización del álgebra de Virasoro. [5] Esto se puede generalizar aún más a supervariedades. [6]
Álgebras de vértices y álgebras conformes
El álgebra de Virasoro también tiene contrapartes algebraicas de vértices y algebraicas conformes , que básicamente provienen de organizar todos los elementos básicos para generar series y trabajar con objetos individuales.
Historia
El álgebra de Witt (el álgebra de Virasoro sin la extensión central) fue descubierta por É. Cartan (1909). Sus análogos sobre campos finitos fueron estudiados por E. Witt alrededor de la década de 1930. La extensión central del álgebra de Witt que da lugar al álgebra de Virasoro fue encontrada por primera vez (en la característica p > 0) por RE Block (1966, página 381) y redescubierta de forma independiente (en la característica 0) por IM Gelfand y Dmitry Fuchs (1968). Virasoro (1970) anotó algunos operadores que generaban el álgebra de Virasoro (más tarde conocidos como operadores de Virasoro ) mientras estudiaba modelos de resonancia dual , aunque no encontró la extensión central. La extensión central que da origen al álgebra de Virasoro fue redescubierta en física poco después por JH Weis, según Brower y Thorn (1971, nota a pie de página en la página 167).
Ver también
Notas
- ^ MA Virasoro (1970). "Condiciones subsidiarias y fantasmas en modelos de doble resonancia". Revisión física D. 1 (10): 2933–2936. Código bibliográfico : 1970PhRvD...1.2933V. doi : 10.1103/PhysRevD.1.2933.
- ^ Fairlie, DB; Nuyts, J.; Zachos, CK (1988). "Una presentación de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro". Comunicaciones en Física Matemática . 117 (4): 595. Código bibliográfico : 1988CMaPh.117..595F. doi :10.1007/BF01218387. S2CID 119811901.
- ^ Uretsky, JL (1989). "Redundancia de condiciones para un álgebra de Virasoro". Comunicaciones en Física Matemática . 122 (1): 171-173. Código bibliográfico : 1989CMaPh.122..171U. doi :10.1007/BF01221412. S2CID 119887710.
- ^ ab P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997, ISBN 0-387-94785-X .
- ^ Krichever, IM; Novikov, SP (1987). "Álgebras de tipo Virasoro, superficies de Riemann y estructuras de la teoría de solitones". Funkts. Anal. Aplica . 21 (2): 46–63. doi :10.1007/BF01078026. S2CID 55989582.
- ^ Rabin, JM (1995). "Curvas superelípticas". Revista de Geometría y Física . 15 (3): 252–280. arXiv : hep-th/9302105 . Código Bib : 1995JGP....15..252R. doi :10.1016/0393-0440(94)00012-S. S2CID 10921054.
Referencias
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- BL Feigin, DB Fuchs, Módulos Verma sobre el álgebra de Virasoro LD Faddeev (ed.) AA Mal'tsev (ed.), Topología. Proc. Internacional. Tópol. Conf. Leningrado 1982, Lect. notas de matemáticas, 1060, Springer (1984) págs.
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