En matemáticas, un subconjunto de un conjunto dado es cerrado bajo una operación del conjunto mayor si al realizar esa operación sobre los miembros del subconjunto siempre se obtiene un miembro de ese subconjunto. Por ejemplo, los números naturales son cerrados bajo la suma, pero no bajo la resta: 1 − 2 no es un número natural, aunque tanto 1 como 2 lo son.
De manera similar, se dice que un subconjunto está cerrado bajo una colección de operaciones si está cerrado bajo cada una de las operaciones individualmente.
El cierre de un subconjunto es el resultado de un operador de cierre aplicado al subconjunto. El cierre de un subconjunto bajo ciertas operaciones es el superconjunto más pequeño que se cierra bajo estas operaciones. A menudo se lo denomina intervalo (por ejemplo, intervalo lineal ) o conjunto generado .
Sea S un conjunto equipado con uno o varios métodos para producir elementos de S a partir de otros elementos de S . [nota 1] Se dice que un subconjunto X de S está cerrado bajo estos métodos si, cuando todos los elementos de entrada están en X , entonces todos los resultados posibles también están en X . A veces, también se puede decir que X tiene lapropiedad de cierre
La propiedad principal de los conjuntos cerrados, que se desprende inmediatamente de la definición, es que toda intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. De ello se deduce que para cada subconjunto Y de S , existe un subconjunto cerrado X de S más pequeño tal que (es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen a Y ). Según el contexto, X se denomina clausura de Y o conjunto generado o abarcado por Y .
Los conceptos de conjuntos cerrados y clausura se extienden a menudo a cualquier propiedad de subconjuntos que sean estables bajo intersección; es decir, cada intersección de subconjuntos que tengan la propiedad también la tienen. Por ejemplo, en un conjunto cerrado de Zariski , también conocido como conjunto algebraico , es el conjunto de los ceros comunes de una familia de polinomios, y la clausura de Zariski de un conjunto V de puntos es el conjunto algebraico más pequeño que contiene a V .
Una estructura algebraica es un conjunto dotado de operaciones que satisfacen algunos axiomas . Estos axiomas pueden ser identidades . Algunos axiomas pueden contener cuantificadores existenciales; en este caso, conviene añadir algunas operaciones auxiliares para que todos los axiomas se conviertan en identidades o fórmulas puramente cuantificadas universalmente . Véase Estructura algebraica para más detalles. Un conjunto con una única operación binaria que está cerrada se denomina magma .
En este contexto, dada una estructura algebraica S , una subestructura de S es un subconjunto que está cerrado bajo todas las operaciones de S , incluidas las operaciones auxiliares que se necesitan para evitar cuantificadores existenciales. Una subestructura es una estructura algebraica del mismo tipo que S . De ello se deduce que, en un ejemplo específico, cuando se prueba la cercanía, no hay necesidad de comprobar los axiomas para probar que una subestructura es una estructura del mismo tipo.
Dado un subconjunto X de una estructura algebraica S , el cierre de X es la subestructura más pequeña de S que está cerrada bajo todas las operaciones de S . En el contexto de las estructuras algebraicas, este cierre se denomina generalmente subestructura generada o abarcada por X , y se dice que X es un conjunto generador de la subestructura.
Por ejemplo, un grupo es un conjunto con una operación asociativa , a menudo llamada multiplicación , con un elemento identidad , de modo que cada elemento tiene un elemento inverso . Aquí, las operaciones auxiliares son la operación nularia que da como resultado el elemento identidad y la operación unaria de inversión. Un subconjunto de un grupo que está cerrado bajo la multiplicación y la inversión también está cerrado bajo la operación nularia (es decir, contiene la identidad) si y solo si no está vacío. Por lo tanto, un subconjunto no vacío de un grupo que está cerrado bajo la multiplicación y la inversión es un grupo que se llama subgrupo . El subgrupo generado por un solo elemento, es decir, el cierre de este elemento, se llama grupo cíclico .
En álgebra lineal , la clausura de un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (en el marco de operaciones de espacio vectorial, es decir, adición y multiplicación escalar) es el espacio lineal de este subconjunto. Es un espacio vectorial por el resultado general anterior, y se puede demostrar fácilmente que es el conjunto de combinaciones lineales de elementos del subconjunto.
Se pueden dar ejemplos similares para casi todas las estructuras algebraicas, a veces con una terminología específica. Por ejemplo, en un anillo conmutativo , el cierre de un único elemento bajo operaciones ideales se denomina ideal principal .
Una relación binaria en un conjunto A se puede definir como un subconjunto R del conjunto de pares ordenados de elementos de A. La notación se utiliza comúnmente para Muchas propiedades u operaciones sobre relaciones se pueden utilizar para definir clausuras. Algunas de las más comunes son las siguientes:
Un preorden es una relación que es reflexiva y transitiva. De ello se desprende que el cierre transitivo reflexivo de una relación es el preorden más pequeño que lo contiene. De manera similar, el cierre simétrico transitivo reflexivo o el cierre de equivalencia de una relación es la relación de equivalencia más pequeña que lo contiene.
En las secciones anteriores, se consideran los cierres para subconjuntos de un conjunto dado. Los subconjuntos de un conjunto forman un conjunto parcialmente ordenado (poset) para su inclusión . Los operadores de cierre permiten generalizar el concepto de cierre a cualquier conjunto parcialmente ordenado.
Dado un conjunto poset S cuyo orden parcial se denota con ≤ , un operador de cierre en S es una función que es
De manera equivalente, una función de S a S es un operador de cierre si para todos
Un elemento de S es cerrado si es su propia clausura, es decir, si Por idempotencia, un elemento es cerrado si y sólo si es la clausura de algún elemento de S.
Un ejemplo es el operador de cierre topológico ; en la caracterización de Kuratowski , los axiomas K2, K3, K4' corresponden a las propiedades definitorias anteriores. Un ejemplo que no opera sobre subconjuntos es la función techo , que asigna cada número real x al entero más pequeño que no sea menor que x .
Un cierre de los subconjuntos de un conjunto dado puede definirse mediante un operador de cierre o mediante un conjunto de conjuntos cerrados que sea estable bajo intersección e incluya el conjunto dado. Estas dos definiciones son equivalentes.
De hecho, las propiedades definitorias de un operador de cierre C implican que una intersección de conjuntos cerrados es cerrada: si es una intersección de conjuntos cerrados, entonces debe contener X y estar contenido en cada Esto implica por definición de la intersección.
Por el contrario, si se dan conjuntos cerrados y cada intersección de conjuntos cerrados es cerrada, entonces se puede definir un operador de cierre C tal que sea la intersección de los conjuntos cerrados que contienen a X.
Esta equivalencia sigue siendo cierta para conjuntos parcialmente ordenados con la propiedad de máximo límite inferior , si se reemplaza "conjuntos cerrados" por "elementos cerrados" e "intersección" por "máximo límite inferior".
la envoltura convexa de S, denotada por coS, es el conjunto convexo más pequeño que contiene a S.
