Espacio secuencial

Espacio topológico caracterizado por secuencias

En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio secuencial es un espacio topológico cuya topología se puede caracterizar completamente por sus secuencias convergentes/divergentes. Se los puede considerar como espacios que satisfacen un axioma muy débil de numerabilidad , y todos los espacios de primer orden (en particular los espacios métricos ) son secuenciales.

En cualquier espacio topológico, si una secuencia convergente está contenida en un conjunto cerrado , entonces el límite de esa secuencia también debe estar contenido en él . Los conjuntos con esta propiedad se conocen como secuencialmente cerrados . Los espacios secuenciales son precisamente aquellos espacios topológicos para los cuales los conjuntos secuencialmente cerrados son, de hecho, cerrados. (Estas definiciones también pueden reformularse en términos de conjuntos secuencialmente abiertos; véase más adelante). Dicho de otra manera, cualquier topología puede describirse en términos de redes (también conocidas como secuencias de Moore-Smith), pero esas secuencias pueden ser "demasiado largas" (indexadas por un ordinal demasiado grande) para comprimirlas en una secuencia. Los espacios secuenciales son aquellos espacios topológicos para los cuales las redes de longitud contable (es decir, las secuencias) son suficientes para describir la topología. ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C}$

Cualquier topología se puede refinar (es decir, hacer más fina) hasta convertirse en una topología secuencial, llamada correflexión secuencial de ${\displaystyle X.}$

Los conceptos relacionados de espacios de Fréchet-Urysohn , espacios T -secuenciales y espacios -secuenciales también se definen en términos de cómo la topología de un espacio interactúa con las secuencias, pero tienen propiedades sutilmente diferentes. ${\displaystyle N}$

Los espacios secuenciales y los espacios -secuenciales fueron introducidos por SP Franklin . ^[1] ${\displaystyle N}$

Historia

Aunque los espacios que satisfacen tales propiedades se habían estudiado implícitamente durante varios años, la primera definición formal se debe a SP Franklin en 1965. Franklin quería determinar "las clases de espacios topológicos que pueden especificarse completamente mediante el conocimiento de sus secuencias convergentes", y comenzó investigando los espacios de primer orden , para los que ya se sabía que las secuencias eran suficientes. Franklin llegó entonces a la definición moderna abstrayendo las propiedades necesarias de los espacios de primer orden.

Definiciones preliminares

Sea un conjunto y sea una secuencia en ; es decir, una familia de elementos de , indexada por los números naturales . En este artículo, significa que cada elemento de la secuencia es un elemento de y, si es una función, entonces Para cualquier índice la cola de comenzando en es la secuencia Una secuencia está eventualmente en si alguna cola de satisface ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

Sea una topología sobre y una secuencia en ella. La secuencia converge a un punto escrito (cuando el contexto lo permite, ), si, para cada entorno de eventualmente está en se llama entonces un punto límite de ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Una función entre espacios topológicos es secuencialmente continua si implica ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

Cierre secuencial/interior

Sea un espacio topológico y sea un subconjunto. La clausura topológica (o interior topológico ) de en se denota por (o interior ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$

El cierre secuencial de en es el conjunto que define un mapa, el operador de cierre secuencial , sobre el conjunto potencia de Si es necesario para mayor claridad, este conjunto también puede escribirse o Siempre es el caso que pero lo inverso puede fallar. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$

El interior secuencial de in es el conjunto (el espacio topológico nuevamente indicado con un subíndice si es necesario). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ $${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}}$$

El cierre secuencial y el interior satisfacen muchas de las buenas propiedades del cierre topológico y el interior: para todos los subconjuntos ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$y ; ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$y ; ${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; y
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

Es decir, el cierre secuencial es un operador de preclausura . A diferencia del cierre topológico, el cierre secuencial no es idempotente : la última contención puede ser estricta. Por lo tanto, el cierre secuencial no es un operador de clausura ( de Kuratowski ) .

Conjuntos cerrados y abiertos secuencialmente

Un conjunto es secuencialmente cerrado si ; equivalentemente, para todos y tales que debemos tener ^{[nota 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {scl} (S)}$ ${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

Se define que un conjunto es secuencialmente abierto si su complemento es secuencialmente cerrado. Las condiciones equivalentes incluyen: ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle S=\operatorname {sint} (S)}$o
• Para todo y tal que eventualmente está en (es decir, existe algún entero tal que la cola ). ${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$

Un conjunto es un vecindario secuencial de un punto si contiene en su interior secuencial; los vecindarios secuenciales no necesitan ser secuencialmente abiertos (ver § Espacios T y N-secuenciales más abajo). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$

Es posible que un subconjunto de sea secuencialmente abierto pero no abierto. De manera similar, es posible que exista un subconjunto secuencialmente cerrado que no sea cerrado. ${\displaystyle X}$

Espacios secuenciales y correflexión

Como se discutió anteriormente, el cierre secuencial no es en general idempotente, y por lo tanto no es el operador de cierre de una topología. Se puede obtener un cierre secuencial idempotente mediante iteración transfinita : para un ordinal sucesor define (como es habitual) y, para un ordinal límite define Este proceso da una secuencia creciente de conjuntos indexada por ordinales; como resulta, esa secuencia siempre se estabiliza por índice (el primer ordinal incontable ). A la inversa, el orden secuencial de es el ordinal mínimo en el que, para cualquier elección de la secuencia anterior se estabilizará. ^[2] ${\displaystyle \alpha +1,}$ $${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$ ${\displaystyle \alpha ,}$ $${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S,}$

El cierre secuencial transfinito de es el conjunto terminal en la secuencia anterior: El operador es idempotente y, por lo tanto, un operador de cierre . En particular, define una topología, la correflexión secuencial. En la correflexión secuencial, todo conjunto secuencialmente cerrado es cerrado (y todo conjunto secuencialmente abierto es abierto). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$ ${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$

Espacios secuenciales

Un espacio topológico es secuencial si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle \tau }$es su propia correflexión secuencial. ^[4]
• Cada subconjunto secuencialmente abierto de es abierto. ${\displaystyle X}$
• Todo subconjunto secuencialmente cerrado de es cerrado. ${\displaystyle X}$
• Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en existe algún ^{[nota 2]} y una secuencia en que converge a ^[5] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$
• (Propiedad universal) Para cada espacio topológico, una función es continua si y sólo si es secuencialmente continua (si entonces ). ^[6] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$
• ${\displaystyle X}$es el cociente de un espacio primer contable.
• ${\displaystyle X}$es el cociente de un espacio métrico.

Al tomar y como la función identidad en la propiedad universal, se sigue que la clase de espacios secuenciales consiste precisamente en aquellos espacios cuya estructura topológica está determinada por sucesiones convergentes. Si dos topologías coinciden en sucesiones convergentes, entonces necesariamente tienen la misma correflexión secuencial. Además, una función de es secuencialmente continua si y solo si es continua en la correflexión secuencial (es decir, cuando está precompuesta con ). ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

yo- ynorte-espacios secuenciales

Un espacio T -secuencial es un espacio topológico con orden secuencial 1, que es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones: ^[1]

• El cierre secuencial (o interior) de cada subconjunto de está secuencialmente cerrado (resp. abierto). ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$o son idempotentes. ${\displaystyle \operatorname {sint} }$
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$o ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• Cualquier vecindario secuencial de puede reducirse a un conjunto secuencialmente abierto que contiene ; formalmente, los vecindarios secuencialmente abiertos son una base de vecindario para los vecindarios secuenciales. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$
• Para cualquier y cualquier vecindad secuencial de existe una vecindad secuencial de tal que, para cada conjunto es una vecindad secuencial de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m.}$

Ser un espacio T -secuencial no es comparable con ser un espacio secuencial; hay espacios secuenciales que no son T -secuenciales y viceversa. Sin embargo, un espacio topológico se denomina -secuencial (o vecindad-secuencial ) si es tanto secuencial como T -secuencial. Una condición equivalente es que cada vecindad secuencial contenga una vecindad abierta (clásica). ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle N}$

Todo espacio numerable (y por lo tanto todo espacio metrizable ) es secuencial. Existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales pero no secuenciales (y por lo tanto no T secuenciales). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Espacios de Fréchet-Urysohn

Un espacio topológico se llama Fréchet-Urysohn si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle X}$es hereditariamente secuencial; es decir, cada subespacio topológico es secuencial.
• Para cada subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.}$
• Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en y existe una secuencia en que converge a ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

A los espacios de Fréchet-Urysohn también se les llama a veces "Fréchet", pero no deben confundirse ni con los espacios de Fréchet en el análisis funcional ni con la condición T 1 .

Ejemplos y condiciones suficientes

Todo complejo CW es secuencial, ya que puede considerarse como un cociente de un espacio métrico.

El espectro principal de un anillo noetheriano conmutativo con la topología de Zariski es secuencial. ^[7]

Toma la recta real e identifica el conjunto de los números enteros hasta un punto. Como cociente de un espacio métrico, el resultado es secuencial, pero no es numerable en primer lugar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Todo espacio de primer orden contable es de Fréchet-Urysohn y todo espacio de Fréchet-Urysohn es secuencial. Por lo tanto, todo espacio metrizable o pseudometrizable —en particular, todo espacio de segundo orden contable , espacio métrico o espacio discreto—  es secuencial.

Sea un conjunto de aplicaciones de espacios de Fréchet-Urysohn a Entonces la topología final que induce en es secuencial. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es secuencial si y sólo si no existe una topología estrictamente más fina con las mismas secuencias convergentes. ^{[8] [9]}

Espacios que son secuenciales pero no Fréchet-Urysohn

El espacio de Schwartz y el espacio de funciones suaves , como se analiza en el artículo sobre distribuciones , son espacios secuenciales ampliamente utilizados. ^{[10] [11]} ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

De manera más general, todo espacio DF de Montel de dimensión infinita es secuencial, pero no de Fréchet-Urysohn .

El espacio de Arens es secuencial, pero no el de Fréchet-Urysohn. ^{[12] [13]}

No ejemplos (espacios que no son secuenciales)

El espacio más simple que no es secuencial es la topología cocontable sobre un conjunto incontable. Toda sucesión convergente en dicho espacio es eventualmente constante; por lo tanto, todo conjunto es secuencialmente abierto. Pero la topología cocontable no es discreta . (Se podría llamar a la topología "secuencialmente discreta"). ^[14]

Sea el espacio de funciones de prueba -suaves con su topología canónica y sea el espacio de distribuciones, el espacio dual fuerte de ; ninguno es secuencial (ni siquiera un espacio de Ascoli). ^{[10] [11]} Por otra parte, tanto y son espacios de Montel ^[15] y, en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia de funcionales lineales continuos converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil* (es decir, converge puntualmente). ^{[10] [16]} ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

Consecuencias

Todo espacio secuencial tiene estrechez contable y se genera de forma compacta .

Si es una sobreyección abierta continua entre dos espacios secuenciales de Hausdorff entonces el conjunto de puntos con preimagen única es cerrado. (Por continuidad, también lo es su preimagen en el conjunto de todos los puntos en los que es inyectiva.) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$

Si es una función sobreyectiva (no necesariamente continua) sobre un espacio secuencial de Hausdorff y bases para la topología en entonces es una función abierta si y sólo si, para cada vecindad básica de y secuencia en hay una subsecuencia de que eventualmente está en  ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f(B).}$

Propiedades categóricas

La subcategoría completa Seq de todos los espacios secuenciales se cierra bajo las siguientes operaciones en la categoría Top de espacios topológicos:

• Cocientes
• Imágenes continuas cerradas o abiertas
• Sumas
• Límites inductivos ^{[ disputado – discutir ]}
• Subespacios abiertos y cerrados

La categoría Seq no está cerrada bajo las siguientes operaciones en Top :

• Imágenes continuas
• Subespacios
• Productos finitos

Los espacios secuenciales, al estar cerrados bajo sumas y cocientes topológicos, forman una subcategoría correflectiva de la categoría de espacios topológicos . De hecho, son la envoltura correflectiva de los espacios metrizables (es decir, la clase más pequeña de espacios topológicos cerrados bajo sumas y cocientes y que contienen a los espacios metrizables).

La subcategoría Seq es una categoría cartesiana cerrada respecto de su propio producto (no el de Top ). Los objetos exponenciales están dotados de la topología abierta (secuencia convergente).

PI Booth y A. Tillotson han demostrado que Seq es la subcategoría cartesiana cerrada más pequeña de Top que contiene los espacios topológicos subyacentes de todos los espacios métricos , complejos CW y variedades diferenciables y que está cerrada bajo colimites, cocientes y otras "ciertas identidades razonables" que Norman Steenrod describió como "convenientes". ^[17]

Todo espacio secuencial se genera de forma compacta , y los productos finitos en Seq coinciden con los de los espacios generados de forma compacta, ya que los productos de la categoría de espacios generados de forma compacta preservan los cocientes de los espacios métricos.

Véase también

• Axioma de contabilidad  : propiedad de ciertos objetos matemáticos (normalmente de una categoría) que afirma la existencia de un conjunto numerable con determinadas propiedades. Sin dicho axioma, es probable que dicho conjunto no exista.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Propiedad de gráfico cerrado  : gráfico de una función cerrada en el espacio del producto
• Espacio de primer conteo  : espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable
• Espacio de Fréchet-Urysohn  – Propiedad del espacio topológico
• Mapa de cobertura de secuencias

Notas

1. No se puede aplicar simultáneamente esta "prueba" a infinitos subconjuntos (por ejemplo, no se puede usar algo parecido al axioma de elección ). No todos los espacios secuenciales son de Fréchet-Urysohn , pero solo en esos espacios se puede determinar la clausura de un conjunto sin que sea necesario considerar nunca ningún conjunto distinto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
2. Un espacio de Fréchet–Urysohn se define por la condición análoga para todos los : ${\displaystyle x}$

   Para cualquier subconjunto que no esté cerrado en ningún caso existe una secuencia en que converge a ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(S)\setminus S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$

Citas

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2. * Arhangel'skiĭ, AV; Franklin, SP (1968). "Invariantes ordinales para espacios topológicos". Michigan Math. J. 15 ( 3): 313–320. doi : 10.1307/mmj/1029000034 .
3. Baron, S. (octubre de 1968). "La subcategoría coreflectiva de los espacios secuenciales". Canadian Mathematical Bulletin . 11 (4): 603–604. doi : 10.4153/CMB-1968-074-4 . ISSN  0008-4395. S2CID  124685527.
4. "¿La topología de conjuntos secuencialmente abiertos es secuencial?". Mathematics Stack Exchange .
5. Arkhangel'skii, AV y Pontryagin LS,  Topología general I, definición 9 p.12
6. Baron, S.; Leader, Solomon (1966). "Solución al problema n.° 5299". The American Mathematical Monthly . 73 (6): 677–678. doi :10.2307/2314834. ISSN  0002-9890. JSTOR  2314834.
7. "Sobre las propiedades secuenciales de los espacios topológicos noetherianos" (PDF) . 2004. Consultado el 30 de julio de 2023 .
8. Wilansky 2013, pág. 224.
9. Dudley, RM, Sobre la convergencia secuencial - Transactions of the American Mathematical Society Vol 112, 1964, pp. 483-507
10. Gabrielyan, Saak (2019). "Propiedades topológicas de espacios estrictos y duales fuertes de espacios estrictos de Montel". Revista de Matemáticas . 189 (1): 91–99. arXiv : 1702.07867 . doi :10.1007/s00605-018-1223-6. ${\displaystyle (LF)}$ ${\displaystyle (LF)}$
11. T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Académico de Japón. 35 (1959), 31-36.
12. Engelking 1989, Ejemplo 1.6.19
13. Ma, Dan (19 de agosto de 2010). "Una nota sobre el espacio de Arens" . Consultado el 1 de agosto de 2013 .
14. matemáticas; Sleziak, Martin (6 de diciembre de 2016). "Ejemplo de diferentes topologías con las mismas secuencias convergentes". Intercambio de pila de matemáticas . StackOverflow . Consultado el 27 de junio de 2022 .
15. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 . Es un espacio de Montel, por lo tanto paracompacto y, por lo tanto, normal.
16. Trèves 2006, págs. 351–359.
17. Steenrod 1967

Referencias

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