En lógica matemática , una teoría es categórica si tiene exactamente un modelo ( hasta el isomorfismo ). [a] Se puede considerar que tal teoría define su modelo, caracterizando de manera única la estructura del modelo.
En lógica de primer orden , sólo las teorías con un modelo finito pueden ser categóricas. La lógica de orden superior contiene teorías categóricas con un modelo infinito . Por ejemplo, los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos y tienen un modelo único cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
En la teoría de modelos , la noción de teoría categórica se refina con respecto a la cardinalidad . Una teoría es κ - categórica (o categórica en κ ) si tiene exactamente un modelo de cardinalidad κ hasta el isomorfismo. El teorema de categoricidad de Morley es un teorema de Michael D. Morley (1965) que afirma que si una teoría de primer orden en un lenguaje contable es categórica en alguna cardinalidad incontable , entonces es categórica en todas las cardinalidades incontables.
Saharon Shelah (1974) extendió el teorema de Morley a lenguas incontables: si la lengua tiene cardinalidad κ y una teoría es categórica en algún cardinal incontable mayor o igual a κ, entonces es categórica en todas las cardinalidades mayores que κ .
Oswald Veblen en 1904 definió una teoría como categórica si todos sus modelos son isomórficos. De la definición anterior y del teorema de Löwenheim-Skolem se deduce que cualquier teoría de primer orden con un modelo de cardinalidad infinita no puede ser categórica. Entonces uno se ve inmediatamente conducido a la noción más sutil de κ -categoricidad, que pregunta: ¿para qué cardinales κ existe exactamente un modelo de cardinalidad κ de la teoría dada T hasta el isomorfismo? Esta es una pregunta profunda y sólo se lograron avances significativos en 1954 cuando Jerzy Łoś notó que, al menos para teorías completas T sobre lenguajes contables con al menos un modelo infinito, solo podía encontrar tres formas para que T fuera κ -categórico en algún momento. k :
En otras palabras, observó que, en todos los casos que se le ocurrían, la κ -categoricidad en cualquier cardenal incontable implicaba κ -categoricidad en todos los demás cardenales incontables. Esta observación impulsó una gran cantidad de investigaciones en la década de 1960, que finalmente culminaron con el famoso resultado de Michael Morley de que éstas son, de hecho, las únicas posibilidades. Posteriormente, la teoría fue ampliada y refinada por Saharon Shelah en la década de 1970 y más allá, lo que condujo a la teoría de la estabilidad y al programa más general de teoría de clasificación de Shelah .
No hay muchos ejemplos naturales de teorías que sean categóricas en algún cardenal incontable. Los ejemplos conocidos incluyen:
También hay ejemplos de teorías que son categóricas en ω pero no categóricas en incontables cardinales. El ejemplo más simple es la teoría de una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia , ambas infinitas. Otro ejemplo es la teoría de los órdenes lineales densos sin puntos finales; Cantor demostró que cualquier orden lineal contable es isomorfo a los números racionales: ver el teorema de isomorfismo de Cantor .
Toda teoría categórica es completa . [1] Sin embargo, lo contrario no se cumple. [2]
Cualquier teoría T categórica en algún cardinal infinito κ está muy cerca de ser completa. Más precisamente, la prueba de Łoś-Vaught establece que si una teoría satisfactible no tiene modelos finitos y es categórica en algún cardinal infinito κ al menos igual a la cardinalidad de su lenguaje, entonces la teoría está completa. La razón es que todos los modelos infinitos son equivalentes de primer orden a algún modelo de κ cardinal según el teorema de Löwenheim-Skolem y, por tanto, todos son equivalentes ya que la teoría es categórica en κ . Por tanto, la teoría está completa ya que todos los modelos son equivalentes. Es necesaria la suposición de que la teoría no tiene modelos finitos. [3]
