Teoría estable

Preocupado por la noción de estabilidad en la teoría de modelos.

En el campo matemático de la teoría de modelos , una teoría se denomina estable si satisface ciertas restricciones combinatorias sobre su complejidad. Las teorías estables tienen su origen en la prueba del teorema de categoricidad de Morley y se estudiaron ampliamente como parte de la teoría de clasificación de Saharon Shelah , que mostró una dicotomía según la cual los modelos de una teoría admiten una clasificación adecuada o son demasiado numerosos para tener alguna esperanza de una clasificación razonable. Un primer paso de este programa fue demostrar que si una teoría no es estable, sus modelos son demasiado numerosos para clasificarlos.

Las teorías estables fueron el tema predominante de la teoría de modelos pura desde la década de 1970 hasta la de 1990, por lo que su estudio dio forma a la teoría de modelos moderna ^[1] y existe un marco rico y un conjunto de herramientas para analizarlas. Una dirección importante en la teoría de modelos es la "teoría de la neoestabilidad", que intenta generalizar los conceptos de la teoría de la estabilidad a contextos más amplios, como las teorías simples y NIP .

Motivación e historia

Un objetivo común en la teoría de modelos es estudiar una teoría de primer orden mediante el análisis de la complejidad de las álgebras de Boole de conjuntos definibles (por parámetros) en sus modelos. Se puede analizar de manera equivalente la complejidad de los duales de Stone de estas álgebras de Boole, que son espacios de tipos . La estabilidad restringe la complejidad de estos espacios de tipos al restringir sus cardinalidades . Dado que los tipos representan los posibles comportamientos de los elementos en los modelos de una teoría, restringir el número de tipos restringe la complejidad de estos modelos. ^[2]

La teoría de la estabilidad tiene sus raíces en la prueba de Michael Morley de 1965 de la conjetura de Łoś sobre las teorías categóricas. En esta prueba, la noción clave era la de una teoría totalmente trascendental, definida restringiendo la complejidad topológica de los espacios de tipos. Sin embargo, Morley demostró que (para las teorías contables) esta restricción topológica es equivalente a una restricción de cardinalidad, una forma fuerte de estabilidad ahora llamada -estabilidad, e hizo un uso significativo de esta equivalencia. En el curso de la generalización del teorema de categoricidad de Morley a las teorías incontables, Frederick Rowbottom generalizó la -estabilidad al introducir teorías -estables para algún cardinal , y finalmente Shelah introdujo teorías estables. ^[3] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

La teoría de la estabilidad se desarrolló mucho más en el curso del programa de teoría de clasificación de Shelah. El objetivo principal de este programa era mostrar una dicotomía según la cual los modelos de una teoría de primer orden pueden clasificarse bien hasta el isomorfismo utilizando un árbol de invariantes cardinales (generalizando, por ejemplo, la clasificación de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo por su dimensión ), o son tan complicados que no es posible una clasificación razonable. ^[4] Entre los resultados concretos de esta teoría de clasificación estaban los teoremas sobre las posibles funciones espectrales de una teoría , contando el número de modelos de cardinalidad como una función de . ^[a] El enfoque de Shelah fue identificar una serie de "líneas divisorias" para las teorías. Una línea divisoria es una propiedad de una teoría tal que tanto ella como su negación tienen fuertes consecuencias estructurales; una debería implicar que los modelos de la teoría son caóticos, mientras que la otra debería producir una teoría de estructura positiva. La estabilidad fue la primera línea divisoria de este tipo en el programa de teoría de la clasificación y, dado que se demostró que su fracaso descartaba cualquier clasificación razonable, todos los trabajos posteriores podían asumir que la teoría era estable. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la clasificación se ocupó del análisis de teorías estables y varios subconjuntos de teorías estables dados por líneas divisorias adicionales, como las teorías superestables . ^[3] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Una de las características clave de las teorías estables desarrolladas por Shelah es que admiten una noción general de independencia llamada independencia no bifurcada , que generaliza la independencia lineal a partir de los espacios vectoriales y la independencia algebraica a partir de la teoría de campos. Aunque la independencia no bifurcada tiene sentido en teorías arbitrarias y sigue siendo una herramienta clave más allá de las teorías estables, tiene propiedades geométricas y combinatorias particularmente buenas en las teorías estables. Al igual que con la independencia lineal, esto permite la definición de conjuntos independientes y de dimensiones locales como las cardinalidades de instancias máximas de estos conjuntos independientes, que están bien definidas bajo hipótesis adicionales. Estas dimensiones locales dan lugar entonces a los invariantes cardinales que clasifican los modelos hasta el isomorfismo. ^[4]

Definición y caracterizaciones alternativas

Sea T una teoría completa de primer orden.

Para un cardinal infinito dado , T es -estable si para cada conjunto A de cardinalidad en un modelo de T , el conjunto S(A) de tipos completos sobre A también tiene cardinalidad . Esta es la cardinalidad más pequeña que puede tener S(A) , mientras que puede ser tan grande como . Para el caso , es común decir que T es -estable en lugar de -estable. ^[5] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

T es estable si es -estable para algún cardinal infinito . ^[6] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Las restricciones sobre los cardinales para los cuales una teoría puede ser simultáneamente -estable se describen mediante el espectro de estabilidad ^[7] , que distingue el subconjunto aún más dócil de las teorías superestables. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Una definición alternativa común de las teorías estables es que no tienen la propiedad de orden . Una teoría tiene la propiedad de orden si hay una fórmula y dos secuencias infinitas de tuplas , en algún modelo M tal que define un semigrafo infinito en , es decir, es verdadero en M . ^[8] Esto es equivalente a que haya una fórmula y una secuencia infinita de tuplas en algún modelo M tal que define un orden lineal infinito en A , es decir, es verdadero en M . ^{[9] [b] [c]} ${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$ ${\displaystyle \psi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$ ${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de la estabilidad. Al igual que con las teorías totalmente trascendentales de Morley, las restricciones de cardinalidad de la estabilidad son equivalentes a limitar la complejidad topológica de los espacios de tipos en términos del rango de Cantor-Bendixson . ^[12] Otra caracterización es a través de las propiedades que la independencia no bifurcada tiene en las teorías estables, como ser simétrica. Esto caracteriza la estabilidad en el sentido de que cualquier teoría con una relación de independencia abstracta que satisfaga algunas de estas propiedades debe ser estable y la relación de independencia debe ser una independencia no bifurcada. ^[13]

Cualquiera de estas definiciones, excepto mediante una relación de independencia abstracta, puede utilizarse para definir lo que significa que una única fórmula sea estable en una teoría dada T . Entonces, T puede definirse como estable si cada fórmula es estable en T . ^[14] La localización de los resultados en fórmulas estables permite que estos resultados se apliquen a fórmulas estables en teorías inestables, y esta localización en fórmulas individuales suele ser útil incluso en el caso de teorías estables. ^[15]

Ejemplos y no ejemplos

Para una teoría inestable, considere la teoría DLO de órdenes lineales densos sin puntos finales. Entonces la relación de orden atómico tiene la propiedad de orden. Alternativamente, los 1-tipos no realizados sobre un conjunto A corresponden a cortes ( cortes de Dedekind generalizados , sin los requisitos de que los dos conjuntos no sean vacíos y que el conjunto inferior no tenga el elemento más grande) en el ordenamiento de A , ^[16] y existen órdenes densos de cualquier cardinalidad con -muchos cortes. ^[17] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Otra teoría inestable es la teoría del gráfico de Rado , donde la relación de aristas atómicas tiene la propiedad de orden. ^[18]

Para una teoría estable, considere la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica p , permitiendo . Entonces, si K es un modelo de , contar tipos sobre un conjunto es equivalente a contar tipos sobre el cuerpo k generado por A en K . Hay una biyección (continua) desde el espacio de n -tipos sobre k hasta el espacio de ideales primos en el anillo polinomial . Dado que tales ideales se generan finitamente, solo hay muchos, por lo que es -estable para todo infinito . ^[19] ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle A\subset K}$ ${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle |k|+\aleph _{0}}$ ${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

A continuación se enumeran algunos ejemplos más de teorías estables.

• La teoría de cualquier módulo sobre un anillo (en particular, cualquier teoría de espacios vectoriales o grupos abelianos ). ^[20]

• La teoría de los grupos libres no abelianos . ^[21]

• La teoría de campos diferencialmente cerrados de característica p . Cuando , la teoría es -estable. ^[22] ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \omega }$

• La teoría de cualquier clase de grafo denso en ninguna parte. ^[23] Estas incluyen clases de grafos con expansión acotada , que a su vez incluyen grafos planares y cualquier clase de grafo de grado acotado.

Teoría de la estabilidad geométrica

La teoría de la estabilidad geométrica se ocupa del análisis fino de las geometrías locales en los modelos y de cómo sus propiedades influyen en la estructura global. Esta línea de resultados fue clave más tarde en varias aplicaciones de la teoría de la estabilidad, por ejemplo, en la geometría diofántica . Por lo general, se considera que comenzó a fines de la década de 1970 con el análisis de Boris Zilber de las teorías totalmente categóricas, que finalmente demostró que no son finitamente axiomatizables . Cada modelo de una teoría totalmente categórica está controlado por (es decir, es primo y minimal sobre) un conjunto fuertemente minimal, que lleva una estructura matroide ^[d] determinada por el cierre algebraico (teórico del modelo) que da nociones de independencia y dimensión. En este contexto, la teoría de la estabilidad geométrica luego plantea la pregunta local de cuáles son las posibilidades para la estructura del conjunto fuertemente minimal, y la pregunta local a global de cómo el conjunto fuertemente minimal controla todo el modelo. ^[24]

La segunda pregunta es respondida por el Teorema de la Escalera de Zilber, mostrando que cada modelo de una teoría totalmente categórica está construida por una secuencia finita de algo así como " haces de fibras definibles " sobre el conjunto fuertemente mínimo. ^[25] Para la primera pregunta, la Conjetura de Tricotomía de Zilber era que la geometría de un conjunto fuertemente mínimo debe ser como la de un conjunto sin estructura, o el conjunto debe llevar esencialmente la estructura de un espacio vectorial, o la estructura de un campo algebraicamente cerrado, con los primeros dos casos llamados localmente modulares. ^[26] Esta conjetura ilustra dos temas centrales. Primero, que la modularidad (local) sirve para dividir el comportamiento combinatorio o lineal de la complejidad geométrica no lineal como en la geometría algebraica . ^[27] Segundo, que la geometría combinatoria complicada proviene necesariamente de objetos algebraicos; ^[28] Esto es similar al problema clásico de encontrar un anillo de coordenadas para un plano proyectivo abstracto definido por incidencias, y otros ejemplos son los teoremas de configuración de grupos que muestran que ciertas dependencias combinatorias entre elementos deben surgir de la multiplicación en un grupo definible. ^[29] Al desarrollar análogos de partes de la geometría algebraica en conjuntos fuertemente minimales, como la teoría de intersecciones , Zilber demostró una forma débil de la conjetura de tricotomía para teorías categóricas incontables. ^[30] Aunque Ehud Hrushovski desarrolló la construcción de Hrushovski para refutar la conjetura completa, más tarde se demostró con hipótesis adicionales en el contexto de las "geometrías de Zariski". ^[31]

Las nociones del programa de clasificación de Shelah, como los tipos regulares, la bifurcación y la ortogonalidad, permitieron que estas ideas se llevaran a una mayor generalidad, especialmente en teorías superestables. Aquí, los conjuntos definidos por tipos regulares desempeñan el papel de conjuntos fuertemente mínimos, con su geometría local determinada por la dependencia de bifurcación en lugar de la dependencia algebraica. En lugar del único conjunto fuertemente mínimo que controla los modelos de una teoría totalmente categórica, puede haber muchas geometrías locales de este tipo definidas por tipos regulares, y la ortogonalidad describe cuando estos tipos no tienen interacción. ^[32]

Aplicaciones

Si bien las teorías estables son fundamentales en la teoría de modelos, en esta sección se enumeran las aplicaciones de las teorías estables a otras áreas de las matemáticas. Esta lista no pretende ser exhaustiva, sino más bien amplia.

• Dado que la teoría de los campos diferencialmente cerrados de característica 0 es -estable, existen muchas aplicaciones de la teoría de la estabilidad en el álgebra diferencial . Por ejemplo, la existencia y unicidad del cierre diferencial de dicho campo (un análogo del cierre algebraico) fueron demostradas por Lenore Blum y Shelah respectivamente, utilizando resultados generales sobre modelos primos en teorías -estables. ^[33] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

• En geometría diofántica , Ehud Hrushovski utilizó la teoría de estabilidad geométrica para demostrar la conjetura de Mordell-Lang para cuerpos de funciones en todas las características, que generaliza el teorema de Faltings sobre el conteo de puntos racionales en curvas y la conjetura de Manin-Mumford sobre el conteo de puntos de torsión en curvas. ^[34] El punto clave en la prueba fue utilizar la tricotomía de Zilber en cuerpos diferenciales para mostrar que ciertos grupos definidos aritméticamente son localmente modulares. ^[35]

• En el aprendizaje automático en línea , la dimensión Littlestone de una clase de concepto es una medida de complejidad que caracteriza la capacidad de aprendizaje, análoga a la dimensión VC en el aprendizaje PAC . Limitar la dimensión Littlestone de una clase de concepto es equivalente a una caracterización combinatoria de la estabilidad que involucra árboles binarios. ^[36] Esta equivalencia se ha utilizado, por ejemplo, para demostrar que la capacidad de aprendizaje en línea de una clase de concepto es equivalente a la capacidad de aprendizaje PAC diferencialmente privada . ^[37]

• En el análisis funcional , Jean-Louis Krivine y Bernard Maurey definieron una noción de estabilidad para los espacios de Banach , equivalente a afirmar que ninguna fórmula libre de cuantificadores tiene la propiedad de orden (en lógica continua, en lugar de lógica de primer orden). Luego demostraron que cada espacio de Banach estable admite una incrustación casi isométrica de ℓ p para algún . ^[38] Esto es parte de una interacción más amplia entre el análisis funcional y la estabilidad en la lógica continua; por ejemplo, los primeros resultados de Alexander Grothendieck en el análisis funcional pueden interpretarse como equivalentes a los resultados fundamentales de la teoría de la estabilidad. ^[39] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$

• Una estructura numerable (posiblemente finita) es ultrahomogénea si cada automorfismo parcial finito se extiende a un automorfismo de la estructura completa. Gregory Cherlin y Alistair Lachlan proporcionaron una teoría de clasificación general para estructuras ultrahomogéneas estables, incluidas todas las finitas. En particular, sus resultados muestran que para cualquier lenguaje relacional finito fijo, las estructuras homogéneas finitas caen en un número finito de familias infinitas con miembros parametrizados por invariantes numéricos y un número finito de ejemplos esporádicos. Además, cada ejemplo esporádico se convierte en parte de una familia infinita en algún lenguaje más rico, y siempre aparecen nuevos ejemplos esporádicos en lenguajes adecuadamente más ricos. ^[40]

• En combinatoria aritmética , Hrushovski demostró resultados sobre la estructura de subgrupos aproximados , por ejemplo, implicando una versión reforzada del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . Aunque esto no utilizó directamente teorías estables, la idea clave fue que los resultados fundamentales de la teoría de grupos estables podrían generalizarse y aplicarse en este contexto. ^[41] Esto condujo directamente al teorema de Breuillard-Green-Tao que clasifica los subgrupos aproximados. ^[42]

Generalizaciones

Durante unos veinte años después de su introducción, la estabilidad fue el tema principal de la teoría de modelos puros. ^[43] Una dirección central de la teoría de modelos puros moderna, a veces llamada "neoestabilidad" o "teoría de la clasificación", ^[e] consiste en generalizar los conceptos y técnicas desarrollados para las teorías estables a clases más amplias de teorías, y esto ha alimentado muchas de las aplicaciones más recientes de la teoría de modelos. ^[44]

Dos ejemplos notables de tales clases más amplias son las teorías simples y NIP. Estas son generalizaciones ortogonales de teorías estables, ya que una teoría es simple y NIP si y solo si es estable. ^[43] En términos generales, las teorías NIP mantienen el buen comportamiento combinatorio de las teorías estables, mientras que las teorías simples mantienen el buen comportamiento geométrico de independencia sin bifurcación. ^[45] En particular, las teorías simples pueden caracterizarse por una independencia sin bifurcación que es simétrica, ^[46] mientras que NIP puede caracterizarse por limitar el número de tipos realizados sobre conjuntos finitos ^[47] o infinitos ^{[48] .}

Otra dirección de generalización es recapitular la teoría de la clasificación más allá del contexto de las teorías completas de primer orden, como en las clases elementales abstractas . ^[49]

Véase también

• Espectro de estabilidad
• Espectro de una teoría
• Teorema de categoricidad de Morley
• Teorías del NIP

Notas

1. Uno de esos resultados es la prueba de Shelah de la conjetura de Morley para las teorías contables, que afirma que el número de modelos de cardinalidad no es decreciente para las incontables . ^[4] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
2. En un trabajo sobre la conjetura de Łoś que precedió a la demostración de Morley, Andrzej Ehrenfeucht introdujo una propiedad ligeramente más fuerte que la propiedad de orden, que Shelah más tarde denominó propiedad (E). Esta fue otra precursora de las teorías (inestables). ^[10]
3. Un beneficio de la definición de estabilidad a través de la propiedad de orden es que es más claramente absoluta en teoría de conjuntos . ^[11]
4. En este contexto se suele utilizar el término " pregeometría " en lugar de "matroide".
5. El término "teoría de la clasificación" tiene dos usos. El uso restringido descrito anteriormente se refiere al programa de Shelah de identificar teorías clasificables y tiene lugar casi exclusivamente dentro de las teorías estables. El uso más amplio descrito aquí se refiere al programa más amplio de clasificación de teorías mediante líneas divisorias posiblemente más generales que la estabilidad. ^[11]

Referencias

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Enlaces externos

• Un mapa de la clasificación de teorías según modelos, destacando la estabilidad
• Dos reseñas de libros que analizan la teoría de la estabilidad y la clasificación para no teóricos de modelos: Fundamentos de la teoría de la estabilidad y la teoría de la clasificación
• Una visión general de la teoría de la estabilidad (geométrica) para no teóricos de modelos