Cuantización canónica

Proceso de conversión de una teoría física clásica en una compatible con la mecánica cuántica

En física , la cuantificación canónica es un procedimiento para cuantificar una teoría clásica , al tiempo que se intenta preservar la estructura formal, como las simetrías , de la teoría clásica en la mayor medida posible.

Históricamente, este no fue el camino seguido por Werner Heisenberg para obtener la mecánica cuántica , pero Paul Dirac lo introdujo en su tesis doctoral de 1926, el "método de analogía clásica" para la cuantificación, ^[1] y lo detalló en su texto clásico Principios de Quantum. Mecánica . ^[2] La palabra canónica surge del enfoque hamiltoniano de la mecánica clásica, en el que la dinámica de un sistema se genera a través de corchetes canónicos de Poisson , una estructura que se conserva sólo parcialmente en la cuantificación canónica.

Este método fue utilizado además por Paul Dirac en el contexto de la teoría cuántica de campos , en su construcción de la electrodinámica cuántica . En el contexto de la teoría de campos, también se denomina segunda cuantificación de campos, en contraste con la primera cuantificación semiclásica de partículas individuales.

Historia

Cuando se desarrolló por primera vez, la física cuántica se ocupaba únicamente de la cuantificación del movimiento de las partículas, dejando el campo electromagnético clásico , de ahí el nombre de mecánica cuántica . ^[3]

Posteriormente, el campo electromagnético también se cuantizó, e incluso las propias partículas quedaron representadas a través de campos cuantizados, lo que dio lugar al desarrollo de la electrodinámica cuántica (QED) y la teoría cuántica de campos en general. ^[4] Así, por convención, la forma original de la mecánica cuántica de partículas se denomina primera cuantificación , mientras que la teoría cuántica de campos se formula en el lenguaje de la segunda cuantificación .

Primera cuantificación

Sistemas de partículas individuales

La siguiente exposición está basada en el tratado de mecánica cuántica de Dirac . ^[2] En la mecánica clásica de una partícula, existen variables dinámicas que se denominan coordenadas ( x ) y momentos ( p ). Estos especifican el estado de un sistema clásico. La estructura canónica (también conocida como estructura simpléctica ) de la mecánica clásica consta de corchetes de Poisson que encierran estas variables, como { x , p } = 1 . Todas las transformaciones de variables que conservan estos corchetes se permiten como transformaciones canónicas en la mecánica clásica. El movimiento en sí es una transformación canónica.

Por el contrario, en la mecánica cuántica , todas las características significativas de una partícula están contenidas en un estado , llamado estado cuántico . Los observables están representados por operadores que actúan en un espacio de Hilbert de tales estados cuánticos . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

El valor propio de un operador que actúa sobre uno de sus estados propios representa el valor de una medida en la partícula así representada. Por ejemplo, el operador hamiltoniano que actúa sobre un estado lee la energía , lo que produce ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$

En es _laestado propio ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

Cualquier estado podría representarse como una combinación lineal de estados propios de energía; Por ejemplo,

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$

a _n

Como en la mecánica clásica, todos los operadores dinámicos pueden representarse mediante funciones de posición y momento, y , respectivamente. La conexión entre esta representación y la representación de función de onda más habitual viene dada por el estado propio del operador de posición que representa una partícula en la posición , que se denota por un elemento en el espacio de Hilbert y que satisface . Entonces, . ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

Asimismo, los estados propios del operador de momento especifican la representación del momento : . ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \psi (p)=\langle p|\psi \rangle }$

La relación central entre estos operadores es un análogo cuántico del soporte de Poisson de la mecánica clásica anterior, la relación de conmutación canónica .

$${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .}$$

Esta relación codifica (y conduce formalmente a) el principio de incertidumbre , en la forma Δ x Δ p ≥ ħ /2 . Por tanto, esta estructura algebraica puede considerarse como el análogo cuántico de la estructura canónica de la mecánica clásica.

Sistemas de muchas partículas

Cuando se recurre a sistemas de N partículas, es decir, sistemas que contienen N partículas idénticas (partículas caracterizadas por los mismos números cuánticos como masa , carga y espín ), es necesario extender la función de estado de una sola partícula a la función de estado de N partículas. . Una diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la cuántica se refiere al concepto de indistinguibilidad de partículas idénticas. Por tanto, en la física cuántica sólo son posibles dos especies de partículas, los llamados bosones y fermiones , que obedecen las siguientes reglas para cada tipo de partícula: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

• para bosones:
  $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$
• para fermiones:
  $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$

donde hemos intercambiado dos coordenadas de la función de estado. La función de onda habitual se obtiene utilizando el determinante de Slater y la teoría de partículas idénticas . Utilizando esta base, es posible resolver varios problemas de muchas partículas. ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

Problemas y limitaciones

Soportes clásicos y cuánticos.

El libro de Dirac ^[2] detalla su popular regla de sustituir los soportes de Poisson por conmutadores :

${\displaystyle \{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.}$

Se podría interpretar esta propuesta en el sentido de que deberíamos buscar un "mapa de cuantificación" que mapee una función en el espacio de fase clásico con un operador en el espacio cuántico de Hilbert tal que ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q_{f}}$

$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$

. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

teorema de groenewold

Una versión concreta de la afirmación de imposibilidad anterior es el teorema de Groenewold (en honor al físico teórico holandés Hilbrand J. Groenewold ), que describimos para un sistema con un grado de libertad por simplicidad. Aceptemos las siguientes "reglas básicas" para el mapa . Primero, se debe enviar la función constante 1 al operador de identidad. En segundo lugar, debe tomar y a los operadores habituales de posición e impulso y . En tercer lugar, se debe tomar un polinomio en y para un "polinomio" en y , es decir, combinaciones lineales finitas de productos de y , que pueden tomarse en cualquier orden deseado. En su forma más simple, el teorema de Groenewold dice que no existe ningún mapa que satisfaga las reglas básicas anteriores y también la condición entre corchetes. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En realidad, la inexistencia de tal aplicación ocurre ya cuando llegamos a los polinomios de grado cuatro. Tenga en cuenta que el corchete de Poisson de dos polinomios de grado cuatro tiene grado seis, por lo que no tiene exactamente sentido requerir un mapa de polinomios de grado cuatro para respetar la condición del corchete. Sin embargo, podemos exigir que la condición entre paréntesis se cumpla cuando y tenga grado tres. El teorema de Groenewold ^[5] se puede enunciar de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Teorema  :  no existe un mapa de cuantificación (siguiendo las reglas básicas anteriores) en polinomios de grado menor o igual a cuatro que satisfaga ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$

siempre y cuando tengan grado menor o igual a tres. (Tenga en cuenta que en este caso, tiene grado menor o igual a cuatro.) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$

La prueba se puede resumir de la siguiente manera. ^{[6] [7]} Supongamos que primero intentamos encontrar un mapa de cuantificación en polinomios de grado menor o igual a tres que satisfagan la condición entre corchetes siempre que tengan grado menor o igual a dos y tengan grado menor o igual a dos. Entonces existe precisamente uno de esos mapas, y es la cuantificación de Weyl . El resultado de imposibilidad ahora se obtiene escribiendo el mismo polinomio de grado cuatro como un paréntesis de Poisson de polinomios de grado tres de dos maneras diferentes . Específicamente, tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}}$$

El argumento se termina calculando por fuerza bruta que

$${\displaystyle {\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].}$$

${\displaystyle Q(x^{2}p^{2})}$

Axiomas de cuantificación

Si Q representa el mapa de cuantificación que actúa sobre las funciones f en el espacio de fase clásico, entonces las siguientes propiedades generalmente se consideran deseables: ^[8]

1. ${\displaystyle Q_{x}\psi =x\psi }$y   (operadores de posición/momento elementales) ${\displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~}$
2. ${\displaystyle f\longmapsto Q_{f}~~}$   es un mapa lineal
3. ${\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~}$   (soporte de Poisson)
4. ${\displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~}$   (regla de von Neumann).

Sin embargo, estas cuatro propiedades no sólo son mutuamente inconsistentes, ¡ sino que tres de ellas también son inconsistentes! ^[9] Resulta que los únicos pares de estas propiedades que conducen a soluciones no triviales y autoconsistentes son 2 y 3, y posiblemente 1 y 3 o 1 y 4. Aceptar las propiedades 1 y 2, junto con una condición más débil que 3 sea cierto sólo asintóticamente en el límite ħ →0 (ver soporte de Moyal ), conduce a la cuantificación de la deformación , y se debe proporcionar alguna información extraña, como en las teorías estándar utilizadas en la mayor parte de la física. Aceptar las propiedades 1, 2 y 3 pero restringir el espacio de observables cuantificables para excluir términos como los cúbicos en el ejemplo anterior equivale a una cuantificación geométrica .

Segunda cuantificación: teoría de campos.

La mecánica cuántica logró describir sistemas no relativistas con un número fijo de partículas, pero se necesitaba un nuevo marco para describir sistemas en los que se pueden crear o destruir partículas, por ejemplo, el campo electromagnético, considerado como una colección de fotones. Finalmente se comprendió que la relatividad especial era incompatible con la mecánica cuántica de una sola partícula, por lo que ahora todas las partículas se describen relativistamente mediante campos cuánticos .

Cuando se aplica el procedimiento de cuantificación canónico a un campo, como el campo electromagnético, las variables de campo clásicas se convierten en operadores cuánticos . Por lo tanto, los modos normales que comprenden la amplitud del campo son osciladores simples, cada uno de los cuales está cuantificado en la primera cuantificación estándar, arriba, sin ambigüedad. Los cuantos resultantes se identifican con partículas individuales o excitaciones. Por ejemplo, los cuantos del campo electromagnético se identifican con fotones. A diferencia de la primera cuantificación, la segunda cuantificación convencional es completamente inequívoca, de hecho un funtor , ya que el conjunto constituyente de sus osciladores se cuantifica sin ambigüedades.

Históricamente, la cuantificación de la teoría clásica de una sola partícula dio lugar a una función de onda. Las ecuaciones clásicas de movimiento de un campo suelen ser idénticas en forma a las ecuaciones (cuánticas) para la función de onda de uno de sus cuantos . Por ejemplo, la ecuación de Klein-Gordon es la ecuación clásica de movimiento para un campo escalar libre, pero también la ecuación cuántica para una función de onda de partícula escalar. Esto significaba que cuantificar un campo parecía ser similar a cuantificar una teoría que ya estaba cuantificada, lo que llevó al extravagante término segunda cuantificación en la literatura antigua, que todavía se utiliza para describir la cuantificación de campos, aunque la interpretación moderna detallada es diferente.

Una desventaja de la cuantificación canónica para un campo relativista es que al confiar en el hamiltoniano para determinar la dependencia del tiempo, la invariancia relativista ya no es manifiesta. Por tanto, es necesario comprobar que no se pierde la invariancia relativista . Alternativamente, el enfoque integral de Feynman está disponible para cuantificar campos relativistas y es manifiestamente invariante. Para las teorías de campos no relativistas, como las utilizadas en la física de la materia condensada , la invariancia de Lorentz no es un problema.

Operadores de campo

En mecánica cuántica, las variables de un campo (como la amplitud del campo en un punto determinado) están representadas por operadores en un espacio de Hilbert . En general, todos los observables se construyen como operadores en el espacio de Hilbert, y la evolución temporal de los operadores está regida por el hamiltoniano , que debe ser un operador positivo. Un estado aniquilado por el hamiltoniano debe identificarse como el estado de vacío , que es la base para construir todos los demás estados. En una teoría de campos libres (que no interactúan), el vacío normalmente se identifica como un estado que contiene cero partículas. En una teoría con partículas que interactúan, identificar el vacío es más sutil, debido a la polarización del vacío , lo que implica que el vacío físico en la teoría cuántica de campos nunca está realmente vacío. Para mayor elaboración, véanse los artículos sobre el vacío de la mecánica cuántica y el vacío de la cromodinámica cuántica . Los detalles de la cuantificación canónica dependen del campo que se cuantifica y de si está libre o interactuando. ${\displaystyle |0\rangle }$

Campo escalar real

Una teoría de campos escalares proporciona un buen ejemplo del procedimiento de cuantificación canónico. ^[10] Clásicamente, un campo escalar es una colección de una infinidad de modos normales de oscilador . Basta considerar un espacio-tiempo de 1+1 dimensiones en el que la dirección espacial se compacta en un círculo de circunferencia 2 π , lo que hace que los momentos sean discretos. ${\displaystyle \mathbb {R} \times S_{1},}$

La densidad lagrangiana clásica describe una infinidad de osciladores armónicos acoplados , etiquetados por x , que ahora es una etiqueta (y no la variable dinámica de desplazamiento a cuantificar), denotada por el campo clásico φ ,

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),}$$

V ( φ )

$${\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.}$$

transformación de LegendreLhamiltoniano clásico es ${\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi }$

$${\displaystyle H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].}$$

La cuantificación canónica trata las variables φ y π como operadores con relaciones de conmutación canónicas en el tiempo t = 0, dado por

$${\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).}$$

φπ

$${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.}$$

Sin embargo, dado que φ y π ya no conmutan, esta expresión es ambigua a nivel cuántico. El problema es construir una representación de los operadores relevantes en un espacio de Hilbert y construir un operador positivo H como operador cuántico en este espacio de Hilbert de tal manera que proporcione esta evolución para los operadores dada por la ecuación anterior, y para mostrar que contiene un estado de vacío en el que H tiene valor propio cero. En la práctica, esta construcción es un problema difícil para las teorías de campos interactuantes y sólo en unos pocos casos simples se ha resuelto completamente mediante los métodos de la teoría cuántica de campos constructiva . Muchas de estas cuestiones se pueden evitar utilizando la integral de Feynman como se describe para un V ( φ ) particular en el artículo sobre teoría de campos escalares . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

En el caso de un campo libre, con V ( φ ) = 0 , el procedimiento de cuantificación es relativamente sencillo. Es conveniente realizar la transformada de Fourier de los campos, de modo que

$${\displaystyle \phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.}$$

$${\displaystyle \phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.}$$

$${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],}$$

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

Este hamiltoniano es, por tanto, reconocible como una suma infinita de excitaciones del oscilador en modo normal clásico φ _k , cada una de las cuales está cuantificada de la manera estándar , por lo que el hamiltoniano cuántico libre parece idéntico. Son los φ _k s los que se han convertido en operadores que obedecen las relaciones de conmutación estándar, [ φ _k , π _k ^† ] = [ φ _k ^† , π _k ] = iħ , desapareciendo todos los demás. El espacio colectivo de Hilbert de todos estos osciladores se construye así utilizando operadores de creación y aniquilación construidos a partir de estos modos,

$${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),}$$

[ a _k , a _k ^† ] = 1k

Se considera que el vacío es aniquilado por todos los _ak , y es el espacio de Hilbert ^construido aplicando cualquier combinación de la colección infinita de operadores de creación ak _† a . Este espacio de Hilbert se llama espacio de Fock . Para cada k , esta construcción es idéntica a un oscilador armónico cuántico . El campo cuántico es un conjunto infinito de osciladores cuánticos. El hamiltoniano cuántico equivale entonces a ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

$${\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},}$$

N _koperador numériconúmero de partículask

Este hamiltoniano se diferencia de la expresión anterior por la resta de la energía del punto cero ħω _k /2 de cada oscilador armónico. Esto satisface la condición de que H debe aniquilar el vacío, sin afectar la evolución temporal de los operadores a través de la operación de exponenciación anterior. Esta resta de la energía del punto cero puede considerarse como una resolución de la ambigüedad de ordenamiento del operador cuántico, ya que equivale a requerir que todos los operadores de creación aparezcan a la izquierda de los operadores de aniquilación en la expansión del hamiltoniano. Este procedimiento se conoce como pedido Wick o pedido normal .

Otros campos

Todos los demás campos pueden cuantificarse mediante una generalización de este procedimiento. Los campos vectoriales o tensoriales simplemente tienen más componentes, y se deben introducir operadores de creación y destrucción independientes para cada componente independiente. Si un campo tiene alguna simetría interna , entonces también se deben introducir operadores de creación y destrucción para cada componente del campo relacionado con esta simetría. Si hay una simetría de calibre , entonces el número de componentes independientes del campo debe analizarse cuidadosamente para evitar el recuento excesivo de configuraciones equivalentes, y se puede aplicar una fijación de calibre si es necesario.

Resulta que las relaciones de conmutación son útiles sólo para cuantificar bosones , para los cuales el número de ocupación de cualquier estado es ilimitado. Para cuantificar fermiones , que satisfacen el principio de exclusión de Pauli , se necesitan anticonmutadores. Estos están definidos por { A , B } = AB + BA .

Al cuantificar fermiones, los campos se expanden en los operadores de creación y aniquilación, θ _k ^† , θ _k , que satisfacen

$${\displaystyle \{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.}$$

Los estados se construyen sobre un vacío aniquilado por θ _k , y el espacio de Fock se construye aplicando todos los productos de los operadores de creación θ _k ^† a ​​|0⟩ . El principio de exclusión de Pauli se cumple porque , en virtud de las relaciones anti-conmutación. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle (\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0}$

Condensados

La construcción de los estados del campo escalar anterior asumió que el potencial se minimizó en φ = 0, de modo que el vacío que minimiza el hamiltoniano satisface ⟨ φ ⟩ = 0 , lo que indica que el valor esperado de vacío (VEV) del campo es cero. En los casos que involucran ruptura espontánea de simetría , es posible tener un VEV distinto de cero, porque el potencial se minimiza para un valor φ = v . Esto ocurre por ejemplo, si V ( φ ) = gφ ⁴ − 2 m ² φ ² con g > 0 y m ² > 0 , para lo cual la energía mínima se encuentra en v = ± m / √ g . El valor de v en uno de estos vacíos puede considerarse como condensado del campo φ . Luego se puede llevar a cabo la cuantificación canónica para el campo desplazado φ ( x , t ) - v , y los estados de las partículas con respecto al vacío desplazado se definen cuantificando el campo desplazado. Esta construcción se utiliza en el mecanismo de Higgs en el modelo estándar de física de partículas .

Cuantización matemática

Cuantización de deformación

La teoría clásica se describe utilizando una foliación espacial del espaciotiempo con el estado en cada segmento descrito por un elemento de una variedad simpléctica con la evolución temporal dada por el simplectomorfismo generado por una función hamiltoniana sobre la variedad simpléctica. El álgebra cuántica de "operadores" es una ħ - deformación del álgebra de funciones suaves sobre el espacio simpléctico tal que el término principal en la expansión de Taylor sobre ħ del conmutador [ A , B ] expresado en la formulación del espacio de fases es iħ { A , B } . (Aquí, las llaves denotan el corchete de Poisson . Todos los términos subprincipales están codificados en el corchete de Moyal , la deformación cuántica adecuada del corchete de Poisson). En general, para las cantidades (observables) involucradas, y proporcionando los argumentos de dichos corchetes , ħ -las deformaciones no son únicas: la cuantificación es un "arte" y está especificada por el contexto físico. (Dos sistemas cuánticos diferentes pueden representar dos deformaciones diferentes y no equivalentes del mismo límite clásico , ħ → 0 ).

Ahora se buscan representaciones unitarias de este álgebra cuántica. Con respecto a tal representación unitaria, un simplectomorfismo en la teoría clásica ahora se deformaría a una transformación unitaria (metapléctica) . En particular, el simplectomorfismo de evolución temporal generado por el hamiltoniano clásico se deforma a una transformación unitaria generada por el hamiltoniano cuántico correspondiente.

Una generalización adicional es considerar una variedad de Poisson en lugar de un espacio simpléctico para la teoría clásica y realizar una deformación ħ del álgebra de Poisson correspondiente o incluso de las supervariedades de Poisson .

Cuantización geométrica

En contraste con la teoría de la cuantificación por deformación descrita anteriormente, la cuantificación geométrica busca construir un espacio de Hilbert real y operadores en él. A partir de una variedad simpléctica , primero se construye un espacio de Hilbert precuántico que consiste en el espacio de secciones cuadradas integrables de un haz de líneas apropiado sobre . En este espacio, se pueden asignar todos los observables clásicos a operadores en el espacio precuántico de Hilbert, con el conmutador correspondiente exactamente al soporte de Poisson. El espacio de Hilbert precuántico, sin embargo, es claramente demasiado grande para describir la cuantificación de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Luego se procede eligiendo una polarización, es decir (aproximadamente), una elección de variables en el espacio de fase -dimensional. El espacio cuántico de Hilbert es entonces el espacio de secciones que dependen únicamente de las variables elegidas, en el sentido de que son covariantemente constantes en las otras direcciones. Si las variables elegidas son reales, obtenemos algo parecido al espacio tradicional de Schrödinger-Hilbert. Si las variables elegidas son complejas, obtenemos algo así como el espacio de Segal-Bargmann . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• Principio de correspondencia
• Operadores de creación y aniquilación.
• soporte de dirac
• soporte moyal
• Formulación del espacio de fases (de la mecánica cuántica)
• Cuantización geométrica

Referencias

1. Dirac, PAM (1925). "Las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 109 (752): 642–653. Código bibliográfico : 1925RSPSA.109..642D. doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
2. Dirac, PAM (1982). Principios de la Mecánica Cuántica . Estados Unidos: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5.
3. van der Waerden, BL (1968). Fuentes de la mecánica cuántica . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0486618811.
4. Schweber, SS (1983). "QED y los hombres que lo hicieron" . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0691033277.
5. Teorema 13.13 de Hall 2013
6. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . Elsevier BV. 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/s0031-8914(46)80059-4. ISSN  0031-8914.
7. Salón 2013 Sección 13.4
8. Shewell, John Robert (1959). "Sobre la formación de operadores mecánico-cuánticos". Revista Estadounidense de Física . Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT). 27 (1): 16-21. Código bibliográfico : 1959AmJPh..27...16S. doi :10.1119/1.1934740. ISSN  0002-9505.
9. ALI, S. TWAREQUE; Inglés, MIROSLAV (2005). "Métodos de cuantificación: una guía para físicos y analistas". Reseñas en Física Matemática . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . doi :10.1142/s0129055x05002376. ISSN  0129-055X. S2CID  119152724.
10. Este tratamiento se basa principalmente en el cap. 1 en Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Geometría no conmutativa, campos cuánticos y motivos (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4210-2. Archivado desde el original (PDF) el 29 de diciembre de 2009 . Consultado el 16 de mayo de 2010 .

Referencias históricas

• Silvan S. Schweber : QED y los hombres que lo lograron , Princeton Univ. Prensa, 1994, ISBN 0-691-03327-7 

Referencias técnicas generales

• Alexander Altland, Ben Simons: Teoría del campo de la materia condensada , Universidad de Cambridge. Prensa, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3 
• James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Mecánica cuántica relativista , Nueva York, McGraw-Hill, 1964
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158.
• Una introducción a la teoría cuántica de campos , por ME Peskin y HD Schroeder, ISBN 0-201-50397-2 
• Franz Schwabl: Mecánica cuántica avanzada , Berlín y otros lugares, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8 

enlaces externos

• ¿Qué es la "cuantización canónica relativista"?
• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en los enlaces para ver los capítulos. 1 y 2 en este sitio para encontrar una introducción extensa y simplificada a la segunda cuantificación. Ver sección. 1.5.2 en el cap. 1. Ver sección. 2.7 y el resumen del capítulo en el Cap. 2.