orden normal

Tipo de ordenamiento de operadores en la teoría cuántica de campos.

En la teoría cuántica de campos, se suele decir que un producto de campos cuánticos, o equivalentemente sus operadores de creación y aniquilación , es de orden normal (también llamado orden de Wick ) cuando todos los operadores de creación están a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en el producto. El proceso de poner un producto en orden normal se llama pedido normal (también llamado pedido Wick ). Los términos orden antinormal y ordenamiento antinormal se definen de manera análoga, donde los operadores de aniquilación se colocan a la izquierda de los operadores de creación.

El orden normal de un producto de campos cuánticos u operadores de creación y aniquilación también se puede definir de muchas otras maneras. La definición más apropiada depende de los valores esperados necesarios para un cálculo determinado. La mayor parte de este artículo utiliza la definición más común de ordenamiento normal dada anteriormente, que es apropiada cuando se toman valores esperados usando el estado de vacío de los operadores de creación y aniquilación .

El proceso de ordenamiento normal es particularmente importante para un hamiltoniano de mecánica cuántica . Al cuantificar un hamiltoniano clásico , hay cierta libertad a la hora de elegir el orden de los operadores, y estas elecciones conducen a diferencias en la energía del estado fundamental . Por este motivo, el proceso también se puede utilizar para eliminar la energía infinita del vacío de un campo cuántico.

Notación

Si denota un producto arbitrario de operadores de creación y/o aniquilación (o equivalentemente, campos cuánticos), entonces la forma ordenada normal de se denota por . ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$

Una notación alternativa es . ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}$

Tenga en cuenta que el pedido normal es un concepto que sólo tiene sentido para los productos de los operadores. Intentar aplicar el ordenamiento normal a una suma de operadores no es útil ya que el ordenamiento normal no es una operación lineal.

bosones

Los bosones son partículas que satisfacen las estadísticas de Bose-Einstein . Ahora examinaremos el orden normal de los productos de operadores de creación y aniquilación bosónica.

bosones individuales

Si partimos de un solo tipo de bosón hay dos operadores de interés:

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$: el operador de creación del bosón.
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$: el operador de aniquilación del bosón.

Estos satisfacen la relación del conmutador .

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$

donde denota el conmutador . Podemos reescribir el último como: ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$ ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.}$

Ejemplos

1. Consideraremos primero el caso más simple. Este es el orden normal de : ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

La expresión no ha sido cambiada porque ya está en orden normal: el operador de creación ya está a la izquierda del operador de aniquilación . ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}}$ ${\displaystyle ({\hat {b}}^{\dagger })}$ ${\displaystyle ({\hat {b}})}$

2. Un ejemplo más interesante es el orden normal de : ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$

Aquí, la operación de pedido normal ha reordenado los términos colocándolos a la izquierda de . ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$

Estos dos resultados se pueden combinar con la relación de conmutación obedecida por y para obtener ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.}$

o

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}$

Esta ecuación se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .

3. Un ejemplo con múltiples operadores es:

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}$

4. Un ejemplo sencillo muestra que el orden normal no puede extenderse mediante linealidad desde los monomios a todos los operadores de forma autoconsistente. Supongamos que podemos aplicar las relaciones de conmutación para obtener:

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}.}$

Entonces, por linealidad,

${\displaystyle {:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:},}$

una contradicción.

La implicación es que el ordenamiento normal no es una función lineal de los operadores, sino del álgebra libre generada por los operadores, es decir, los operadores no satisfacen las relaciones de conmutación canónicas mientras están dentro del ordenamiento normal (o cualquier otro operador de ordenamiento como el ordenamiento temporal) . etc).

bosones múltiples

Si ahora consideramos diferentes bosones, existen operadores: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$: el operador de creación del bosón. ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$: el operador de aniquilación del bosón. ${\displaystyle i^{th}}$

Aquí . ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

Estos satisfacen las relaciones de conmutación:

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$

donde y denota el delta de Kronecker . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Estos pueden reescribirse como:

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.}$

Ejemplos

1. Para dos bosones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$

2. Para tres bosones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

Observe que dado que (por las relaciones de conmutación) no importa el orden en el que escribimos los operadores de aniquilación. ${\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

${\displaystyle :{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$

Funciones del operador bosónico

El ordenamiento normal de las funciones del operador bosónico , con operador de número de ocupación , se puede lograr usando potencias factoriales (decrecientes) y series de Newton en lugar de series de Taylor : es fácil demostrar ^[1] que las potencias factoriales son iguales a las potencias de orden normal (en bruto). y por lo tanto normalmente están ordenados por construcción, ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}^{k}}$

${\displaystyle {\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},}$

tal que la expansión en serie de Newton

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}}$

de una función de operador , con -ésima diferencia directa en , siempre está ordenada de forma normal. Aquí, la ecuación de valores propios se relaciona y . ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle n}$

Como consecuencia, la serie de Taylor de orden normal de una función arbitraria es igual a la serie de Newton de una función asociada , cumpliendo ${\displaystyle f({\hat {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})}$

${\displaystyle {\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},}$

si los coeficientes de la serie de Taylor de , con continuo , coinciden con los coeficientes de la serie de Newton de , con número entero , ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}}$

con -ésima derivada parcial en . Las funciones y se relacionan mediante la llamada transformada de orden normal según ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{k}f(0)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}[f]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}}$

que se puede expresar en términos de la transformada de Mellin , ver ^[1] para más detalles. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Fermiones

Los fermiones son partículas que satisfacen las estadísticas de Fermi-Dirac . Ahora examinaremos el orden normal de los productos de operadores de creación y aniquilación fermiónicos.

Fermiones individuales

Para un solo fermión existen dos operadores de interés:

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$: el operador de creación del fermión.
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$: operador de aniquilación del fermión.

Estos satisfacen las relaciones anticonmutador.

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$

donde denota el anticonmutador . Estos pueden reescribirse como ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$

${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.}$

Para definir el ordenamiento normal de un producto de operadores fermiónicos de creación y aniquilación debemos tener en cuenta el número de intercambios entre operadores vecinos. Obtenemos un signo menos para cada uno de esos intercambios.

Ejemplos

1. Empezamos nuevamente con los casos más simples:

${\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

Esta expresión ya está en orden normal, por lo que no se cambia nada. En el caso inverso, introducimos un signo menos porque tenemos que cambiar el orden de dos operadores:

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$

Estos se pueden combinar, junto con las relaciones anticonmutación, para mostrar

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:}$

o

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}$

Esta ecuación, que tiene la misma forma que el caso bosónico anterior, se utiliza para definir las contracciones utilizadas en el teorema de Wick .

2. El orden normal de cualquier caso más complicado da cero porque habrá al menos un operador de creación o aniquilación que aparecerá dos veces. Por ejemplo:

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$

Múltiples fermiones

Para diferentes fermiones existen operadores: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2N}$

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$: el operador de creación del fermión. ${\displaystyle i^{th}}$
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$: el operador de aniquilación del fermión. ${\displaystyle i^{th}}$

Aquí . ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

Estos satisfacen las relaciones anti-conmutación:

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$

donde y denota el delta de Kronecker . ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Estos pueden reescribirse como:

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.}$

Al calcular el orden normal de los productos de los operadores de fermiones debemos tener en cuenta el número de intercambios de operadores vecinos necesarios para reordenar la expresión. Es como si fingiéramos que los operadores de creación y aniquilación son anticonmutación y luego reordenamos la expresión para asegurar que los operadores de creación estén a la izquierda y los operadores de aniquilación a la derecha, todo el tiempo teniendo en cuenta las relaciones de anticonmutación.

Ejemplos

1. Para dos fermiones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Aquí la expresión ya está ordenada normalmente, por lo que nada cambia.

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Aquí introducimos un signo menos porque hemos intercambiado el orden de dos operadores.

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$

Tenga en cuenta que el orden en el que escribimos los operadores aquí, a diferencia del caso bosónico, sí importa .

2. Para tres fermiones diferentes ( ) tenemos ${\displaystyle N=3}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

Observe que (por las relaciones de anticonmutación) el orden en el que escribimos los operadores sí importa en este caso. ${\displaystyle {\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

De manera similar tenemos

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$

${\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}$

Usos en la teoría cuántica de campos.

El valor esperado de vacío de un producto ordenado normal de operadores de creación y aniquilación es cero. Esto se debe a que, al denotar el estado de vacío por , los operadores de creación y aniquilación satisfacen ${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0}$

(aquí y son operadores de creación y aniquilación (ya sean bosónicos o fermiónicos)). ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

Denotemos un producto no vacío de operadores de creación y aniquilación. Aunque esto puede satisfacer ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,}$

tenemos

${\displaystyle \langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.}$

Los operadores ordenados normales son particularmente útiles al definir un hamiltoniano de mecánica cuántica . Si el hamiltoniano de una teoría está en orden normal, entonces la energía del estado fundamental será cero: . ${\displaystyle \langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0}$

Campos libres

Con dos campos libres φ y χ,

${\displaystyle :\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle }$

donde está nuevamente el estado de vacío. Cada uno de los dos términos del lado derecho normalmente explota en el límite cuando y se acerca a x, pero la diferencia entre ellos tiene un límite bien definido. Esto nos permite definir :φ(x)χ(x):. ${\displaystyle |0\rangle }$

teorema de wick

El teorema de Wick establece la relación entre el producto de los campos ordenados en el tiempo y una suma de productos pedidos normales. Esto puede expresarse incluso como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}}$

donde la suma abarca todas las distintas formas en que se pueden emparejar campos. El resultado para impar se ve igual excepto por la última línea que dice ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).}$

Este teorema proporciona un método simple para calcular los valores esperados de vacío de los productos ordenados por tiempo de los operadores y fue la motivación detrás de la introducción del pedido normal.

Definiciones alternativas

La definición más general de ordenamiento normal implica dividir todos los campos cuánticos en dos partes (por ejemplo, ver Evans y Steer 1996) . En un producto de campos, los campos se dividen en dos partes y las partes se mueven para estar siempre a la izquierda de todas las partes. En el caso habitual considerado en el resto del artículo, contiene solo operadores de creación, mientras que contiene solo operadores de aniquilación. Como se trata de una identidad matemática, uno puede dividir los campos de la forma que desee. Sin embargo, para que este sea un procedimiento útil, se exige que el producto ordenado normal de cualquier combinación de campos tenga un valor esperado cero. ${\displaystyle \phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{+}(x)}$ ${\displaystyle \phi ^{-}(x)}$

${\displaystyle \langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0}$

También es importante para los cálculos prácticos que todos los conmutadores (anticonmutador para campos fermiónicos) de todos y sean todos números c. Estas dos propiedades significan que podemos aplicar el teorema de Wick de la forma habitual, convirtiendo los valores esperados de productos de campos ordenados en el tiempo en productos de pares de números c, las contracciones. En esta configuración generalizada, la contracción se define como la diferencia entre el producto pedido por tiempo y el producto pedido normal de un par de campos. ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

El ejemplo más simple se encuentra en el contexto de la teoría de campos cuánticos térmicos (Evans y Steer 1996). En este caso, los valores esperados de interés son conjuntos estadísticos, trazas de todos los estados ponderadas por . Por ejemplo, para un único oscilador armónico cuántico bosónico tenemos que el valor esperado térmico del operador numérico es simplemente la distribución de Bose-Einstein. ${\displaystyle \exp(-\beta {\hat {H}})}$

${\displaystyle \langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}}$

Entonces, aquí el operador numérico está ordenado normalmente en el sentido habitual utilizado en el resto del artículo, pero sus valores esperados térmicos no son cero. Aplicar el teorema de Wick y realizar cálculos con el orden normal habitual en este contexto térmico es posible pero computacionalmente poco práctico. La solución es definir un orden diferente, de modo que y sean combinaciones lineales de los operadores originales de aniquilación y creación. Las combinaciones se eligen para garantizar que los valores térmicos esperados de los productos pedidos normalmente sean siempre cero, por lo que la división elegida dependerá de la temperatura. ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}^{+}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{-}}$

Referencias

1. König, Jürgen; Hucht, Alfred (13 de enero de 2021). "Expansión en serie de Newton de funciones de operador bosónico". Física SciPost . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Código Bib : 2021ScPP...10....7K. doi : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN  2542-4653. S2CID  221293056.

• F. Mandl, G. Shaw, Teoría cuántica de campos, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, La teoría cuántica de campos (Volumen I) Cambridge University Press (1995)
• TS Evans, DA Steer, teorema de Wick a temperatura finita, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268