Giro (ángulo)

Unidad de ángulo plano donde un círculo completo equivale a 1

La vuelta (símbolo tr o pla ) es una unidad de medida de ángulo plano que es la medida de un ángulo completo —el ángulo subtendido por un círculo completo en su centro. Una vuelta es igual a 2 π  radianes , 360  grados o 400  gradianes . Como unidad angular , una vuelta también corresponde a un ciclo (símbolo cyc o c ) ^[1] o a una revolución (símbolo rev o r ). ^[2] Las unidades de frecuencia relacionadas comunes son ciclos por segundo (cps) y revoluciones por minuto (rpm). ^[a] La unidad angular de la vuelta es útil en conexión con, entre otras cosas, bobinas electromagnéticas (por ejemplo, transformadores ), objetos giratorios y el número de curvas de bobinado. Las subdivisiones de una vuelta incluyen la media vuelta y el cuarto de vuelta, que abarcan un ángulo recto y un ángulo recto , respectivamente; también se pueden usar prefijos métricos como en, por ejemplo, centivueltas (ctr), milivueltas (mtr), etc.

Como una vuelta equivale a radianes, algunos han propuesto representar 2π con una sola letra. En 2010, Michael Hartl propuso utilizar la letra griega ( tau ), igual a la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio ( ) y correspondiente a una vuelta, para lograr una mayor simplicidad conceptual al expresar ángulos en radianes. ^[3] Esta propuesta inicialmente no obtuvo una amplia aceptación en la comunidad matemática, ^[4] pero la constante se ha vuelto más generalizada, ^[5] habiéndose agregado a varios lenguajes de programación y calculadoras importantes. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 2\pi }$

En el ISQ , un "número de vueltas" arbitrario (también conocido como "número de revoluciones" o "número de ciclos") se formaliza como una cantidad adimensional llamada rotación , definida como la relación entre un ángulo dado y una vuelta completa. Se representa con el símbolo N. (Vea la fórmula a continuación) .

Símbolos de unidad

Hay varios símbolos de unidad para el turno.

UE y Suiza

La norma alemana DIN 1315 (marzo de 1974) propuso el símbolo de unidad "pla" (del latín: plenus angulus 'ángulo completo') para las vueltas. ^{[6] [7]} El denominado Vollwinkel ('ángulo completo'), contemplado en la norma DIN 1301-1  [de] (octubre de 2010), no es una unidad del SI . Sin embargo, es una unidad de medida legal en la UE ^{[8] [9]} y Suiza. ^[10]

Calculadoras

Las calculadoras científicas HP 39gII y HP Prime admiten el símbolo de unidad "tr" para giros desde 2011 y 2013, respectivamente. También se agregó soporte para "tr" a newRPL para la HP 50g en 2016, y para las hp 39g+ , HP 49g+ , HP 39gs y HP 40gs en 2017. ^{[11] [12]} También se sugirió un modo angular TURN para la WP 43S , ^[13] pero la calculadora en su lugar implementa "MUL π " ( múltiplos de π ) como modo y unidad desde 2019. ^{[14] [15]}

Subdivisiones

Una vuelta se puede dividir en 100 centiturns o1000 milivueltas, donde cada milivuelta corresponde a un ángulo de 0,36°, que también se puede escribir como 21′ 36″ . ^{[16] [17]} Un transportador dividido en centivueltas normalmente se denomina " transportador de porcentaje ".

Si bien los transportadores de porcentaje existen desde 1922, ^[18] los términos centivueltas, milivueltas y microvueltas fueron introducidos mucho más tarde por el astrónomo británico Fred Hoyle en 1962. ^{[16] [17]} Algunos dispositivos de medición para artillería y observación por satélite llevan escalas de milivueltas. ^{[19] [20]}

También se utilizan fracciones binarias de un giro . Los marineros han dividido tradicionalmente un giro en 32 puntos cardinales , que implícitamente tienen una separación angular de 1/32 de giro. El grado binario , también conocido como radián binario (o brad ), es ⁠1/256⁠  giro. ^[21] El grado binario se utiliza en informática para que un ángulo pueda representarse con la máxima precisión posible en un solo byte . Otras medidas de ángulo utilizadas en informática pueden basarse en dividir un giro entero en 2 ⁿ partes iguales para otros valores de n . ^[22]

Propuestas para una sola letra para representar 2π

Un arco de círculo con la misma longitud que el radio de ese círculo corresponde a un ángulo de 1 radián. Un círculo completo corresponde a una vuelta completa, o aproximadamente 6,28 radianes, que se expresa aquí mediante la letra griega tau ( τ ).

Algunos ángulos especiales en radianes, expresados ​​en términos de 𝜏.

Una comparación de ángulos expresados ​​en grados y radianes.

El número 2 π (aproximadamente 6,28) es la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio , y el número de radianes en una vuelta.

El significado del símbolo no estaba originalmente ligado a la relación entre la circunferencia y el diámetro. En 1697, David Gregory utilizó ⁠ ${\displaystyle \pi }$π/ρ⁠ (pi sobre rho) para denotar el perímetro de un círculo (es decir, la circunferencia ) dividido por su radio. ^{[23] [24]} Sin embargo, antes en 1647, William Oughtred había utilizado ⁠del/π⁠ (delta sobre pi) para la relación entre el diámetro y el perímetro. El primer uso del símbolo π por sí solo con su significado actual (de perímetro dividido por diámetro) fue en 1706 por elmatemático galés William Jones . ^{[25] [26]}

El primer uso conocido de una sola letra para denotar la constante 6,28... fue en el Ensayo explicando las propiedades del aire de Leonhard Euler de 1727 , donde se denotaba con la letra π . ^{[27] [28]} Euler usaría más tarde la letra π para la constante 3,14... en su Mechanica ^{de 1736 [29] y en} su Introductio in analysin infinitorum de 1748 , ^[30] aunque definida como la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1 (un círculo unitario ) en lugar de la relación entre la circunferencia y el diámetro. En otra parte de Introductio in analysin infinitorum , Euler utilizó en cambio la letra π para un cuarto de la circunferencia de un círculo unitario, o 1,57... . El uso de la letra π , a veces para 3,14... y otras veces para 6,28..., se generalizó, y la definición varió hasta 1761; ^[31] Posteriormente, π se estandarizó como igual a 3,14... . ^{[32] [33]}

Varias personas han propuesto de forma independiente utilizar 𝜏 = 2 π , entre ellas: ^[34]

• Joseph Lindenburg ( c. 1990)
• John Fisher (2004)
• Peter Harremoës (2010)
• Michael Hartl (2010)

En 2001, Robert Palais propuso utilizar el número de radianes en una vuelta como la constante fundamental del círculo en lugar de π , que equivale al número de radianes en media vuelta, con el fin de hacer las matemáticas más sencillas e intuitivas. Su propuesta utilizó un símbolo de "π con tres patas" para denotar la constante ( ). ^[35] ${\displaystyle \pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi }$

En 2008, Robert P. Crease propuso la idea de definir una constante como la relación entre la circunferencia y el radio, propuesta apoyada por John Horton Conway . Crease utilizó la letra griega psi : . ^[36] ${\displaystyle \psi =2\pi }$

El mismo año, Thomas Colignatus propuso la letra griega mayúscula theta , Θ, para representar 2 π . ^[37] La ​​letra griega theta deriva de la letra fenicia y hebrea teth , 𐤈 o ט, y se ha observado que la versión más antigua del símbolo, que significa rueda, se asemeja a una rueda con cuatro radios. ^[38] También se ha propuesto usar el símbolo de la rueda, teth, para representar el valor 2 π , y más recientemente se ha hecho una conexión entre otras culturas antiguas sobre la existencia de un símbolo de rueda, sol, círculo o disco, es decir, otras variaciones de teth, como representación de 2 π . ^[39]

En 2010, Michael Hartl propuso utilizar la letra griega tau para representar la constante del círculo: τ = 2 π . Ofreció varias razones para la elección de la constante, principalmente que permite expresar fracciones de una vuelta de forma más directa: por ejemplo, a ⁠3/4El  turno se representaría como3 τ/4⁠  rad en lugar de ⁠3π​/2⁠  rad. En cuanto a la elección de la notación, ofreció dos razones. Primero, τ es el número de radianes en una vuelta , y tanto τ como vuelta comienzan con unsonido / t / . Segundo, τ se parece visualmente a π , cuya asociación con la constante del círculo es inevitable. El Manifiesto Tau de Hartl ^[b] da muchos ejemplos de fórmulas que se afirma que son más claras cuandose usa τ en lugar de π . ^{[41] [42] [43]} Por ejemplo, Hartl afirma que reemplazar la identidad de Euler e ^iπ = −1 por e ^iτ = 1 (que Hartl también llama "identidad de Euler") es más fundamental y significativo . También afirma que la fórmula para el área circular en términos de τ , A =1/2⁠ 𝜏 r ² , contiene un factor natural de ⁠1/2⁠ que surge de la integración .

Inicialmente, esta propuesta no recibió una aceptación significativa por parte de las comunidades matemáticas y científicas. ^[4] Sin embargo, el uso de τ se ha vuelto más generalizado. ^[5] Por ejemplo:

• En 2012, el sitio web educativo Khan Academy comenzó a aceptar respuestas expresadas en términos de τ . ^[44]
• La constante τ está disponible en la calculadora de Google, la calculadora gráfica Desmos ^[45] y en varios lenguajes de programación como Python , ^{[46] [47]} Raku , ^[48] Processing , ^[49] Nim , ^[50] Rust , ^[51] GDScript , ^[52] UE Blueprints , ^[53] Java , ^{[54] [55]} .NET , ^{[56] [57]} y Odin. ^[58]
• Se ha utilizado en al menos un artículo de investigación matemática, ^[59] escrito por el promotor de τ, Peter Harremoës. ^[60]
• La opción Convertir ángulo del iPhone expresa el giro como τ . ^[61]

La siguiente tabla muestra cómo aparecen varias identidades cuando se utiliza τ = 2 π en lugar de π . ^{[62] [35]} Para obtener una lista más completa, consulte Lista de fórmulas que involucran π .

En la cultura

El 𝜏 ha aparecido en numerosas ocasiones en la cultura. Se celebra anualmente el 28 de junio, conocido como el Día de Tau. ^[63] El 𝜏 ha aparecido en vídeos de Vi Hart , ^{[64] [65] [66]} Numberphile , ^{[67] [68] [69]} SciShow , ^[70] y Steve Mould , ^{[71] [72]} y ha aparecido en los cómics xkcd , ^{[73] [74]} Saturday Morning Breakfast Cereal , ^{[75] [76] [77]} y Sally Forth . ^[78] El Instituto Tecnológico de Massachusetts suele anunciar las admisiones el 14 de marzo a las 6:28  p. m., que es el Día de Pi en horario Tau. ^[79]

Conversión de unidades

La circunferencia del círculo unitario (cuyo radio es uno) es 2 π .

Una vuelta es igual a 2 π (≈ 6.283 185 307 179 586 ) ^[80] radianes , 360 grados o 400 gradianes .

En el ISQ/SI

En el Sistema Internacional de Cantidades (ISQ), la rotación (símbolo N ) es una cantidad física definida como el número de revoluciones : ^[81]

N es el número (no necesariamente entero) de revoluciones, por ejemplo, de un cuerpo que gira alrededor de un eje determinado. Su valor viene dado por:

${\displaystyle N={\frac {\varphi }{2\pi {\text{ rad}}}}}$

donde 𝜑 denota la medida del desplazamiento rotacional .

La definición anterior es parte del ISQ, formalizado en la norma internacional ISO 80000-3 (Espacio y tiempo), ^[81] y adoptado en el Sistema Internacional de Unidades (SI). ^{[82] [83]}

El número de revoluciones o número de rotaciones es una cantidad de dimensión uno , resultante de una relación de desplazamiento angular. Puede ser negativa y también mayor que 1 en módulo. La relación entre la cantidad de rotación, N , y las vueltas unitarias, tr, se puede expresar como:

${\displaystyle N={\frac {\varphi }{\text{tr}}}=\{\varphi \}_{\text{tr}}}$

donde {𝜑} _tr es el valor numérico del ángulo 𝜑 en unidades de vueltas (ver Magnitud física § Componentes ).

En el ISQ/SI, la rotación se utiliza para derivar la frecuencia rotacional (la tasa de cambio de rotación con respecto al tiempo), denotada por n :

${\displaystyle n={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}}$

La unidad del SI de frecuencia rotacional es el segundo inverso (s ⁻¹ ). Las unidades de frecuencia relacionadas más comunes son el hercio (Hz), los ciclos por segundo (cps) y las revoluciones por minuto (rpm).

La versión reemplazada ISO 80000-3:2006 definió "revolución" como un nombre especial para la unidad adimensional "uno", ^[c] que también recibió otros nombres especiales, como el radián. ^[d] A pesar de su homogeneidad dimensional , estas dos unidades adimensionales con nombres especiales son aplicables para tipos de cantidad no comparables : rotación y ángulo, respectivamente. ^[85] "Ciclo" también se menciona en ISO 80000-3, en la definición de período . ^[e]

En lenguajes de programación

La siguiente tabla documenta varios lenguajes de programación que han implementado la constante de círculo para convertir entre vueltas y radianes. Todos los lenguajes que aparecen a continuación admiten el nombre "Tau" en algunas mayúsculas y minúsculas, pero Processing también admite "TWO_PI" y Raku también admite el símbolo "τ" para acceder al mismo valor.

Véase también

• Amperio-vuelta
• Hertz (moderno) o ciclo por segundo (antiguo)
• Ángulo de rotación
• Revoluciones por minuto
• Círculo repetitivo
• Spat (unidad angular) : la contraparte del ángulo sólido del giro, equivalente a 4 π  estereorradianes .
• Intervalo unitario
• Proporciones divinas: de la trigonometría racional a la geometría universal
• Operación módulo
• Giro (matemáticas)

Notas

1. Los términos de unidades angulares "ciclos" y "revoluciones" también se utilizan, de manera ambigua, como versiones más cortas de las unidades de frecuencia relacionadas. ^{[ cita requerida ]}
2. Versión original, ^[40] versión actual ^[3]
3. "El nombre especial revolución, símbolo r, para esta unidad [nombre 'uno', símbolo '1'] se usa ampliamente en especificaciones sobre máquinas rotativas". ^[84]
4. "Las unidades de medida de magnitudes de dimensión uno son números. En algunos casos, estas unidades de medida reciben nombres especiales, por ejemplo, radianes..." ^[84]
5. "3-14) duración del período, período: duración (ítem 3‑9) de un ciclo de un evento periódico" ^[81]

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    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    
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Enlaces externos

• El Manifiesto Tau