Ángulo sólido

Medida del tamaño de un objeto para un observador en un punto determinado del espacio tridimensional.

En geometría , un ángulo sólido (símbolo: Ω ) es una medida de la cantidad del campo de visión desde algún punto particular que cubre un objeto determinado. Es decir, es una medida de qué tan grande parece el objeto para un observador que mira desde ese punto. El punto desde el cual se ve el objeto se llama vértice del ángulo sólido y se dice que el objeto subtiende su ángulo sólido en ese punto.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), un ángulo sólido se expresa en una unidad adimensional llamada estereorradián (símbolo: sr). Un estereorradián corresponde a una unidad de área en la esfera unitaria que rodea el vértice, por lo que un objeto que bloquee todos los rayos del vértice cubriría un número de estereorradián igual al área de superficie total de la esfera unitaria . Los ángulos sólidos también se pueden medir en cuadrados de medidas angulares como grados , minutos y segundos. ${\displaystyle 4\pi }$

Un objeto pequeño cercano puede subtender el mismo ángulo sólido que un objeto más grande y lejano. Por ejemplo, aunque la Luna es mucho más pequeña que el Sol , también está mucho más cerca de la Tierra . De hecho, vistos desde cualquier punto de la Tierra, ambos objetos tienen aproximadamente el mismo ángulo sólido (y por tanto el mismo tamaño aparente). Esto es evidente durante un eclipse solar .

Definición y propiedades

El ángulo sólido de un objeto en estereorradianes es igual al área del segmento de una esfera unitaria , centrada en el vértice, que cubre el objeto. Dar el área de un segmento de una esfera unitaria en estereorradianes es análogo a dar la longitud de un arco de un círculo unitario en radianes. Así como un ángulo plano en radianes es la relación entre la longitud de un arco y su radio, un ángulo sólido en estereorradianes es la relación entre el área cubierta en una esfera por un objeto y el área dada por el cuadrado del radio de dicho esfera. La fórmula es

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}$$

donde es el área de la superficie esférica y es el radio de la esfera considerada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$

Los ángulos sólidos se utilizan a menudo en astronomía , física y, en particular, en astrofísica . El ángulo sólido de un objeto que está muy lejos es aproximadamente proporcional a la relación entre el área y la distancia al cuadrado. Aquí "área" significa el área del objeto cuando se proyecta a lo largo de la dirección de visión.

Cualquier área de una esfera que sea igual al cuadrado de su radio, cuando se observa desde su centro, subtiende exactamente un estereorradián .

El ángulo sólido de una esfera medido desde cualquier punto de su interior es 4 π  sr, y el ángulo sólido subtendido en el centro de un cubo por una de sus caras es un sexto de ese, o 2 π /3 sr. Los ángulos sólidos también se pueden medir en grados cuadrados (1 sr = ( 180/ π ) ² grados cuadrados), en minutos de arco cuadrados y segundos de arco cuadrados , o en fracciones de la esfera (1 sr =1/4 πárea fraccionaria), también conocido como spat (1 sp = 4 π  sr).

En coordenadas esféricas existe una fórmula para el diferencial ,

$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

donde θ es la colatitud (ángulo desde el Polo Norte) y φ es la longitud.

El ángulo sólido para una superficie orientada arbitraria S subtendida en un punto P es igual al ángulo sólido de la proyección de la superficie S a la esfera unitaria con centro P , que se puede calcular como la integral de superficie :

$${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

donde es el vector unitario correspondiente a , el vector de posición de un área infinitesimal de la superficie dS con respecto al punto P , y donde representa el vector unitario normal a dS . Incluso si la proyección sobre la esfera unitaria a la superficie S no es isomorfa , los pliegues múltiples se consideran correctamente según la orientación de la superficie descrita por el signo del producto escalar . ${\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}$

Por lo tanto, se puede aproximar el ángulo sólido subtendido por una pequeña faceta que tiene un área de superficie plana dS , orientación y distancia r desde el observador como: ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}$$

donde el área de superficie de una esfera es A = 4 π r ² .

Aplicaciones prácticas

• Definición de intensidad luminosa y luminancia , y las cantidades radiométricas correspondientes, intensidad radiante y radiancia.
• Calcular el exceso esférico E de un triángulo esférico
• El cálculo de potenciales mediante el método del elemento límite (BEM)
• Evaluación del tamaño de ligandos en complejos metálicos, ver ángulo del cono del ligando
• Calcular el campo eléctrico y la intensidad del campo magnético alrededor de las distribuciones de carga.
• Derivando la ley de Gauss
• Calcular el poder emisivo y la irradiación en la transferencia de calor.
• Calcular secciones transversales en dispersión de Rutherford
• Calcular secciones transversales en dispersión Raman
• El ángulo sólido del cono de aceptación de la fibra óptica.

Ángulos sólidos para objetos comunes.

Cono, casquete esférico, hemisferio.

Sección de cono (1) y casquete esférico (2) dentro de una esfera. En esta figura θ = A /2 y r = 1 .

El ángulo sólido de un cono con su vértice en el vértice del ángulo sólido y con un ángulo de vértice 2 θ , es el área de un casquete esférico en una esfera unitaria

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Para θ pequeño tal que cos θ ≈ 1 − θ ² /2 esto se reduce a π θ ² , el área de un círculo.

Lo anterior se encuentra calculando la siguiente integral doble usando el elemento unitario de superficie en coordenadas esféricas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}$$

Esta fórmula también se puede derivar sin el uso de cálculo . Hace más de 2200 años, Arquímedes demostró que el área de superficie de un casquete esférico es siempre igual al área de un círculo cuyo radio es igual a la distancia desde el borde del casquete esférico hasta el punto donde el eje de simetría del casquete cruza el casquete. ^[1] En el diagrama este radio viene dado como

$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}$$

Por lo tanto, para una esfera unitaria, el ángulo sólido del casquete esférico viene dado como

$${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$$

Cuando θ =π/2, el casquete esférico se convierte en un hemisferio que tiene un ángulo sólido 2 π .

El ángulo sólido del complemento del cono es

$${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Este es también el ángulo sólido de la parte de la esfera celeste que un observador astronómico ubicado en la latitud θ puede ver mientras la Tierra gira. En el ecuador toda la esfera celeste es visible; en cada polo, sólo la mitad.

El ángulo sólido subtendido por un segmento de un casquete esférico cortado por un plano en un ángulo γ desde el eje del cono y que pasa por el vértice del cono se puede calcular mediante la fórmula ^[2]

$${\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].}$$

Por ejemplo, si γ = − θ , entonces la fórmula se reduce a la fórmula del casquete esférico anterior: el primer término se convierte en π y el segundo en π cos θ .

tetraedro

Sean OABC los vértices de un tetraedro con origen en O subtendido por la cara triangular ABC donde están las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C. Defina el ángulo del vértice θ _a como el ángulo BOC y defina θ _b , θ _c correspondientemente. Sea el ángulo diédrico entre los planos que contienen las caras tetraédricas OAC y OBC y defina , correspondientemente. El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC está dado por ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ ${\displaystyle \phi _{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{ac}}$ ${\displaystyle \phi _{bc}}$

$${\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}$$

Esto se desprende de la teoría del exceso esférico y lleva al hecho de que existe un teorema análogo al teorema de que "La suma de los ángulos internos de un triángulo plano es igual a π " , para la suma de los cuatro ángulos internos sólidos de un tetraedro de la siguiente manera:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}$$

donde abarca los seis ángulos diédricos entre dos planos cualesquiera que contengan las caras tetraédricas OAB, OAC, OBC y ABC. ^[3] ${\displaystyle \phi _{i}}$

Una fórmula útil para calcular el ángulo sólido del tetraedro en el origen O que es puramente una función de los ángulos del vértice θ _a , θ _b , θ _c viene dada por el teorema de L'Huilier ^{[4] [5]} como

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$$

dónde

$${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}$$

Otra fórmula interesante consiste en expresar los vértices como vectores en un espacio tridimensional. Sean las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C, y sean a , b y c la magnitud de cada vector (la distancia origen-punto). El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC es: ^{[6] [7]} ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}$$

dónde

$${\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$$

denota el triple producto escalar de los tres vectores y denota el producto escalar . ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Se debe tener cuidado aquí para evitar ángulos sólidos negativos o incorrectos. Una fuente de errores potenciales es que el triple producto escalar puede ser negativo si a , b , c tienen el devanado incorrecto . Calcular el valor absoluto es una solución suficiente ya que ninguna otra parte de la ecuación depende del devanado. El otro problema surge cuando el triple producto escalar es positivo pero el divisor es negativo. En este caso devuelve un valor negativo que debe incrementarse en π .

Pirámide

El ángulo sólido de una pirámide rectangular recta de cuatro lados con ángulos en el vértice a y b ( ángulos diédricos medidos hasta las caras laterales opuestas de la pirámide) es

$${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}$$

Si se conocen tanto las longitudes de los lados ( α y β ) de la base de la pirámide como la distancia ( d ) desde el centro del rectángulo de la base hasta el vértice de la pirámide (el centro de la esfera), entonces la ecuación anterior puede ser manipulado para dar

$${\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}$$

El ángulo sólido de una pirámide n -gonal recta, donde la base de la pirámide es un polígono regular de n lados de circunradio r , con una altura de pirámide h es

$${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}$$

El ángulo sólido de una pirámide arbitraria con una base de n lados definida por la secuencia de vectores unitarios que representan aristas { s ₁ , s ₂ }, ... s _n se puede calcular eficientemente mediante: ^[2]

$${\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}$$

donde paréntesis (* *) es un producto escalar y corchetes [* * *] es un producto triple escalar , e i es una unidad imaginaria . Los índices son cíclicos: s ₀ = s _n y s ₁ = s _{n + 1} . Los productos complejos suman la fase asociada a cada ángulo de vértice del polígono. Sin embargo, se pierde un múltiplo de en el corte de rama y se debe realizar un seguimiento por separado. Además, el producto en funcionamiento de fases complejas debe escalarse ocasionalmente para evitar un desbordamiento en el límite de segmentos casi paralelos. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \arg }$

Rectángulo de latitud y longitud

El ángulo sólido de un rectángulo de latitud y longitud en un globo es

$${\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,}$$

φ _Nφ _S son líneas de latitudecuadorradianesθ _Eθ _Wlongitud^[8]ϕ _N − ϕ _Sθ _E − θ _Wππ

Un rectángulo de latitud y longitud no debe confundirse con el ángulo sólido de una pirámide rectangular. Los cuatro lados de una pirámide rectangular se cruzan con la superficie de la esfera en arcos de círculo máximo . Con un rectángulo de latitud y longitud, sólo las líneas de longitud son arcos de círculo máximo; Las líneas de latitud no lo son.

Objetos celestiales

Al utilizar la definición de diámetro angular , la fórmula para el ángulo sólido de un objeto celeste se puede definir en términos del radio del objeto, y la distancia del observador al objeto ,: ${\textstyle R}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}$$

Al ingresar los valores promedio apropiados para el Sol y la Luna (en relación con la Tierra), el ángulo sólido promedio del Sol es6,794 × 10 ⁻⁵ estereorradián y el ángulo sólido promedio de la Luna es6.418 × 10 ⁻⁵ estereorradiánes. En términos de la esfera celeste total, el Sol y la Luna subtienden áreas fraccionarias promedio de0,000 5406 % (5,406  ppm ) y0,000 5107 % (5,107 ppm ), respectivamente. Como estos ángulos sólidos son aproximadamente del mismo tamaño, la Luna puede provocar eclipses solares tanto totales como anulares dependiendo de la distancia entre la Tierra y la Luna durante el eclipse.

Ángulos sólidos en dimensiones arbitrarias.

El ángulo sólido subtendido por la superficie esférica completa ( d − 1 )-dimensional de la esfera unitaria en el espacio euclidiano d -dimensional se puede definir en cualquier número de dimensiones d . A menudo se necesita este factor de ángulo sólido en cálculos con simetría esférica. Está dada por la fórmula

$${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},}$$

Γfunción gammad^[9]

$${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Esto da los resultados esperados de 4 π estereorradianes para la esfera 3D delimitada por una superficie de área 4π r ² y 2 π radianes para el círculo 2D delimitado por una circunferencia de longitud 2π r . También proporciona el 2 ligeramente menos obvio para el caso 1D, en el que la "esfera" 1D centrada en el origen es el intervalo [− r , r ] y está delimitado por dos puntos límite.

La contraparte de la fórmula vectorial en dimensión arbitraria fue derivada por Aomoto ^{[10] [11]} e independientemente por Ribando. ^[12] Los expresa como una serie de Taylor multivariada infinita :

$${\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}$$

dVi ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}$ ${\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{ji}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Referencias

1. "Arquímedes sobre esferas y cilindros". Páginas de matemáticas . 2015.
2. Mazonka, Oleg (2012). "Ángulo sólido de superficies cónicas, conos poliédricos y casquetes esféricos que se cruzan". arXiv : 1205.1396 [matemáticas.MG].
3. Hopf, Heinz (1940). «Capítulos seleccionados de geometría» (PDF) . ETH Zúrich : 1-2. Archivado (PDF) desde el original el 21 de septiembre de 2018.
4. "Teorema de L'Huilier - de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2015-10-19 . Consultado el 19 de octubre de 2015 .
5. "Exceso esférico - de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2015-10-19 . Consultado el 19 de octubre de 2015 .
6. Eriksson, Folke (1990). "Sobre la medida de ángulos sólidos". Matemáticas. Mag . 63 (3): 184–187. doi :10.2307/2691141. JSTOR  2691141.
7. Van Oosterom, A; Strackee, J (1983). "El ángulo sólido de un triángulo plano". Traducción IEEE. Biomédica. Ing . BME-30 (2): 125-126. doi :10.1109/TBME.1983.325207. PMID  6832789. S2CID  22669644.
8. "Área de un rectángulo de latitud-longitud". El foro de matemáticas @ Drexel . 2003.
9. Jackson, FM (1993). "Politopos en el espacio n euclidiano". Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones . 29 (12/11): 172–174.
10. Aomoto, Kazuhiko (1977). "Estructura analítica de la función de Schläfli". Matemáticas de Nagoya. J.​ 68 : 1–16. doi : 10.1017/s0027763000017839 .
11. Beck, M.; Robins, S.; Sam, SV (2010). "Teoremas de positividad para polinomios de ángulo sólido". Contribuciones al Álgebra y la Geometría . 51 (2): 493–507. arXiv : 0906.4031 . Código Bib : 2009arXiv0906.4031B.
12. Ribando, Jason M. (2006). "Medición de ángulos sólidos más allá de la dimensión tres". Geometría discreta y computacional . 36 (3): 479–487. doi : 10.1007/s00454-006-1253-4 .

Otras lecturas

• Jaffey, AH (1954). "Ángulo sólido subtendido por una apertura circular en fuentes puntuales y dispersas: fórmulas y algunas tablas". Rev. Ciencia. Instrumento . 25 (4): 349–354. Código bibliográfico : 1954RScI...25..349J. doi : 10.1063/1.1771061.
• Masket, A. Víctor (1957). "Integrales, series y tablas de contorno de ángulo sólido". Rev. Ciencia. Instrumento . 28 (3): 191. Código bibliográfico : 1957RScI...28..191M. doi :10.1063/1.1746479.
• Naito, Minoru (1957). "Un método para calcular el ángulo sólido subtendido por una apertura circular". J. Física. Soc. Japón . 12 (10): 1122-1129. Código bibliográfico : 1957JPSJ...12.1122N. doi :10.1143/JPSJ.12.1122.
• Paxton, F. (1959). "Cálculo de ángulo sólido para un disco circular". Rev. Ciencia. Instrumento . 30 (4): 254. Código bibliográfico : 1959RScI...30..254P. doi : 10.1063/1.1716590 .
• Khadjavi, A. (1968). "Cálculo de ángulo sólido subtendido por aberturas rectangulares". J. Optar. Soc. Soy . 58 (10): 1417-1418. doi :10.1364/JOSA.58.001417.
• Gardner, RP; Carnesale, A. (1969). "El ángulo sólido subtendido en un punto por un disco circular". Núcleo. Instrumento. Métodos . 73 (2): 228–230. Código Bib : 1969NucIM..73..228G. doi :10.1016/0029-554X(69)90214-6.
• Gardner, RP; Verghese, K. (1971). "Sobre el ángulo sólido subtendido por un disco circular". Núcleo. Instrumento. Métodos . 93 (1): 163–167. Código bibliográfico : 1971NucIM..93..163G. doi :10.1016/0029-554X(71)90155-8.
• Gotoh, H.; Yagi, H. (1971). "Ángulo sólido subtendido por una hendidura rectangular". Núcleo. Instrumento. Métodos . 96 (3): 485–486. Código bibliográfico : 1971NucIM..96..485G. doi :10.1016/0029-554X(71)90624-0.
• Cocinero, J. (1980). "Ángulo sólido subtendido por dos rectángulos". Núcleo. Instrumento. Métodos . 178 (2–3): 561–564. Código bibliográfico : 1980NucIM.178..561C. doi :10.1016/0029-554X(80)90838-1.
• Asvestas, John S.; Englund, David C. (1994). "Calcular el ángulo sólido subtendido por una figura plana". Optar. Ing . 33 (12): 4055–4059. Código Bib : 1994OptEn..33.4055A. doi :10.1117/12.183402.Errata ibíd. vol 50 (2011) página 059801.
• Tryka, Estanislao (1997). "Distribución angular del ángulo sólido en un punto subtendido por un disco circular". Optar. Comunitario . 137 (4–6): 317–333. Código Bib : 1997OptCo.137..317T. doi :10.1016/S0030-4018(96)00789-4.
• Prata, MJ (2004). "Cálculo analítico del ángulo sólido subtendido por un detector de disco circular en una fuente puntual de coseno". Núcleo. Instrumento. Métodos Phys. Res. A . 521 (2–3): 576. arXiv : math-ph/0305034 . Código Bib : 2004NIMPA.521..576P. doi :10.1016/j.nima.2003.10.098. S2CID  15266291.
• Timus, DM; Prata, MJ; Kalla, SL; Abbas, MI; Oner, F.; Galiano, E. (2007). "Algunos resultados analíticos adicionales sobre el ángulo sólido subtendido en un punto por un disco circular utilizando integrales elípticas". Núcleo. Instrumento. Métodos Phys. Res. A . 580 : 149-152. Código Bib : 2007NIMPA.580..149T. doi :10.1016/j.nima.2007.05.055.

enlaces externos

• Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edimburgo, 1969.
• MG Kendall, Un curso de geometría de N dimensiones, n.º 8 de los cursos y monografías estadísticas de Griffin, ed. MG Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, Londres, 1961
• Weisstein, Eric W. "Ángulo sólido". MundoMatemático .