Poder de dos

Una potencia de dos es un número de la forma $2 n$ donde $n$ es un número entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y el número entero $n$ como exponente .

En un contexto donde solo se consideran números enteros, $n$ está restringido a valores no negativos, ^[1] por lo que hay 1, 2 y 2 multiplicados por sí mismo un cierto número de veces. ^[2]

Las primeras diez potencias de 2 para valores no negativos de $n$ son:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (secuencia A000079 en el OEIS )

Base del sistema de numeración binario.

Debido a que dos es la base del sistema numérico binario , las potencias de dos son comunes en la informática . Escrito en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100...000 o 0,00...001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal .

Ciencias de la Computación

Dos elevado al exponente de $n$ , escrito como $2 n$ , es el número de formas en que se pueden organizar los bits en una palabra binaria de longitud $n .$ Una palabra, interpretada como un entero sin signo , puede representar valores desde 0 ( $000...000 2$ ) hasta $2 n - 1$ ( $111...111 2$ ) inclusive. Los valores enteros con signo correspondientes pueden ser positivos, negativos y cero; ver representaciones de números firmados . De cualquier manera, uno menos que una potencia de dos suele ser el límite superior de un número entero en las computadoras binarias. Como consecuencia, números de este tipo aparecen con frecuencia en los programas informáticos. Por ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits podría limitar la puntuación o el número de elementos que el jugador puede conservar a 255 (el resultado de utilizar un byte , que tiene 8 bits de longitud , para almacenar el número, dando una valor máximo de $28 - 1 = 255$ . Por ejemplo, en el Legend of Zelda original , el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en un momento dado, y el videojuego Pac-Man tiene una pantalla de muerte en el nivel 256.

Las potencias de dos se utilizan a menudo para medir la memoria de la computadora. Un byte ahora se considera ocho bits (un octeto ), lo que da como resultado la posibilidad de 256 valores (2 ⁸ ). (El término byte alguna vez significó (y en algunos casos todavía significa) una colección de bits , generalmente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits). El prefijo kilo , junto con byte , puede ser, y tradicionalmente se ha utilizado en el sentido de 1.024 (2 ¹⁰ ). Sin embargo, en general, el término kilo se ha utilizado en el Sistema Internacional de Unidades para significar 1.000 (10 ³ ). Los prefijos binarios se han estandarizado, como kibi (Ki), que significa 1.024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos, siendo muy común 32 o 64.

Las potencias de dos también ocurren en muchos otros lugares. Para muchas unidades de disco , al menos uno de los tamaños de sector, número de sectores por pista y número de pistas por superficie es una potencia de dos. El tamaño del bloque lógico es casi siempre una potencia de dos.

Los números que no son potencias de dos aparecen en varias situaciones, como en las resoluciones de vídeo, pero a menudo son la suma o el producto de sólo dos o tres potencias de dos, o potencias de dos menos uno. Por ejemplo, $640 = 32 \times 20$ y $480 = 32 \times 15$ . Dicho de otra manera, tienen patrones de bits bastante regulares.

Primos de Mersenne y Fermat

Un número primo que es uno menor que una potencia de dos se llama primo de Mersenne . Por ejemplo, el número primo 31 es primo de Mersenne porque es 1 menor que 32 (2 ⁵ ). De manera similar, un número primo (como 257 ) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat : el exponente en sí es una potencia de dos. Una fracción que tiene como denominador una potencia de dos se llama racional diádica . Los números que pueden representarse como sumas de números enteros positivos consecutivos se denominan números corteses ; son exactamente los números que no son potencias de dos.

Elementos de Euclides , Libro IX

La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (o, en el sistema de numeración binario , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) es importante en la teoría de números . Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros $n$ términos de esta progresión es un número primo (y por lo tanto es un primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma multiplicada por el $n-$ ésimo término es un número perfecto . Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.

El Libro IX, Proposición 35, demuestra que en una serie geométrica, si el primer término se resta del segundo y último término de la sucesión, entonces, así como el exceso del segundo es al primero, también lo es el exceso del último a todos aquellos. antes de eso. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas anterior). Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 multiplicando todos los términos por 31) , vemos que 62 menos 31 es a 31 como 496 menos 31 es a la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman hasta 496 y además estos son todos los números que dividen a 496. Supongamos que $p$ divide a 496 y no está entre estos números. Supongamos que $p q$ es igual a $16 \times 31$ , o 31 es a $q$ como $p$ es a 16. Ahora $p$ no puede dividir 16 o estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir $q$ . Y como 31 no divide a $q$ y $q$ mide 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que $q$ debe dividir a 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea $q$ ser 4, entonces $p$ debe ser 124, lo cual es imposible ya que por hipótesis $p$ no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.

tabla de valores

(secuencia A000079 en el OEIS )

Últimos dígitos

Comenzando con 2, el último dígito es periódico con período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y comenzando con 4, los dos últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente ciertos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto inicial $2 k$ , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo $5 k$ , que es $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). ^{[ cita necesaria ]}

Poderes de 1024

(secuencia A140300 en el OEIS )

Las primeras potencias de 2 ¹⁰ son ligeramente mayores que esas mismas potencias de 1000 (10 ³ ). Las potencias de 2 ^·10 valores que tienen menos del 25% de desviación se enumeran a continuación:

Se necesitan aproximadamente 17 potencias de 1024 para alcanzar una desviación del 50 % y aproximadamente 29 potencias de 1024 para alcanzar una desviación del 100 % de las mismas potencias de 1000. ^[3] Consulte también Prefijos binarios e IEEE 1541-2002 .

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos.

Debido a que los datos (específicamente los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan utilizando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( $23$ ), las exponenciales dobles de dos son comunes. Los primeros 20 de ellos son:

Véase también número de Fermat , tetración e hiperoperaciones inferiores .

Últimos dígitos para potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

Todos estos números terminan en 6. A partir de 16, los dos últimos dígitos son periódicos con período 4, con el ciclo 16–56–36–96–, y a partir de 16, los últimos tres dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son Generalmente es cierto para cualquier poder, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto inicial $2 k$ , y el período es el orden multiplicativo de 2 módulo $5 k$ , que es $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (ver Grupo multiplicativo de números enteros módulo n ). ^{[ cita necesaria ]}

Datos sobre potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos

En relación con los números , estos números a menudo se denominan 2 potencias de Fermat .

Los números forman una secuencia de irracionalidad : para cada secuencia de números enteros positivos , la serie $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0} }}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

converge a un número irracional . A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida. ^[4]

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos en informática

Dado que es común que los tipos de datos de computadora tengan un tamaño que es una potencia de dos, estos números cuentan el número de valores representables de ese tipo. Por ejemplo, una palabra de 32 bits que consta de 4 bytes puede representar $232$ valores distintos, que pueden considerarse meros patrones de bits o interpretarse más comúnmente como números sin signo del 0 al $232 - 1$ , o como el rango de números con signo entre $-2 31$ y $231 - 1$ . Para obtener más información sobre la representación de números con signo, consulte Complemento a dos .

Potencias de dos seleccionadas

2 ² = 4: El número que es el cuadrado de dos. También la primera potencia de dos tetración de dos.
2 ⁸ = 256: El número de valores representados por los 8 bits de un byte , más específicamente denominado octeto . (El término byte a menudo se define como una colección de bits en lugar de la definición estricta de una cantidad de 8 bits, como lo demuestra el término kilobyte ).
2 ¹⁰ = 1.024: La aproximación binaria del kilo- , o multiplicador de 1000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.024 bytes = 1 kilobyte (o kibibyte ).
2 ¹² = 4.096: El tamaño de página de hardware de un procesador compatible con Intel x86 .
2 ¹⁵ = 32,768: El número de valores no negativos para un entero de 16 bits con signo .
2 ¹⁶ = 65,536

El número de valores distintos representables en una sola palabra en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales. ^[5]; El rango máximo de una variable entera corta en los lenguajes de programación C# , Java y SQL . El rango máximo de una variable Word o Smallint en el lenguaje de programación Pascal .; El número de relaciones binarias en un conjunto de 4 elementos.
2 ²⁰ = 1.048.576: La aproximación binaria del mega- , o multiplicador de 1.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo: 1.048.576 bytes = 1 megabyte (o mebibyte ).
2 ²⁴ = 16.777.216: Número de colores únicos que se pueden mostrar en color verdadero , que utilizan los monitores de computadora comunes .; Este número es el resultado de utilizar el sistema RGB de tres canales , donde los colores se definen mediante tres valores (rojo, verde y azul) de forma independiente que van desde 0 ( 00) a 255 ( FF) inclusive. Esto da 8 bits para cada canal, o 24 bits en total; por ejemplo, el negro puro es #000000, el blanco puro es #FFFFFF. El espacio de todos los colores posibles, 16.777.216, se puede determinar mediante 16 ⁶ (6 dígitos con 16 valores posibles para cada uno), 256 ³ (3 canales con 256 valores posibles para cada uno) o 2 ²⁴ (24 bits con 2 valores posibles para cada).; El tamaño de la dirección o número entero sin signo más grande en computadoras con registros o buses de datos de 24 bits .
2 ²⁹ = 536.870.912: La potencia más grande de dos con dígitos distintos en base diez. ^[6]
2 ³⁰ = 1.073.741.824: La aproximación binaria del multiplicador giga- , o 1.000.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.073.741.824 bytes = 1 gigabyte (o gibibyte ).
2 ³¹ = 2.147.483.648

El número de valores no negativos para un entero de 32 bits con signo . Dado que el tiempo de Unix se mide en segundos desde el 1 de enero de 1970, se agotará a los 2.147.483.647 segundos o 03:14:07 UTC del martes 19 de enero de 2038 en computadoras de 32 bits que ejecutan Unix, un problema conocido como el problema del año 2038 .
2 ³² = 4.294.967.296

El número de valores distintos representables en una sola palabra en un procesador de 32 bits . ^[7] O el número de valores representables en una palabra doble en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales . ^[5]; El rango de una intvariable en los lenguajes de programación Java , C# y SQL .; El rango de una variable Cardinalo Integeren el lenguaje de programación Pascal .; El rango mínimo de una variable entera larga en los lenguajes de programación C y C++ .; El número total de direcciones IP bajo IPv4 . Aunque se trata de una cantidad aparentemente grande, la cantidad de direcciones IPv4 de 32 bits disponibles se ha agotado (pero no para las direcciones IPv6 ).; El número de operaciones binarias con dominio igual a cualquier conjunto de 4 elementos, como GF (4).
2 ⁴⁰ = 1.099.511.627.776: La aproximación binaria del multiplicador tera- , o 1.000.000.000.000, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo, 1.099.511.627.776 bytes = 1 terabyte o tebibyte.
2 ⁵⁰ = 1.125.899.906.842.624: La aproximación binaria del multiplicador peta , o 1.000.000.000.000.000. 1.125.899.906.842.624 bytes = 1 petabyte o pebibyte.
2 ⁵³ = 9.007.199.254.740.992: El número hasta el cual todos los valores enteros se pueden representar exactamente en formato de punto flotante de doble precisión IEEE . También la primera potencia de 2 para comenzar con el dígito 9 en decimal.
2 ⁵⁶ = 72.057.594.037.927.936: El número de claves posibles diferentes en el obsoleto cifrado simétrico DES de 56 bits .
2 ⁶⁰ = 1.152.921.504.606.846.976: La aproximación binaria del multiplicador exa- , o 1.000.000.000.000.000.000. 1.152.921.504.606.846.976 bytes = 1 exabyte o exbibyte.
2 ⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808: El número de valores no negativos para un entero de 64 bits con signo.; 2 ⁶³ − 1, un valor máximo común (equivalente al número de valores positivos) para un entero de 64 bits con signo en lenguajes de programación.
2 ⁶⁴ = 18.446.744.073.709.551.616: El número de valores distintos representables en una sola palabra en un procesador de 64 bits . O el número de valores representables en una palabra doble en un procesador de 32 bits . O el número de valores representables en una palabra cuádruple en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales. ^[5]; El rango de una variable larga en los lenguajes de programación Java y C# .; El rango de una variable Int64 o QWord en el lenguaje de programación Pascal .; El número total de direcciones IPv6 generalmente asignadas a una única LAN o subred.; 2 ⁶⁴ − 1, el número de granos de arroz en un tablero de ajedrez, según la vieja historia , donde el primer cuadrado contiene un grano de arroz y cada cuadrado siguiente el doble que el cuadrado anterior. Por esta razón, a veces se le conoce como "número de ajedrez".; 2 ⁶⁴ − 1 es también el número de movimientos necesarios para completar la legendaria versión de 64 discos de la Torre de Hanoi .
2 ⁶⁸ = 295.147.905.179.352.825.856: La primera potencia de 2 que contiene todos los dígitos decimales. (secuencia A137214 en el OEIS )
2 ⁷⁰ = 1.180.591.620.717.411.303.424: La aproximación binaria del multiplicador zetta- , o 1.000.000.000.000.000.000.000. 1.180.591.620.717.411.303.424 bytes = 1 zettabyte (o zebibyte ).
2 ⁸⁰ = 1.208.925.819.614.629.174.706.176: La aproximación binaria del multiplicador yotta , o 1.000.000.000.000.000.000.000.000. 1.208.925.819.614.629.174.706.176 bytes = 1 yottabyte (o yobibyte ).
2 ⁸⁶ = 77.371.252.455.336.267.181.195.264: Se conjetura que 2 ⁸⁶ es la potencia más grande de dos que no contiene un cero en decimal. ^[8]
2 ⁹⁶ = 79.228.162.514.264.337.593.543.950.336: El número total de direcciones IPv6 generalmente proporcionadas a un registro de Internet local . En notación CIDR , a los ISP se les asigna / 32 , lo que significa que hay 128-32 = 96 bits disponibles para las direcciones (a diferencia de la designación de red). Así, 2 ⁹⁶ direcciones.
2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426 , 726, 783, 156, 020, 576, 256: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un 9 en decimal. (secuencia A035064 en la OEIS )
2 ¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615 , 865, 843, 651, 857, 942, 052, 864: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un par de dígitos iguales consecutivos. (secuencia A050723 en el OEIS )
2 ¹²⁸ = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.456: El número total de direcciones IP disponibles en IPv6 . También el número de identificadores universalmente únicos (UUID) distintos .
2 ¹⁶⁸ = 374.144.419.156.711.147.060.143.317.175.368.453.031.918.731.001.856: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene todos los dígitos decimales (en este caso falta el dígito 2). (secuencia A137214 en el OEIS )
2 ¹⁹² = 6.277.101.735.386.680.763.835.789.423.207.666.416.102.355.444.464.034.512.896: El número total de claves posibles diferentes en el espacio de claves AES de 192 bits (cifrado simétrico).
2 ²²⁹ = 862.718.293.348.820.473.429.344.482.784.628.181.556.388.621.521.298.319.395.315.527.974.912: 2229 es ^la potencia más grande conocida de dos que contiene el menor número de ceros en relación con su potencia. Metin Sariyar conjetura que cada dígito del 0 al 9 tiende a aparecer un número igual de veces en la expansión decimal de la potencia de dos a medida que aumenta la potencia. (secuencia A330024 en el OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.936: El número total de claves posibles diferentes en el espacio de claves AES de 256 bits (cifrado simétrico).
2 ^1.024 = 179.769.313.486.231.590.772.930,...,304.835.356.329.624.224.137.216: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de doble precisión IEEE de 64 bits (aproximadamente 1.797×10 ³⁰⁸ ) y, por tanto, el número máximo que pueden representar muchos programas, por ejemplo Microsoft Excel .
2 ^16,384 = 1,189,731,495,357,231,765,085,75...,460,447,027,290,669,964,066,816: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión cuádruple IEEE de 128 bits (aproximadamente 1,189 × 10 ⁴⁹³² ).
2 ^262,144 = 16,113,257,174,857,604,736,195,7...,753,862,605,349,934,298,300,416: El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión octuple IEEE de 256 bits (aproximadamente 1,611 × 10 ⁷⁸⁹¹³ ).
2 ^82.589.933 = 1.488.944.457.420.413.255.478,06...,074.037.951.210.325.217.902.592: Uno más que el número primo más grande conocido a junio de 2023 ^[actualizar]. Tiene 24.862.048 dígitos. ^[9]

Potencias de dos en teoría musical.

En notación musical , todos los valores de nota no modificados tienen una duración igual a una nota entera dividida por una potencia de dos; por ejemplo, una blanca (1/2), una negra (1/4), una corchea (1/8) y una semicorchea (1/16). Las notas con puntillo o modificadas de otro modo tienen otras duraciones. En las firmas de compás , el número inferior, la unidad de tiempo , que puede verse como el denominador de una fracción, es casi siempre una potencia de dos.

Si la relación de frecuencias de dos tonos es una potencia de dos, entonces el intervalo entre esos tonos es de octavas completas . En este caso, las notas correspondientes tienen el mismo nombre.

Otras propiedades

La suma de todos los coeficientes binomiales $n$ -elija es igual a $2$ $n$ . Considere el conjunto de todos los números enteros binarios $de n$ dígitos. Su cardinalidad es $2$ $n$ . También son las sumas de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de números enteros sin unos (que consta de un solo número, escrito como $n$ 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos unos, y así sucesivamente hasta el subconjunto con $n$ 1s (que consta del número escrito como $n$ 1s). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por $n$ y el número de unos que se consideran (por ejemplo, hay números binarios de 10-elija-3 con diez dígitos que incluyen exactamente tres unos).

Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos conocidos .

El número de vértices de un hipercubo de $n$ dimensiones es $2$ $n$ . De manera similar, el número de $($ $n$ $- 1 )$ -caras de un politopo cruzado de $n$ -dimensional también es $2$ $n$ y la fórmula para el número de $x$ -caras que tiene un politopo cruzado de $n -dimensional es$ $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

La suma del primer número de potencias de dos (a partir de ) viene dada por, $n$ $2^{0}$

$\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1 }=2^{n}-1$

por ser cualquier número entero positivo. $n$

Así, la suma de las potencias

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

se puede calcular simplemente evaluando: (que es el "número de ajedrez"). $2^{64}-1$

La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1 . La suma de los recíprocos de las potencias de dos al cuadrado (potencias de cuatro) es 1/3.

La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es ^[10]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Cada potencia de 2 (excluyendo 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 formas . Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad de formas.

Como polinomio real , an + bn es irreducible , si y sólo si ⁿ es ^una potencia de dos. (Si n es impar, entonces a ⁿ + b ⁿ es divisible por a + n , y si n es par pero no una potencia de 2, entonces n se puede escribir como n = mp , donde m es impar, y por lo tanto , cuál es divisible por a ^p + b ^p .) Pero en el dominio de los números complejos , el polinomio (donde n >=1) siempre se puede factorizar como , incluso si n es una potencia de dos. $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

Ver también

Referencias

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^ abc Aunque varían en el tamaño de las palabras, todos los procesadores x86 utilizan el término "palabra" para referirse a 16 bits; por lo tanto, un procesador x86 de 32 bits se refiere a su tamaño de palabra nativo como dword
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