Base de Schauder

Herramienta computacional

En matemáticas , una base de Schauder o base contable es similar a la base habitual ( de Hamel ) de un espacio vectorial ; la diferencia es que las bases de Hamel utilizan combinaciones lineales que son sumas finitas, mientras que para las bases de Schauder pueden ser sumas infinitas. Esto hace que las bases de Schauder sean más adecuadas para el análisis de espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita, incluidos los espacios de Banach .

Las bases de Schauder fueron descritas por Juliusz Schauder en 1927, ^{[1] [2]} aunque dichas bases ya se habían analizado antes. Por ejemplo, la base de Haar se presentó en 1909, y Georg Faber analizó en 1910 una base para funciones continuas en un intervalo , a veces denominada sistema Faber–Schauder . ^[3]

Definiciones

Sea V un espacio vectorial topológico sobre el cuerpo  F . Una base de Schauder es una secuencia { b _n } de elementos de  V tal que para cada elemento v ∈ V existe una secuencia única { α _n } de escalares en  F tal que La convergencia de la suma infinita es implícitamente la de la topología ambiental, es decir , pero puede reducirse solo a una convergencia débil en un espacio vectorial normado (tal como un espacio de Banach ). ^[4] A diferencia de una base de Hamel , los elementos de la base deben estar ordenados, ya que la serie no puede converger incondicionalmente . $${\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}$$

Obsérvese que algunos autores definen las bases de Schauder como contables (como se indica más arriba), mientras que otros utilizan el término para incluir bases incontables. En cualquier caso, las sumas mismas siempre son contables. Una base de Schauder incontable es un conjunto ordenado linealmente en lugar de una secuencia, y cada suma hereda el orden de sus términos de este ordenamiento lineal. Pueden surgir y surgen en la práctica. A modo de ejemplo, un espacio de Hilbert separable solo puede tener una base de Schauder contable, pero un espacio de Hilbert no separable puede tener una incontable.

Aunque la definición anterior técnicamente no requiere un espacio normado, una norma es necesaria para decir casi cualquier cosa útil sobre las bases de Schauder. Los resultados a continuación suponen la existencia de una norma.

Se dice que una base de Schauder { b _n } _{n ≥ 0} está normalizada cuando todos los vectores base tienen norma 1 en el espacio de Banach  V .

Una secuencia { x _n } _{n ≥ 0} en V es una secuencia básica si es una base de Schauder de su espacio lineal cerrado .

Se dice que dos bases de Schauder, { b _n } en V y { c _n } en W , son equivalentes si existen dos constantes c > 0 y C tales que para cada número natural N ≥ 0 y todas las secuencias { α _n } de escalares,

${\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}$

Una familia de vectores en V es total si su extensión lineal (el conjunto de combinaciones lineales finitas) es densa en V . Si V es un espacio de Hilbert , una base ortogonal es un subconjunto total B de V tal que los elementos en B son distintos de cero y ortogonales por pares. Además, cuando cada elemento en B tiene norma 1, entonces B es una base ortonormal de V .

Propiedades

Sea { b _n } una base de Schauder de un espacio de Banach V sobre F  = R o  C . Es una consecuencia sutil del teorema de aplicación abierta que las aplicaciones lineales { P _n } definidas por

${\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}$

están uniformemente acotadas por alguna constante C . ^[5] Cuando C = 1 , la base se denomina base monótona . Las aplicaciones { P _n } son las proyecciones de la base .

Sea { b* _n } la función de coordenadas , donde b* _n asigna a cada vector v en V la coordenada α _n de v en la expansión anterior. Cada b* _n es una función lineal acotada en V . De hecho, para cada vector v en V ,

${\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}$

Estos funcionales { b* _n } se denominan funcionales biortogonales asociados a la base { b _n }. Cuando la base { b _n } está normalizada, los funcionales coordenados { b* _n } tienen norma ≤ 2 C en el dual continuo V  ′ de  V .

Un espacio de Banach con base de Schauder es necesariamente separable , pero la recíproca es falsa. Puesto que todo vector v en un espacio de Banach V con base de Schauder es el límite de P _n ( v ), con P _n de rango finito y uniformemente acotado, dicho espacio V satisface la propiedad de aproximación acotada .

Un teorema atribuido a Mazur ^[6] afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita V contiene una secuencia básica, es decir , existe un subespacio de dimensión infinita de V que tiene una base de Schauder. El problema de la base es la pregunta formulada por Banach, si todo espacio de Banach separable tiene una base de Schauder. Esta pregunta fue respondida negativamente por Per Enflo , quien construyó un espacio de Banach separable que no cumplía la propiedad de aproximación, es decir, un espacio sin base de Schauder. ^[7]

Ejemplos

Las bases de vector unitario estándar de c 0 y de ℓ p para 1 ≤ p  < ∞ son bases de Schauder monótonas. En esta base de vector unitario { b _n }, el vector b _n en V = c ₀ o en V = ℓ ^p es la secuencia escalar [ b _{n , j} ] _j donde todas las coordenadas b _{n, j} son 0, excepto la coordenada n ésima:

${\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}$

donde δ _{n, j} es el delta de Kronecker . El espacio ℓ ^∞ no es separable y, por lo tanto, no tiene base de Schauder.

Toda base ortonormal en un espacio de Hilbert separable es una base de Schauder. Toda base ortonormal numerable es equivalente a la base del vector unitario estándar en ℓ ² .

El sistema de Haar es un ejemplo de una base para L ^p ([0, 1]) , cuando 1 ≤ p  < ∞. ^[2] Cuando 1 < p  < ∞ , otro ejemplo es el sistema trigonométrico definido a continuación. El espacio de Banach C ([0, 1]) de funciones continuas en el intervalo [0, 1], con la norma suprema , admite una base de Schauder. El sistema de Faber–Schauder es la base de Schauder más comúnmente utilizada para  C ([0, 1]). ^{[3] [8]}

Se descubrieron varias bases para espacios clásicos antes de que apareciera el libro de Banach (Banach (1932)), pero algunos otros casos permanecieron abiertos durante mucho tiempo. Por ejemplo, la cuestión de si el álgebra de discos A ( D ) tiene una base de Schauder permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que existe una base construida a partir del sistema de Franklin en  A ( D ). ^[9] También se puede demostrar que el sistema periódico de Franklin ^[10] es una base para un espacio de Banach A _r isomorfo a A ( D ). ^[11] Este espacio A _r consiste en todas las funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua. El sistema de Franklin es otra base de Schauder para C ([0, 1]), ^[12] y es una base de Schauder en L ^p ([0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞ . ^[13] Los sistemas derivados del sistema de Franklin dan bases en el espacio C ¹ ([0, 1] ² ) de funciones diferenciables en el cuadrado unitario. ^[14] La existencia de una base de Schauder en C ¹ ([0, 1] ² ) fue una cuestión del libro de Banach. ^[15]

Relación con las series de Fourier

Sea { x _n }, en el caso real, la sucesión de funciones

${\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}$

o, en el caso complejo,

${\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}$

La sucesión { x _n } se denomina sistema trigonométrico . Es una base de Schauder para el espacio L ^p ([0, 2 π ]) para cualquier p tal que 1 < p < ∞ . Para p  = 2, este es el contenido del teorema de Riesz-Fischer , y para p  ≠ 2, es una consecuencia de la acotación en el espacio L ^p ([0, 2 π ]) de la transformada de Hilbert en el círculo . De esta acotación se deduce que las proyecciones P _N definidas por

${\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}$

están uniformemente acotadas en L ^p ([0, 2 π ]) cuando 1 < p < ∞ . Esta familia de aplicaciones { P _N } es equicontinua y tiende a la identidad en el subconjunto denso que consiste en polinomios trigonométricos . De ello se deduce que P _N f tiende a f en L ^p -norma para cada f ∈ L ^p ([0, 2 π ]) . En otras palabras, { x _n } es una base de Schauder de L ^p ([0, 2 π ]). ^[16]

Sin embargo, el conjunto { x _n } no es una base de Schauder para L ¹ ([0, 2 π ]). Esto significa que hay funciones en L ¹ cuya serie de Fourier no converge en la norma L ¹ , o equivalentemente, que las proyecciones P _N no están uniformemente acotadas en la norma L ¹ . Además, el conjunto { x _n } no es una base de Schauder para C ([0, 2 π ]).

Bases para espacios de operadores

El espacio K (ℓ ² ) de operadores compactos en el espacio de Hilbert ℓ ^​​2 tiene una base de Schauder. Para cada x , y en ℓ ² , sea x ⊗ y el operador de rango uno v ∈ ℓ ² → < v , x > y . Si { e _n } _{n ≥ 1} es la base ortonormal estándar de ℓ ² , una base para K (ℓ ² ) viene dada por la secuencia ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}$

Para cada n , la secuencia que consiste en los n ² primeros vectores en esta base es un ordenamiento adecuado de la familia { e _j ⊗ e _k }, para 1 ≤ j , k ≤ n .

El resultado anterior se puede generalizar: un espacio de Banach X con una base tiene la propiedad de aproximación , por lo que el espacio K ( X ) de operadores compactos en X es isométricamente isomorfo ^[18] al producto tensorial inyectivo

${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}$

Si X es un espacio de Banach con base de Schauder { e _n } _{n ≥ 1} tal que los funcionales biortogonales son una base del dual, es decir, un espacio de Banach con base decreciente, entonces el espacio K ( X ) admite una base formada por los operadores de rango uno e * _j ⊗ e _k  : v → e * _j ( v ) e _k , con el mismo ordenamiento que antes. ^[17] Esto se aplica en particular a todo espacio de Banach reflexivo X con base de Schauder .

Por otra parte, el espacio B (ℓ ² ) no tiene base, ya que no es separable. Además, B (ℓ ² ) no tiene la propiedad de aproximación. ^[19]

Incondicionalidad

Una base de Schauder { b _n } es incondicional si siempre que la serie converge, converge incondicionalmente . Para una base de Schauder { b _n }, esto es equivalente a la existencia de una constante C tal que ${\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}$

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}$

para todos los números naturales n , todos los coeficientes escalares {α _k } y todos los signos ε _k = ±1 . La incondicionalidad es una propiedad importante ya que permite olvidarse del orden de la suma. Una base de Schauder es simétrica si es incondicional y uniformemente equivalente a todas sus permutaciones : existe una constante C tal que para cada número natural n , cada permutación π del conjunto {0, 1, ..., n }, todos los coeficientes escalares {α _k } y todos los signos {ε _k },

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}$

Las bases estándar de los espacios de sucesiones c ₀ y ℓ ^p para 1 ≤ p  < ∞, así como toda base ortonormal en un espacio de Hilbert, son incondicionales. Estas bases también son simétricas.

El sistema trigonométrico no es una base incondicional en L ^p , excepto para p  = 2.

El sistema de Haar es una base incondicional en L ^p para cualquier 1 < p  < ∞. El espacio L ¹ ([0, 1]) no tiene base incondicional. ^[20]

Una pregunta natural es si todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional. Esta pregunta fue resuelta negativamente por Timothy Gowers y Bernard Maurey en 1992. ^[21]

Bases de Schauder y dualidad

Una base { e _n } _{n ≥0} de un espacio de Banach X es acotadamente completa si para cada secuencia { a _n } _{n ≥0} de escalares tales que las sumas parciales

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}$

están acotadas en X , la sucesión { V _n } converge en X . La base del vector unitario para ℓ ^p , 1 ≤ p < ∞ , es acotadamente completa. Sin embargo, la base del vector unitario no es acotadamente completa en c ₀ . De hecho, si a _n  = 1 para cada n , entonces

${\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}$

para cada n , pero la secuencia { V _n } no es convergente en c ₀ , ya que || V _{n +1} − V _n || = 1 para cada  n .

Un espacio X con una base acotadamente completa { e _n } _{n ≥0} es isomorfo a un espacio dual, es decir, el espacio X es isomorfo al dual del espacio lineal cerrado en el dual X  ′ de los funcionales biortogonales asociados a la base { e _n }. ^[22]

Una base { e _n } _{n ≥0} de X se contrae si para cada funcional lineal acotado f en X , la secuencia de números no negativos

${\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}$

tiende a 0 cuando n → ∞ , donde F _n es el espacio lineal de los vectores base e _m para m ≥ n . La base del vector unitario para ℓ ^p , 1 < p < ∞, o para c ₀ , se está reduciendo. No se está reduciendo en ℓ ¹ : si f es el funcional lineal acotado en ℓ ¹ dado por

${\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}$

entonces φ _n ≥ f ( e _n ) = 1 para cada n .

Una base [ e _n ] _{n ≥ 0} de X se contrae si y solo si los funcionales biortogonales [ e * _n ] _{n ≥ 0} forman una base del dual X  ′ . ^[23]

Robert C. James caracterizó la reflexividad en espacios de Banach con base: el espacio X con una base de Schauder es reflexivo si y sólo si la base es a la vez reducible y acotadamente completa. ^[24] James también demostró que un espacio con una base incondicional es no reflexivo si y sólo si contiene un subespacio isomorfo a c ₀ o ℓ ¹ . ^[25]

Conceptos relacionados

Una base de Hamel es un subconjunto B de un espacio vectorial V tal que cada elemento v ∈ V puede escribirse de forma única como

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}$

con α _b ∈ F , con la condición adicional de que el conjunto

${\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}$

es finito. Esta propiedad hace que la base de Hamel sea difícil de manejar para espacios de Banach de dimensión infinita; como una base de Hamel para un espacio de Banach de dimensión infinita tiene que ser incontable . (Cada subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach de dimensión infinita X tiene interior vacío y no es denso en ninguna parte en X. Entonces se sigue del teorema de la categoría de Baire que una unión contable de bases de estos subespacios de dimensión finita no puede servir como base. ^[26] )

Véase también

• Base de Markushevich
• Serie de Fourier generalizada
• Polinomios ortogonales
• Ondícula de Haar
• Espacio Banach

Notas

1. ver Schauder (1927).
2. Schauder, Juliusz (1928). "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems". Mathematische Zeitschrift . 28 : 317–320. doi :10.1007/bf01181164.
3. Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (en alemán) 19 : 104-112. ISSN  0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
4. Karlin, S. (diciembre de 1948). "Bases en espacios de Banach". Duke Mathematical Journal . 15 (4): 971–985. doi :10.1215/S0012-7094-48-01587-7. ISSN  0012-7094.
5. ver Teorema 4.10 en Fabian et al. (2011).
6. Para una prueba publicada temprana, véase p. 157, C.3 en Bessaga, C. y Pełczyński, A. (1958), "On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces", Studia Math. 17 : 151–164. En las primeras líneas de este artículo, Bessaga y Pełczyński escriben que el resultado de Mazur aparece sin prueba en el libro de Banach —para ser precisos, en la p. 238— pero no proporcionan una referencia que contenga una prueba.
7. Enflo, Per (julio de 1973). "Un contraejemplo del problema de aproximación en espacios de Banach". Acta Mathematica . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 .
8. Véase Schauder (1927), páginas 48 y 49. Schauder define allí un modelo general para este sistema, del que el sistema Faber-Schauder que se utiliza en la actualidad es un caso especial.
9. Véase Bočkarev, SV (1974), "Existencia de una base en el espacio de funciones analíticas en el disco y algunas propiedades del sistema de Franklin", (en ruso) Mat. Sb . (NS) 95 (137): 3–18, 159. Traducido en Math. URSS-Sb. 24 (1974), 1–16. La pregunta está en el libro de Banach, Banach (1932) p. 238, §3.
10. Ver pág. 161, III.D.20 en Wojtaszczyk (1991).
11. Ver pág. 192, III.E.17 en Wojtaszczyk (1991).
12. Franklin, Philip (1928). "Un conjunto de funciones ortogonales continuas". Math. Ann. 100 : 522–529. doi :10.1007/bf01448860.
13. ver pág. 164, III.D.26 en Wojtaszczyk (1991).
14. ver Ciesielski, Z (1969). "Una construcción de base en C ¹ ( I ² )". Estudia Matemáticas. 33 : 243–247. y Schönefeld, Steven (1969). "Schauder se basa en espacios de funciones diferenciables". Toro. América. Matemáticas. Soc. 75 (3): 586–590. doi : 10.1090/s0002-9904-1969-12249-4 .
15. ver p. 238, §3 en Banach (1932).
16. ver pág. 40, II.B.11 en Wojtaszczyk (1991).
17. ver Proposición 4.25, p. 88 en Ryan (2002).
18. ver Corolario 4.13, p. 80 en Ryan (2002).
19. Véase Szankowski, Andrzej (1981). "B(H) no tiene la propiedad de aproximación". Acta Math . 147 : 89–108. doi : 10.1007/bf02392870 .
20. ver p. 24 en Lindenstrauss y Tzafriri (1977).
21. Gowers, W. Timothy; Maurey, Bernard (6 de mayo de 1992). "El problema de la secuencia básica incondicional". arXiv : math/9205204 .
22. ver p. 9 en Lindenstrauss y Tzafriri (1977).
23. ver p. 8 en Lindenstrauss y Tzafriri (1977).
24. Véase James (1950) y Lindenstrauss & Tzafriri (1977, pág. 9).
25. Véase James (1950) y Lindenstrauss & Tzafriri (1977, pág. 23).
26. Carothers, NL (2005), Un curso breve sobre la teoría del espacio de Banach , Cambridge University Press ISBN 0-521-60372-2 

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Referencias

• Schauder, Juliusz (1927), "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 26 : 47–65, doi :10.1007/BF01475440, hdl : 10338.dmlcz/104881.
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Fabián, Marián; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos, Vicente; Zizler, Václav (2011), Teoría del espacio de Banach: la base para el análisis lineal y no lineal , CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4419-7514-0
• James, Robert C. (1950). "Bases y reflexividad de los espacios de Banach". Anales de Matemáticas . 52 (3): 518–527. doi :10.2307/1969430. Señor 39915
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Espacios clásicos de Banach I, Espacios de secuencia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4
• Ryan, Raymond A. (2002), Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach , Springer Monographs in Mathematics, Londres: Springer-Verlag, pp. xiv+225, ISBN 1-85233-437-1
• Schaefer, Helmut H. (1971), Espacios vectoriales topológicos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 3, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xi+294, ISBN 0-387-98726-6.
• Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Espacios de Banach para analistas , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0.
• Golubov, BI (2001) [1994], "Sistema Faber-Schauder", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

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• Heil, Christopher E. (1997). "Introducción a la teoría de la base" (PDF) ..
• Sistema Franklin. BI Golubov (creador), Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Sistema_Franklin&oldid=16655

Lectura adicional

• Kufner, Alois (2013), Espacios funcionales , De Gruyter Series in Nonlinear analysis and applications, vol. 14, Praga: Academia Publishing House de la Academia Checoslovaca de Ciencias, de Gruyter