Estructura de banda electrónica

Describe el rango de energías de un electrón dentro del sólido.

En física del estado sólido , la estructura de bandas electrónicas (o simplemente estructura de bandas ) de un sólido describe el rango de niveles de energía que los electrones pueden tener dentro de él, así como los rangos de energía que pueden no tener (llamados bandas prohibidas o prohibidas) . bandas ).

La teoría de bandas deriva estas bandas y bandas prohibidas examinando las funciones de onda de la mecánica cuántica permitidas para un electrón en una gran red periódica de átomos o moléculas. La teoría de bandas se ha utilizado con éxito para explicar muchas propiedades físicas de los sólidos, como la resistividad eléctrica y la absorción óptica , y constituye la base para la comprensión de todos los dispositivos de estado sólido (transistores, células solares, etc.).

Por qué ocurren las bandas y las bandas prohibidas

Un ejemplo hipotético de formación de bandas cuando se junta una gran cantidad de átomos de carbono para formar un cristal de diamante. El gráfico de la derecha muestra los niveles de energía en función del espacio entre los átomos. Cuando los átomos están muy separados (lado derecho del gráfico), los estados propios son los orbitales atómicos del carbono. Cuando los átomos se acercan (lado izquierdo), los orbitales se hibridan en orbitales moleculares con diferentes energías. Como hay muchos átomos, los orbitales tienen energías muy cercanas y forman bandas continuas. El principio de exclusión de Pauli limita a dos el número de electrones en un solo orbital y las bandas se llenan comenzando con la energía más baja. En el tamaño real de la celda de cristal de diamante indicado por a , se forman dos bandas, separadas por una banda prohibida de 5,5 eV.

Animación de la formación de bandas y cómo los electrones las llenan en un metal y un aislante.

La formación de bandas electrónicas y bandas prohibidas se puede ilustrar con dos modelos complementarios para electrones en sólidos. ^{[1] : 161} El primero es el modelo del electrón casi libre , en el que se supone que los electrones se mueven casi libremente dentro del material. En este modelo, los estados electrónicos se asemejan a ondas planas de electrones libres y sólo están ligeramente perturbados por la red cristalina. Este modelo explica el origen de la relación de dispersión electrónica, pero la explicación de las bandas prohibidas es sutil en este modelo. ^{[2] : 121}

El segundo modelo parte del límite opuesto, en el que los electrones están estrechamente unidos a átomos individuales. Los electrones de un átomo único y aislado ocupan orbitales atómicos con niveles de energía discretos . Si dos átomos se acercan lo suficiente como para que sus orbitales atómicos se superpongan, los electrones pueden hacer túneles entre los átomos. Este túnel divide ( hibrida ) los orbitales atómicos en orbitales moleculares con diferentes energías. ^{[2] : 117-122}

De manera similar, si un gran número N de átomos idénticos se juntan para formar un sólido, como una red cristalina , los orbitales atómicos de los átomos se superponen con los orbitales cercanos. ^[3] Cada nivel de energía discreto se divide en N niveles, cada uno con una energía diferente. Dado que el número de átomos en una pieza macroscópica de sólido es muy grande ( N ~10 ²² ), el número de orbitales es muy grande y, por lo tanto, están muy estrechamente espaciados en energía (del orden de10-22  eV ) ^. La energía de los niveles adyacentes está tan próxima entre sí que pueden considerarse como un continuo, una banda de energía.

Esta formación de bandas es principalmente una característica de los electrones más externos ( electrones de valencia ) del átomo, que son los que participan en los enlaces químicos y la conductividad eléctrica . Los orbitales internos de los electrones no se superponen en un grado significativo, por lo que sus bandas son muy estrechas.

Las bandas prohibidas son esencialmente rangos de energía sobrantes que no están cubiertos por ninguna banda, como resultado de los anchos finitos de las bandas de energía. Las bandas tienen diferentes anchos, dependiendo el ancho del grado de superposición en los orbitales atómicos de los que surgen. Es posible que dos bandas adyacentes simplemente no sean lo suficientemente anchas para cubrir completamente el rango de energía. Por ejemplo, las bandas asociadas con los orbitales del núcleo (como los electrones 1s ) son extremadamente estrechas debido al pequeño solapamiento entre átomos adyacentes. Como resultado, tiende a haber grandes espacios entre bandas entre las bandas centrales. Las bandas más altas involucran orbitales comparativamente más grandes con más superposición, volviéndose progresivamente más anchos a energías más altas, de modo que no hay bandas prohibidas a energías más altas.

Conceptos básicos

Supuestos y límites de la teoría de la estructura de bandas.

La teoría de bandas es sólo una aproximación al estado cuántico de un sólido, que se aplica a sólidos que constan de muchos átomos o moléculas idénticas unidas entre sí. Estos son los supuestos necesarios para que la teoría de bandas sea válida:

• Sistema de tamaño infinito : Para que las bandas sean continuas, la pieza de material debe estar formada por una gran cantidad de átomos. Dado que una pieza macroscópica de material contiene del orden de 10 ²² átomos, esto no es una restricción importante; La teoría de bandas se aplica incluso a transistores de tamaño microscópico en circuitos integrados . Con modificaciones, el concepto de estructura de bandas también se puede extender a sistemas que sólo son "grandes" en algunas dimensiones, como los sistemas de electrones bidimensionales .
• Sistema homogéneo : la estructura de bandas es una propiedad intrínseca de un material, que supone que el material es homogéneo. En la práctica, esto significa que la composición química del material debe ser uniforme en toda la pieza.
• No interactividad : la estructura de bandas describe "estados de un solo electrón". La existencia de estos estados supone que los electrones viajan en un potencial estático sin interactuar dinámicamente con vibraciones de la red , otros electrones, fotones , etc.

Los supuestos anteriores no se cumplen en una serie de situaciones prácticas importantes, y el uso de la estructura de bandas requiere que uno controle de cerca las limitaciones de la teoría de bandas:

• Faltas de homogeneidad e interfaces: cerca de superficies, uniones y otras faltas de homogeneidad, la estructura general de la banda se altera. No sólo hay perturbaciones locales a pequeña escala (por ejemplo, estados de superficie o estados dopantes dentro de la banda prohibida), sino también desequilibrios de carga locales. Estos desequilibrios de carga tienen efectos electrostáticos que se extienden profundamente a los semiconductores, los aislantes y el vacío (ver dopaje , flexión de banda ).
• En la misma línea, la mayoría de los efectos electrónicos ( capacitancia , conductancia eléctrica , apantallamiento de campo eléctrico ) implican la física de los electrones que pasan a través de superficies y/o interfaces cercanas. La descripción completa de estos efectos, en una imagen de estructura de bandas, requiere al menos un modelo rudimentario de interacciones electrón-electrón (ver carga espacial , flexión de banda ).
• Sistemas pequeños: para sistemas que son pequeños en todas las dimensiones (por ejemplo, una molécula pequeña o un punto cuántico ), no existe una estructura de banda continua. El cruce entre pequeñas y grandes dimensiones es el ámbito de la física mesoscópica .
• Los materiales fuertemente correlacionados (por ejemplo, los aisladores de Mott ) simplemente no pueden entenderse en términos de estados de un solo electrón. Las estructuras de bandas electrónicas de estos materiales están mal definidas (o al menos, no están definidas de manera única) y pueden no proporcionar información útil sobre su estado físico.

Simetría cristalina y vectores de onda.

Fig 1. Zona de Brillouin de una red cúbica centrada en las caras que muestra etiquetas para puntos de simetría especiales.

Fig 2. Gráfico de estructura de bandas para Si , Ge , GaAs e InAs generado con un modelo de unión estrecha. Tenga en cuenta que Si y Ge son materiales de banda prohibida indirecta, mientras que GaAs e InAs son directos.

Los cálculos de la estructura de bandas aprovechan la naturaleza periódica de una red cristalina, explotando su simetría. La ecuación de Schrödinger de un solo electrón se resuelve para un electrón en un potencial periódico de red, dando electrones de Bloch como soluciones.

$${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$$

kknkEn ( k )relación de dispersión _de

El vector de onda adquiere cualquier valor dentro de la zona de Brillouin , que es un poliedro en el espacio del vector de onda ( red recíproca ) que está relacionado con la red del cristal. Los vectores de onda fuera de la zona de Brillouin simplemente corresponden a estados que son físicamente idénticos a los estados dentro de la zona de Brillouin. A los puntos/líneas especiales de alta simetría en la zona de Brillouin se les asignan etiquetas como Γ, Δ, Λ, Σ (ver Fig. 1).

Es difícil visualizar la forma de una banda en función del vector de onda, ya que requeriría una gráfica en un espacio de cuatro dimensiones, E vs. k _x , k _y , k _z . En la literatura científica es común ver gráficos de estructura de bandas _que muestran los valores de En ( k ) para valores de k a lo largo de líneas rectas que conectan puntos de simetría, a menudo denominados Δ, Λ, Σ o [100], [111], y [110] , respectivamente. ^{[4] [5]} Otro método para visualizar la estructura de bandas es trazar una isosuperficie de energía constante en el espacio vectorial de onda, mostrando todos los estados con energía igual a un valor particular. La isosuperficie de estados con energía igual al nivel de Fermi se conoce como superficie de Fermi .

Las bandas prohibidas de energía se pueden clasificar utilizando los vectores de onda de los estados que rodean la banda prohibida:

• Banda prohibida directa : el estado de menor energía por encima de la banda prohibida tiene la misma k que el estado de mayor energía por debajo de la banda prohibida.
• Banda prohibida indirecta : los estados más cercanos por encima y por debajo de la banda prohibida no tienen el mismo valor k .

Asimetría: estructuras de bandas en sólidos no cristalinos

Aunque las estructuras de bandas electrónicas generalmente están asociadas con materiales cristalinos , los sólidos cuasicristalinos y amorfos también pueden exhibir bandas prohibidas. Estos son algo más difíciles de estudiar teóricamente ya que carecen de la simetría simple de un cristal y, por lo general, no es posible determinar una relación de dispersión precisa. Como resultado, prácticamente todo el trabajo teórico existente sobre la estructura de bandas electrónicas de los sólidos se ha centrado en materiales cristalinos.

Densidad de estados

La función de densidad de estados g ( E ) se define como el número de estados electrónicos por unidad de volumen, por unidad de energía, para energías de electrones cercanas a E.

La función de densidad de estados es importante para los cálculos de efectos basados ​​en la teoría de bandas. En la regla de oro de Fermi , un cálculo de la tasa de absorción óptica , proporciona tanto el número de electrones excitables como el número de estados finales de un electrón. Aparece en los cálculos de conductividad eléctrica , donde proporciona el número de estados móviles, y en el cálculo de tasas de dispersión de electrones, donde proporciona el número de estados finales después de la dispersión. ^{[ cita necesaria ]}

Para energías dentro de una banda prohibida, g ( E ) = 0 .

relleno de bandas

Relleno de los estados electrónicos en diversos tipos de materiales en equilibrio . Aquí, la altura es energía, mientras que el ancho es la densidad de estados disponibles para una determinada energía en el material enumerado. La sombra sigue la distribución de Fermi-Dirac ( negro : todos los estados llenos, blanco : ningún estado lleno). En metales y semimetales, el nivel de Fermi E _F se encuentra dentro de al menos una banda.

En aisladores y semiconductores , el nivel de Fermi está dentro de una banda prohibida ; sin embargo, en los semiconductores las bandas están lo suficientemente cerca del nivel de Fermi como para estar pobladas térmicamente con electrones o huecos .

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En el equilibrio termodinámico , la probabilidad de que un estado de energía E se llene con un electrón viene dada por la distribución de Fermi-Dirac , una distribución termodinámica que tiene en cuenta el principio de exclusión de Pauli :

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{{(E-\mu )}/{k_{\text{B}}T}}}}}$$

• k _B T es el producto de la constante de Boltzmann y la temperatura , y
• µ es el potencial químico total de los electrones, o nivel de Fermi (en física de semiconductores , esta cantidad se denomina más a menudo E _F ). El nivel de Fermi de un sólido está directamente relacionado con el voltaje de ese sólido, medido con un voltímetro. Convencionalmente, en los gráficos de estructura de bandas, el nivel de Fermi se considera el cero de energía (una elección arbitraria).

La densidad de electrones en el material es simplemente la integral de la distribución de Fermi-Dirac multiplicada por la densidad de estados:

$${\displaystyle N/V=\int _{-\infty }^{\infty }g(E)f(E)\,dE}$$

Aunque hay un número infinito de bandas y, por tanto, un número infinito de estados, sólo hay un número finito de electrones para colocar en estas bandas. El valor preferido para el número de electrones es una consecuencia de la electrostática: aunque la superficie de un material puede estar cargada, la masa interna de un material prefiere tener carga neutra. La condición de neutralidad de carga significa que N / V debe coincidir con la densidad de protones del material. Para que esto ocurra, el material se ajusta electrostáticamente, cambiando su estructura de bandas hacia arriba o hacia abajo en energía (desplazando así g ( E ) ), hasta que esté en el equilibrio correcto con respecto al nivel de Fermi.

Nombres de bandas cercanas al nivel de Fermi (banda de conducción, banda de valencia)

Un sólido tiene un número infinito de bandas permitidas, así como un átomo tiene infinitos niveles de energía. Sin embargo, la mayoría de las bandas simplemente tienen demasiada energía y, por lo general, se las ignora en circunstancias normales. ^[6] Por el contrario, hay bandas de muy baja energía asociadas con los orbitales del núcleo (como los electrones 1s ). Estas bandas centrales de baja energía tampoco suelen tenerse en cuenta, ya que permanecen llenas de electrones en todo momento y, por tanto, son inertes. ^[7] Asimismo, los materiales tienen varias bandas prohibidas a lo largo de su estructura de bandas.

Las bandas y bandas prohibidas más importantes (aquellas relevantes para la electrónica y la optoelectrónica) son aquellas con energías cercanas al nivel de Fermi. Las bandas y bandas prohibidas cercanas al nivel de Fermi reciben nombres especiales, según el material:

• En un semiconductor o aislador de banda , el nivel de Fermi está rodeado por una banda prohibida, denominada banda prohibida (para distinguirla de las otras bandas prohibidas en la estructura de bandas). La banda más cercana por encima de la banda prohibida se llama banda de conducción , y la banda más cercana por debajo de la banda prohibida se llama banda de valencia . El nombre "banda de valencia" fue acuñado por analogía con la química, ya que en los semiconductores (y aislantes) la banda de valencia está formada por los orbitales de valencia .
• En un metal o semimetal , el nivel de Fermi está dentro de una o más bandas permitidas. En los semimetales, las bandas suelen denominarse "bandas de conducción" o "bandas de valencia", dependiendo de si el transporte de carga es más parecido a un electrón o a un hueco, por analogía con los semiconductores. En muchos metales, sin embargo, las bandas no tienen forma de electrones ni de huecos y, a menudo, se las llama simplemente "bandas de valencia", ya que están formadas por orbitales de valencia. ^[8] Las bandas prohibidas en la estructura de bandas de un metal no son importantes para la física de baja energía, ya que están demasiado lejos del nivel de Fermi.

Teoría en cristales

El ansatz es el caso especial de ondas de electrones en una red cristalina periódica que utiliza el teorema de Bloch tal como se trata generalmente en la teoría dinámica de la difracción . Cada cristal es una estructura periódica que puede caracterizarse por una red de Bravais , y para cada red de Bravais podemos determinar la red recíproca , que encapsula la periodicidad en un conjunto de tres vectores de red recíprocos ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) . Ahora, cualquier potencial periódico V ( r ) que comparta la misma periodicidad que la red directa se puede expandir como una serie de Fourier cuyos únicos componentes que no desaparecen son los asociados con los vectores recíprocos de la red. Entonces la expansión se puede escribir como:

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {K} }{V_{\mathbf {K} }e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}}$$

K = m ₁ b ₁ + m ₂ b ₂ + m ₃ b ₃( m ₁ , m ₂ , m ₃ )

A partir de esta teoría, se puede intentar predecir la estructura de bandas de un material en particular; sin embargo, la mayoría de los métodos ab initio para cálculos de estructuras electrónicas no logran predecir la banda prohibida observada.

Aproximación de electrones casi libres

En la aproximación del electrón casi libre, las interacciones entre electrones se ignoran por completo. Esta aproximación permite el uso del teorema de Bloch , que establece que los electrones en un potencial periódico tienen funciones de onda y energías que son periódicas en el vector de onda hasta un cambio de fase constante entre vectores reticulares recíprocos vecinos . Las consecuencias de la periodicidad se describen matemáticamente mediante el teorema de Bloch, que establece que las funciones de onda de estados propios tienen la forma

$${\displaystyle \Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n}(\mathbf {r} )}$$

${\displaystyle u_{n}(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).}$$

Aquí el índice n se refiere a la n -ésima banda de energía, el vector de onda k está relacionado con la dirección del movimiento del electrón, r es la posición en el cristal y R es la ubicación de un sitio atómico. ^{[9] : 179}

El modelo NFE funciona particularmente bien en materiales como los metales donde las distancias entre átomos vecinos son pequeñas. En tales materiales, la superposición de orbitales atómicos y potenciales de los átomos vecinos es relativamente grande. En ese caso, la función de onda del electrón puede aproximarse mediante una onda plana (modificada). La estructura de bandas de un metal como el aluminio se acerca incluso a la aproximación de la red vacía .

Modelo de encuadernación ajustada.

El extremo opuesto a la aproximación del electrón casi libre supone que los electrones en el cristal se comportan de manera muy similar a un conjunto de átomos constituyentes. Este modelo de unión estrecha supone que la solución de la ecuación de Schrödinger de un solo electrón independiente del tiempo se aproxima bien mediante una combinación lineal de orbitales atómicos . ^{[9] : 245–248} ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ),}$$

nRfunciones de Wannier^{[9] : Ec. 42p. 267  [10]} ${\displaystyle b_{n,\mathbf {R} }}$

$${\displaystyle a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}\int _{\text{BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}u_{n\mathbf {k} };}$$

zona de BrillouinnenésimaRenésima ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }}$

$${\displaystyle \Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).}$$

El modelo TB funciona bien en materiales con superposición limitada entre orbitales atómicos y potenciales de átomos vecinos. Las estructuras de bandas de materiales como Si , GaAs , SiO ₂ y diamante , por ejemplo, están bien descritas por los TB-Hamiltonianos basándose en orbitales atómicos sp ³ . En los metales de transición se utiliza un modelo mixto TB-NFE para describir la amplia banda de conducción NFE y las estrechas bandas d de TB integradas. Las funciones radiales de la parte orbital atómica de las funciones de Wannier se calculan más fácilmente mediante el uso de métodos pseudopotenciales . Los cálculos de estructura de bandas NFE, TB o combinadas NFE-TB, ^[11] a veces ampliados con aproximaciones de funciones de onda basadas en métodos pseudopotenciales, se utilizan a menudo como punto de partida económico para cálculos adicionales.

modelo kkr

El método KKR, también llamado "teoría de dispersión múltiple" o método de funciones de Green, encuentra los valores estacionarios de la matriz de transición inversa T en lugar del hamiltoniano. Korringa , Kohn y Rostocker sugirieron una implementación variante , que a menudo se denomina método Korringa-Kohn-Rostoker . ^{[12] [13]} Las características más importantes de la KKR o formulación de la función de Green son (1) separa los dos aspectos del problema: estructura (posiciones de los átomos) de la dispersión (identidad química de los átomos); y (2) las funciones de Green proporcionan un enfoque natural para una descripción localizada de propiedades electrónicas que pueden adaptarse a aleaciones y otros sistemas desordenados. La forma más simple de esta aproximación centra esferas que no se superponen (denominadas moldes para muffins ) en las posiciones atómicas. Dentro de estas regiones, se estima que el potencial experimentado por un electrón es esféricamente simétrico con respecto al núcleo dado. En la región intersticial restante, el potencial apantallado se aproxima como una constante. Se impone la continuidad del potencial entre las esferas centradas en los átomos y la región intersticial.

Teoría funcional de la densidad

En la literatura física reciente, una gran mayoría de las estructuras electrónicas y diagramas de bandas se calculan utilizando la teoría de densidad funcional (DFT), que no es un modelo sino más bien una teoría, es decir, una teoría microscópica de primeros principios de la física de la materia condensada que intenta para hacer frente al problema de muchos cuerpos electrón-electrón mediante la introducción de un término de correlación de intercambio en la función de la densidad electrónica . En muchos casos, se encuentra que las bandas calculadas por DFT concuerdan con las bandas medidas experimentalmente, por ejemplo mediante espectroscopia de fotoemisión con resolución de ángulo (ARPES). En particular, la forma de la banda suele reproducirse bien mediante DFT. Pero también hay errores sistemáticos en las bandas DFT en comparación con los resultados de los experimentos. En particular, la DFT parece subestimar sistemáticamente en aproximadamente un 30-40% la banda prohibida en aisladores y semiconductores. ^[14]

Comúnmente se cree que la DFT es una teoría para predecir las propiedades del estado fundamental de un sistema únicamente (por ejemplo, la energía total , la estructura atómica , etc.), y que las propiedades del estado excitado no pueden determinarse mediante la DFT. Esta es una idea errónea. En principio, la DFT puede determinar cualquier propiedad (estado fundamental o estado excitado) de un sistema dado un funcional que asigna la densidad del estado fundamental a esa propiedad. Ésta es la esencia del teorema de Hohenberg-Kohn. ^[15] En la práctica, sin embargo, no existe ninguna función conocida que asigne la densidad del estado fundamental a las energías de excitación de los electrones dentro de un material. Por lo tanto, lo que en la literatura se cita como un gráfico de bandas DFT es una representación de las energías Kohn-Sham de DFT , es decir, las energías de un sistema ficticio que no interactúa, el sistema Kohn-Sham, que no tiene interpretación física alguna. La estructura electrónica de Kohn-Sham no debe confundirse con la estructura electrónica real de cuasipartículas de un sistema, y ​​no existe ningún teorema de Koopmans válido para las energías de Kohn-Sham, como ocurre con las energías de Hartree-Fock, que pueden considerarse verdaderamente como una aproximación a las energías de cuasipartículas. Por lo tanto, en principio, la DFT basada en Kohn-Sham no es una teoría de bandas, es decir, no es una teoría adecuada para calcular bandas y gráficos de bandas. En principio , se puede utilizar DFT dependiente del tiempo para calcular la estructura de banda real, aunque en la práctica esto suele resultar difícil. Un enfoque popular es el uso de funcionales híbridos , que incorporan una parte del intercambio exacto Hartree-Fock; esto produce una mejora sustancial en las bandas prohibidas previstas para los semiconductores, pero es menos confiable para metales y materiales de banda prohibida ancha. ^[dieciséis]

Métodos de la función de Green y la aproximación ab initio GW

Para calcular las bandas, incluidos los efectos de muchos cuerpos de la interacción electrón-electrón , se puede recurrir a los métodos llamados de la función de Green . De hecho, el conocimiento de la función de Green de un sistema proporciona observables tanto del estado fundamental (la energía total) como del estado excitado del sistema. Los polos de la función de Green son las energías de las cuasipartículas, las bandas de un sólido. La función de Green se puede calcular resolviendo la ecuación de Dyson una vez que se conoce la autoenergía del sistema. Para sistemas reales como los sólidos, la autoenergía es una cantidad muy compleja y normalmente se necesitan aproximaciones para resolver el problema. Una de esas aproximaciones es la aproximación GW , llamada así por la forma matemática que toma la autoenergía como el producto Σ = GW de la función G de Green y la interacción W filtrada dinámicamente . Este enfoque es más pertinente cuando se aborda el cálculo de gráficas de bandas (y también de cantidades más allá, como la función espectral) y también se puede formular de una manera completamente ab initio . La aproximación GW parece proporcionar bandas prohibidas de aisladores y semiconductores de acuerdo con el experimento y, por lo tanto, corregir la subestimación sistemática de DFT.

Teoría dinámica del campo medio

Aunque la aproximación del electrón casi libre es capaz de describir muchas propiedades de las estructuras de bandas de electrones, una consecuencia de esta teoría es que predice el mismo número de electrones en cada celda unitaria. Si el número de electrones es impar, entonces esperaríamos que haya un electrón desapareado en cada celda unitaria y, por lo tanto, que la banda de valencia no esté completamente ocupada, lo que convierte al material en un conductor. Sin embargo, materiales como el CoO que tienen un número impar de electrones por unidad de celda son aislantes, lo que está en conflicto directo con este resultado. Este tipo de material se conoce como aislante de Mott y requiere la inclusión de interacciones detalladas electrón-electrón (tratadas sólo como un efecto promediado sobre el potencial del cristal en la teoría de bandas) para explicar la discrepancia. El modelo de Hubbard es una teoría aproximada que puede incluir estas interacciones. Puede tratarse de forma no perturbativa dentro de la llamada teoría dinámica del campo medio , que intenta cerrar la brecha entre la aproximación del electrón casi libre y el límite atómico. Sin embargo, formalmente los estados no interactúan en este caso y el concepto de estructura de bandas no es adecuado para describir estos casos.

Otros

El cálculo de estructuras de bandas es un tema importante en la física teórica del estado sólido . Además de los modelos mencionados anteriormente, otros modelos incluyen los siguientes:

• Aproximación de red vacía : la "estructura de banda" de una región del espacio libre que se ha dividido en una red.
• La teoría de perturbaciones k·p es una técnica que permite describir aproximadamente una estructura de bandas en términos de unos pocos parámetros. La técnica se usa comúnmente para semiconductores y los parámetros del modelo a menudo se determinan mediante experimentos.
• El modelo de Kronig-Penney , un modelo de pozo rectangular unidimensional útil para ilustrar la formación de bandas. Si bien es simple, predice muchos fenómenos importantes, pero no es cuantitativo.
• modelo hubbard

La estructura de bandas se ha generalizado a vectores de onda que son números complejos , dando como resultado lo que se llama una estructura de bandas compleja , que es de interés en superficies e interfaces.

Cada modelo describe muy bien algunos tipos de sólidos y otros mal. El modelo de electrones casi libres funciona bien para los metales, pero mal para los no metales. El modelo de unión estrecha es extremadamente preciso para aisladores iónicos, como las sales de haluros metálicos (por ejemplo, NaCl ).

Diagramas de bandas

Para comprender cómo cambia la estructura de bandas en relación con el nivel de Fermi en el espacio real, a menudo se simplifica primero un gráfico de estructura de bandas en forma de diagrama de bandas . En un diagrama de bandas, el eje vertical es la energía mientras que el eje horizontal representa el espacio real. Las líneas horizontales representan niveles de energía, mientras que los bloques representan bandas de energía. Cuando las líneas horizontales en este diagrama están inclinadas, la energía del nivel o banda cambia con la distancia. Diagramáticamente, esto representa la presencia de un campo eléctrico dentro del sistema cristalino. Los diagramas de bandas son útiles para relacionar las propiedades generales de la estructura de bandas de diferentes materiales entre sí cuando se ponen en contacto entre sí.

Ver también

• Ingeniería de banda prohibida : el proceso de alterar la estructura de bandas de un material.
• Felix Bloch , pionero de la teoría de la estructura de bandas.
• Alan Herries Wilson , pionero en la teoría de la estructura de bandas.

Referencias

1. Simón, Steven H. (2013). Los conceptos básicos del estado sólido de Oxford. Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-150210-1.
2. Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Física moderna de la materia condensada . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-13739-4.
3. Holgate, Sharon Ann (2009). Comprensión de la física del estado sólido. Prensa CRC. págs. 177-178. ISBN 978-1-4200-1232-3.
4. "Archivo NSM - Arseniuro de galio y aluminio (AlGaAs) - Estructura de banda y concentración de portador". www.ioffe.ru .
5. "Estructura de banda electrónica" (PDF) . www.springer.com . Saltador. pag. 24 . Consultado el 10 de noviembre de 2016 .
6. Las bandas de alta energía son importantes para la física de difracción de electrones , donde los electrones se pueden inyectar en un material a altas energías, ver Stern, R.; Perry, J.; Boudreaux, D. (1969). "Superficies de dispersión de difracción de electrones de baja energía y estructura de bandas en reflexiones tridimensionales mixtas de Laue y Bragg". Reseñas de Física Moderna . 41 (2): 275. Código bibliográfico : 1969RvMP...41..275S. doi :10.1103/RevModPhys.41.275..
7. Sin embargo, las bandas de baja energía son importantes en el efecto Auger .
8. En el cobre, por ejemplo, la masa efectiva es un tensor y también cambia de signo dependiendo del vector de onda, como se puede observar en el efecto De Haas-Van Alphen ; ver https://www.phys.ufl.edu/fermisurface/
9. Charles Kittel (1996). Introducción a la Física del Estado Sólido (Séptima ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-11181-8.
10. Daniel Charles Mattis (1994). El problema de muchos cuerpos: enciclopedia de modelos exactamente resueltos en una dimensión. Científico mundial. pag. 340.ISBN​ 978-981-02-1476-0.
11. Walter Ashley Harrison (1989). Estructura electrónica y propiedades de los sólidos. Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66021-9.
12. Joginder Singh Galsin (2001). Dispersión de impurezas en aleaciones metálicas. Saltador. Apéndice C. ISBN 978-0-306-46574-1.
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Otras lecturas

• Ashcroft, Neil y N. David Mermin, Física del estado sólido , ISBN 0-03-083993-9 
• Harrison, Walter A., ​​Estructura electrónica elemental , ISBN 981-238-708-0 
• Harrison, Walter A.; WA Benjamin Pseudopotenciales en la teoría de los metales , (Nueva York) 1966
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