Aproximación de red vacía

Modelo teórico de estructura de banda electrónica en el que el potencial es periódico y débil

La aproximación de red vacía es un modelo teórico de estructura de banda electrónica en el que el potencial es periódico y débil (casi constante). También se puede considerar una red irregular vacía ^{[ aclaración necesaria ]} , en la que el potencial ni siquiera es periódico. ^{[1] La aproximación de red vacía describe una serie de propiedades de las relaciones de dispersión de energía de} electrones libres que no interactúan y se mueven a través de una red cristalina . La energía de los electrones en la "red vacía" es la misma que la energía de los electrones libres. El modelo es útil porque ilustra claramente una serie de características a veces muy complejas de las relaciones de dispersión de energía en sólidos que son fundamentales para todas las estructuras de banda electrónica.

Dispersión y periodicidad

Bandas de electrones libres en una red unidimensional

El potencial periódico de la red en este modelo de electrones libres debe ser débil porque de lo contrario los electrones no serían libres. La fuerza de la dispersión depende principalmente de la geometría y la topología del sistema. Los parámetros definidos topológicamente, como las secciones eficaces de dispersión , dependen de la magnitud del potencial y del tamaño del pozo de potencial . Para espacios unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, los pozos de potencial siempre dispersan ondas, sin importar cuán pequeños sean sus potenciales, cuáles sean sus signos o cuán limitados sean sus tamaños. Para una partícula en una red unidimensional, como el modelo de Kronig-Penney , es posible calcular la estructura de banda analíticamente sustituyendo los valores del potencial, el espaciado de la red y el tamaño del pozo de potencial. ^[2] Para problemas bidimensionales y tridimensionales es más difícil calcular una estructura de banda basada en un modelo similar con unos pocos parámetros con precisión. Sin embargo, las propiedades de la estructura de banda se pueden aproximar fácilmente en la mayoría de las regiones mediante métodos de perturbación .

En teoría, la red es infinitamente grande, por lo que un potencial de dispersión periódico débil eventualmente será lo suficientemente fuerte como para reflejar la onda. El proceso de dispersión da como resultado las conocidas reflexiones de Bragg de los electrones por el potencial periódico de la estructura cristalina . Este es el origen de la periodicidad de la relación de dispersión y la división del espacio k en zonas de Brillouin. La relación de dispersión de energía periódica se expresa como:

${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m}}}$

Son los vectores reticulares recíprocos a los que pertenecen las bandas ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$

La figura de la derecha muestra la relación de dispersión para tres períodos en el espacio recíproco de una red unidimensional con celdas reticulares de longitud a .

Las bandas de energía y la densidad de estados

En una red unidimensional, el número de vectores recíprocos de red que determinan las bandas en un intervalo de energía está limitado a dos cuando la energía aumenta. En redes bidimensionales y tridimensionales, el número de vectores recíprocos de red que determinan las bandas de electrones libres aumenta más rápidamente cuando la longitud del vector de onda aumenta y la energía aumenta. Esto se debe a que el número de vectores recíprocos de red que se encuentran en un intervalo aumenta. La densidad de estados en un intervalo de energía depende del número de estados en un intervalo en el espacio recíproco y de la pendiente de la relación de dispersión . ${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$ ${\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]}$ ${\displaystyle [E,E+dE]}$ ${\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]}$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$

Figura 3: DOS de electrones libres en el espacio k tridimensional

Aunque las celdas reticulares no son esféricamente simétricas, la relación de dispersión aún tiene simetría esférica desde el punto de vista de un punto central fijo en una celda reticular recíproca si la relación de dispersión se extiende fuera de la zona central de Brillouin. La densidad de estados en una red tridimensional será la misma que en el caso de la ausencia de una red. Para el caso tridimensional la densidad de estados es: ${\displaystyle D_{3}\left(E\right)}$

${\displaystyle D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .}$

En el espacio tridimensional, los límites de la zona de Brillouin son planos. Las relaciones de dispersión muestran cónicas de las parábolas de dispersión de energía de electrones libres para todos los vectores reticulares recíprocos posibles. Esto da como resultado un conjunto muy complicado de intersecciones de curvas cuando se calculan las relaciones de dispersión porque existe una gran cantidad de ángulos posibles entre las trayectorias de evaluación, los límites de la zona de Brillouin de primer orden y de orden superior y los conos de intersección de las parábolas de dispersión.

Segunda, tercera y zonas superiores de Brillouin

Zona Brillouin de la FCC

Los "electrones libres" que se desplazan a través de la red de un sólido con vectores de onda muy alejados de la primera zona de Brillouin se reflejan de nuevo en la primera zona de Brillouin. Consulte la sección de enlaces externos para ver sitios con ejemplos y figuras. ${\displaystyle \mathbf {k} }$

El modelo del electrón casi libre

En la mayoría de los metales simples , como el aluminio , el efecto de apantallamiento reduce fuertemente el campo eléctrico de los iones en el sólido. El potencial electrostático se expresa como

${\displaystyle V(r)={\frac {Ze}{r}}e^{-qr}}$

donde Z es el número atómico , e es la unidad de carga elemental, r es la distancia al núcleo del ion incrustado y q es un parámetro de detección que determina el rango del potencial. La transformada de Fourier , , del potencial reticular, , se expresa como ${\displaystyle U_{\mathbf {G} }}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle U_{\mathbf {G} }={\frac {4\pi Ze}{q^{2}+G^{2}}}}$

Cuando los valores de los elementos fuera de la diagonal entre los vectores reticulares recíprocos en el hamiltoniano se acercan a cero, la magnitud de la brecha de banda colapsa y se obtiene la aproximación de red vacía. ${\displaystyle U_{\mathbf {G} }}$ ${\displaystyle 2|U_{\mathbf {G} }|}$

Las bandas electrónicas de los cristales metálicos comunes

Salvo algunas excepciones exóticas, los metales cristalizan en tres tipos de estructuras cristalinas: las estructuras cristalinas cúbicas BCC y FCC y la estructura cristalina compacta hexagonal HCP .

• 
  Cúbica centrada en el cuerpo (I)
• 
  Cúbica centrada en las caras (F)
• 
  Hexagonal compacto

Referencias

1. Apuntes de la clase de física. P. Dirac, Feynman, R., 1968. Internet, Amazon, 25.03.2014.
2. C. Kittel (1953–1976). Introducción a la física del estado sólido . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.

Enlaces externos

• Diagramas de red simples de la zona de Brillouin por Thayer Watkins Archivado el 14 de septiembre de 2006 en Wayback Machine
• Diagramas de red tridimensionales de la zona de Brillouin de Technion. Archivado el 5 de diciembre de 2006 en Wayback Machine.
• Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS: “Zonas Brillouin”