Esquema de axioma de reemplazo

Concepto en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos , el esquema de axioma de reemplazo es un esquema de axiomas en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) que afirma que la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier mapeo definible también es un conjunto. Es necesario para la construcción de ciertos conjuntos infinitos en ZF.

El esquema del axioma está motivado por la idea de que el hecho de que una clase sea un conjunto depende sólo de la cardinalidad de la clase, no del rango de sus elementos. Por tanto, si una clase es "suficientemente pequeña" para ser un conjunto y hay una sobreyección de esa clase a una segunda clase, el axioma establece que la segunda clase también es un conjunto. Sin embargo, debido a que ZFC solo habla de conjuntos, no de clases propias, el esquema se establece solo para sobreyecciones definibles, que se identifican con sus fórmulas definitorias .

Declaración

Esquema axioma de reemplazo: la imagen del dominio establecido bajo la función de clase definible es en sí misma un conjunto . ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

Supongamos que hay una relación binaria definible (que puede ser una clase adecuada ) tal que para cada conjunto hay un conjunto único que se cumple. Hay una función definible correspondiente , donde si y sólo si . Considere la clase (posiblemente adecuada) definida de manera que para cada conjunto , si y solo si hay un with . se llama imagen de under y se denota o (usando la notación de constructor de conjuntos ) . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle F_{P}}$ ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in B}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{P}}$ ${\displaystyle F_{P}[A]}$ ${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$

El esquema axioma de reemplazo establece que si es una función de clase definible, como arriba, y es cualquier conjunto, entonces la imagen también es un conjunto. Esto puede verse como un principio de pequeñez: el axioma establece que si es lo suficientemente pequeño para ser un conjunto, entonces también es lo suficientemente pequeño para ser un conjunto. Está implícito en el axioma más fuerte de limitación de tamaño . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F[A]}$

Debido a que es imposible cuantificar funciones sobredefinibles en lógica de primer orden, se incluye una instancia del esquema para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos con variables libres entre ; pero no es gratuito en . En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema axioma es: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

Para conocer el significado de , consulte cuantificación de unicidad . ${\displaystyle \exists !}$

Para mayor claridad, en el caso de que no haya variables , esto se simplifica a: ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

Entonces, siempre que se especifique una correspondencia única , similar a una función en , todo lo alcanzado de esta manera se puede recopilar en un conjunto , similar a . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F[A]}$

Aplicaciones

El esquema axiomático de sustitución no es necesario para las demostraciones de la mayoría de los teoremas de la matemática ordinaria. De hecho, la teoría de conjuntos de Zermelo (Z) ya puede interpretar la aritmética de segundo orden y gran parte de la teoría de tipos en tipos finitos, que a su vez son suficientes para formalizar la mayor parte de las matemáticas. Aunque el esquema axiomático de reemplazo es un axioma estándar en la teoría de conjuntos actual, a menudo se omite en los sistemas de teoría de tipos y en los sistemas fundacionales de la teoría de topos .

En cualquier caso, el esquema axiomático aumenta drásticamente la fuerza de ZF, tanto en términos de los teoremas que puede demostrar (por ejemplo, los conjuntos que se ha demostrado que existen) como también en términos de su fuerza de consistencia demostrable teórica , en comparación con Z. Algunos aspectos importantes A continuación se muestran ejemplos:

• Utilizando la definición moderna debida a von Neumann , demostrar la existencia de cualquier ordinal límite mayor que ω requiere el axioma de sustitución. El número ordinal ω·2 = ω + ω es el primer ordinal de este tipo. El axioma del infinito afirma la existencia de un conjunto infinito ω = {0, 1, 2,...}. Se puede esperar definir ω·2 como la unión de la secuencia {ω, ω + 1, ω + 2,...}. Sin embargo, estas clases arbitrarias de ordinales no tienen por qué ser conjuntos; por ejemplo, la clase de todos los ordinales no es un conjunto. El reemplazo ahora permite reemplazar cada número finito n en ω con el correspondiente ω + n , y así garantiza que esta clase es un conjunto. Como aclaración, tenga en cuenta que se puede construir fácilmente un conjunto bien ordenado que sea isomorfo a ω·2 sin recurrir al reemplazo (simplemente tome la unión disjunta de dos copias de ω, con la segunda copia mayor que la primera), pero que esto no es un ordinal ya que no está totalmente ordenado por inclusión.
• Los ordinales más grandes dependen menos directamente del reemplazo. Por ejemplo, ω ₁ , el primer ordinal incontable , se puede construir de la siguiente manera: el conjunto de órdenes de pozos contables existe como un subconjunto de por separación y conjunto de potencias (una relación en A es un subconjunto de y, por lo tanto, un elemento del conjunto de potencias . Un conjunto de relaciones es, por tanto, un subconjunto de )). Reemplace cada conjunto bien ordenado con su ordinal. Este es el conjunto de ordinales contables ω ₁ , que a su vez puede demostrarse que es incontable. La construcción utiliza reemplazo dos veces; una vez para asegurar una asignación ordinal para cada conjunto bien ordenado y otra vez para reemplazar conjuntos bien ordenados por sus ordinales. Éste es un caso especial del resultado del número de Hartog y el caso general puede demostrarse de manera similar. ${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle P(A\times A)}$ ${\displaystyle P(A\times A)}$
• A la luz de lo anterior, la existencia de una asignación de un ordinal a todo conjunto bien ordenado también requiere reemplazo. De manera similar, la asignación cardinal de von Neumann que asigna un número cardinal a cada conjunto requiere reemplazo, así como un axioma de elección .
• Para conjuntos de tuplas definidos recursivamente como y para grande , el conjunto tiene un rango demasiado alto para que su existencia pueda demostrarse a partir de la teoría de conjuntos con solo el axioma de conjunto de poder, elección y sin reemplazo. ${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$
• De manera similar, Harvey Friedman demostró que se requiere reemplazo para demostrar que los juegos de Borel están determinados . El resultado probado es el teorema de determinación de Borel de Donald A. Martin .
• ZF con reemplazo demuestra la consistencia de Z, ya que el conjunto V _ω·2 es un modelo de Z cuya existencia se puede probar en ZF. El número cardinal es el primero que se puede demostrar que existe en ZF pero no en Z. Para aclarar, tenga en cuenta que el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que cada una de estas teorías contiene una oración que "expresa" la propia consistencia de la teoría, que no es demostrable. en esa teoría, si esa teoría es consistente; este resultado a menudo se expresa vagamente como la afirmación de que ninguna de estas teorías puede probar su propia consistencia, si es consistente. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Relación con otros esquemas de axiomas

Simplificaciones

Se pueden hacer algunas simplificaciones al esquema del axioma de reemplazo para obtener diferentes versiones equivalentes. Azriel Lévy demostró que una versión de sustitución sin parámetros, es decir, el siguiente esquema, es equivalente a la forma original. En particular, la equivalencia se cumple en presencia de los axiomas de extensionalidad, emparejamiento, unión y conjunto de poderes. ^[1]

${\displaystyle \forall A\,([\forall x\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])}$

Recopilación

Esquema axioma de colección: la imagen del dominio establecido bajo la función de clase definible cae dentro de un conjunto . ${\displaystyle f[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

El esquema axiomático de colección está estrechamente relacionado y frecuentemente se confunde con el esquema axiomático de reemplazo. Sobre el resto de los axiomas de ZF, es equivalente al esquema de axioma de reemplazo. El axioma de colección es más fuerte que el reemplazo en ausencia del axioma del conjunto de potencias ^[2] o su contraparte constructiva de ZF, pero más débil en el marco de IZF, que carece de la ley del tercero excluido .

Si bien se puede leer que el reemplazo dice que la imagen de una función es un conjunto, la colección habla de imágenes de relaciones y luego simplemente dice que alguna superclase de la imagen de la relación es un conjunto. En otras palabras, el conjunto resultante no tiene ningún requisito de minimidad, es decir, esta variante también carece del requisito de unicidad . Es decir, no es necesario que la relación definida por sea una función; algunas pueden corresponder a muchas en . En este caso, el conjunto de imágenes cuya existencia se afirma debe contener al menos una para cada una del conjunto original, sin garantía de que contenga solo una. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Supongamos que las variables libres de están entre ; pero ni ni está libre en . Entonces el esquema del axioma es: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists \,y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}))\Rightarrow \forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

El esquema del axioma a veces se enuncia sin restricciones previas (aparte de no aparecer libre en ) en el predicado : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

En este caso, puede haber elementos que no estén asociados a ningún otro conjunto por . Sin embargo, el esquema del axioma como se indica requiere que, si un elemento de está asociado con al menos un conjunto , entonces el conjunto de imágenes contendrá al menos uno de esos . El esquema axiomático resultante también se denomina esquema axiomático de acotación . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$

Separación

El esquema de axioma de separación , el otro esquema de axioma en ZFC, está implícito en el esquema de axioma de reemplazo y el axioma de conjunto vacío . Recuerde que el esquema axioma de separación incluye

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}$

para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos en la que no es libre, es decir, que no menciona . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$

La prueba es la siguiente: o contiene algún elemento validating o no. En el último caso, tomar el conjunto vacío cumple la instancia relevante del esquema axioma de separación y listo. De lo contrario, elija un fijo que valide . Ahora defina para usar con reemplazo. Usando notación de función para este predicado , actúa como identidad donde sea verdadero y como función constante donde sea falso. Mediante análisis de casos, los valores posibles son únicos para any , lo que significa que de hecho constituye una función de clase. A su vez, se concede que la imagen de under , es decir, la clase , es un conjunto mediante el axioma de reemplazo. Esto precisamente valida el axioma de la separación. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle \phi (x,y):=(\theta (x)\land y=x)\lor (\neg \theta (x)\land y=a)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F_{a}(x)=x}$ ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle F_{a}(x)=a}$ ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle B:=\{F_{a}(x):x\in A\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle A\cap \{x:\theta (x)\}}$ ${\displaystyle B}$

Este resultado muestra que es posible axiomatizar ZFC con un único esquema de axioma infinito. Debido a que se requiere al menos uno de esos esquemas infinitos (ZFC no es finitamente axiomatizable), esto muestra que el esquema de axioma de reemplazo puede ser el único esquema de axioma infinito en ZFC si se desea. Debido a que el esquema axiomático de separación no es independiente, a veces se omite en los enunciados contemporáneos de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Sin embargo, la separación sigue siendo importante para su uso en fragmentos de ZFC, debido a consideraciones históricas y para comparación con axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos. Una formulación de la teoría de conjuntos que no incluya el axioma de reemplazo probablemente incluirá alguna forma del axioma de separación, para asegurar que sus modelos contengan una colección de conjuntos suficientemente rica. En el estudio de modelos de teoría de conjuntos, a veces resulta útil considerar modelos de ZFC sin reemplazo, como los modelos de la jerarquía de von Neumann. ${\displaystyle V_{\delta }}$

La prueba dada anteriormente asume la ley del tercero excluido para la proposición que está habitada por un conjunto que valida , y para cualquiera cuando se estipula que la relación es funcional. El axioma de separación está incluido explícitamente en la teoría constructiva de conjuntos , o una variante acotada de la misma . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle \phi }$

Reflexión

El principio de reflexión de Lévy para ZFC es equivalente al axioma de reemplazo, asumiendo el axioma de infinito. El principio de Lévy es el siguiente: ^[3]

Para cualquier fórmula de primer orden , existe tal que . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\iff \phi ^{V_{\alpha }}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Este es un esquema que consta de un número contable de declaraciones, una para cada fórmula . Aquí, significa con todos los cuantificadores limitados a , es decir, pero con cada instancia de y reemplazada por y respectivamente. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \exists x}$ ${\displaystyle \forall x}$ ${\displaystyle \exists (x\in V_{\alpha })}$ ${\displaystyle \forall (x\in V_{\alpha })}$

Historia

El esquema axiomático de sustitución no formaba parte de la axiomatización de la teoría de conjuntos ( Z ) de Ernst Zermelo en 1908. Existía alguna aproximación informal a él en las obras inéditas de Cantor , y apareció nuevamente de manera informal en Mirimanoff (1917). ^[4]

Abraham Fraenkel, entre 1939 y 1949

Thoralf Skolem, en los años 30

Su publicación por Abraham Fraenkel en 1922 es lo que hace que la teoría de conjuntos moderna sea la teoría de conjuntos de Zermelo- Fraenkel ( ZFC ). El axioma fue descubierto y anunciado de forma independiente por Thoralf Skolem más tarde ese mismo año (y publicado en 1923). El propio Zermelo incorporó el axioma de Fraenkel en su sistema revisado que publicó en 1930, que también incluía como nuevo axioma el axioma de fundación de von Neumann . ^[5] Aunque es la versión de primer orden de Skolem de la lista de axiomas que usamos hoy, ^[6] generalmente no recibe crédito ya que cada axioma individual fue desarrollado anteriormente por Zermelo o Fraenkel. La frase “teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel” fue utilizada por primera vez en forma impresa por von Neumann en 1928. ^[7]

Zermelo y Fraenkel habían mantenido una intensa correspondencia en 1921; el axioma de reemplazo fue un tema importante de este intercambio. ^[6] Fraenkel inició correspondencia con Zermelo en algún momento de marzo de 1921. Sin embargo, sus cartas anteriores a la del 6 de mayo de 1921 se han perdido. Zermelo admitió por primera vez una brecha en su sistema en una respuesta a Fraenkel fechada el 9 de mayo de 1921. El 10 de julio de 1921, Fraenkel completó y presentó para publicación un artículo (publicado en 1922) que describía su axioma como permitiendo reemplazos arbitrarios: "Si M es un conjunto y cada elemento de M es reemplazado por [un conjunto o un elemento] entonces M se convierte nuevamente en un conjunto" (completación entre paréntesis y traducción de Ebbinghaus). La publicación de Fraenkel de 1922 agradeció a Zermelo por sus útiles argumentos. Antes de esta publicación, Fraenkel anunció públicamente su nuevo axioma en una reunión de la Sociedad Matemática Alemana celebrada en Jena el 22 de septiembre de 1921. Zermelo estuvo presente en esta reunión; En el debate que siguió a la intervención de Fraenkel, aceptó en términos generales el axioma de la sustitución, pero expresó reservas en cuanto a su alcance. ^[6]

Thoralf Skolem hizo público su descubrimiento de la brecha en el sistema de Zermelo (la misma brecha que había encontrado Fraenkel) en una charla que pronunció el 6 de julio de 1922 en el V Congreso de Matemáticos Escandinavos, que se celebró en Helsinki ; Las actas de este congreso se publicaron en 1923. Skolem presentó una resolución en términos de reemplazos definibles de primer orden: "Sea U una proposición definida que se cumple para ciertos pares ( a , b ) en el dominio B ; supongamos además que para cada a existe como máximo un b tal que U es verdadero. Entonces, como a abarca los elementos de un conjunto M _a , b abarca todos los elementos de un conjunto M _b . Ese mismo año, Fraenkel escribió una reseña del artículo de Skolem, en la que Fraenkel simplemente afirmaba que las consideraciones de Skolem corresponden a las suyas. ^[6]

El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem del esquema axiomático de reemplazo. ^[6] En un momento dado llamó al enfoque de Skolem “teoría de conjuntos de los empobrecidos”. Zermelo imaginó un sistema que permitiría cardenales grandes . ^[8] También se opuso firmemente a las implicaciones filosóficas de los modelos contables de la teoría de conjuntos , que se derivaban de la axiomatización de primer orden de Skolem. ^[7] Según la biografía de Zermelo escrita por Heinz-Dieter Ebbinghaus , la desaprobación de Zermelo del enfoque de Skolem marcó el final de la influencia de Zermelo en los desarrollos de la teoría y la lógica de conjuntos. ^[6]

Referencias

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: una aproximación a su vida y obra , Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6.
• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Teoría de conjuntos ingenua , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier, ISBN 0-444-86839-9.

Citas

1. A. Kanamori, "Elogio del reemplazo", págs. 74-75. Boletín de Lógica Simbólica vol. 18, núm. 1 (2012). Consultado el 22 de agosto de 2023.
2. Gitman, Victoria; Joel David Hamkins; Johnstone, Thomas A. (2011). "¿Cuál es la teoría ZFC sin conjunto de potencia?". arXiv : 1110.2430 [matemáticas.LO].
3. A. Kanamori, "Elogio del reemplazo", p.73. Boletín de Lógica Simbólica vol. 18, núm. 1 (2012). Consultado el 22 de agosto de 2023.
4. Maddy, Penélope (1988), "Creer en los axiomas. I", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520, JSTOR  2274520, MR  0947855, Los primeros indicios del axioma de reemplazo pueden se encuentra en la carta de Cantor a Dedekind [1899] y en Mirimanoff [1917]. Maddy cita dos artículos de Mirimanoff, "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" y "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", ambos en L'Enseignement Mathématique (1917). .
5. Ebbinghaus, pag. 92.
6. Ebbinghaus, págs. 135-138.
7. Ebbinghaus, pág. 189.
8. Ebbinghaus, pag. 184.