Esquema axiomático de reemplazo

Concepto en la teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos , el esquema axiomático de reemplazo es un esquema de axiomas en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) que afirma que la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier aplicación definible también es un conjunto. Es necesario para la construcción de ciertos conjuntos infinitos en ZF.

El esquema axiomático está motivado por la idea de que si una clase es un conjunto depende únicamente de la cardinalidad de la clase, no del rango de sus elementos. Por lo tanto, si una clase es "lo suficientemente pequeña" para ser un conjunto, y hay una sobreyección de esa clase a una segunda clase, el axioma establece que la segunda clase también es un conjunto. Sin embargo, debido a que ZFC solo habla de conjuntos, no de clases propias, el esquema se establece solo para sobreyecciones definibles, que se identifican con sus fórmulas definitorias .

Declaración

Esquema axiomático de reemplazo: la imagen del conjunto de dominio bajo la función de clase definible es en sí misma un conjunto, . ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$

Supóngase que es una relación binaria definible (que puede ser una clase propia ) tal que para cada conjuntoexiste un único conjuntotal quese cumple. Existe una función definible correspondiente, donde si y solo si . Considérese la clase (posiblemente propia)definida de modo que para cada conjunto,si y solo si hay uncon.se denomina imagen debajo, y se denotao (usando la notación de generador de conjuntos ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle F_{P}}$ ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in B}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{P}}$ ${\displaystyle F_{P}[A]}$ ${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$

El esquema axiomático de reemplazo establece que si es una función de clase definible, como se indicó anteriormente, y es un conjunto cualquiera, entonces la imagen también es un conjunto. Esto puede verse como un principio de pequeñez: el axioma establece que si es lo suficientemente pequeño como para ser un conjunto, entonces también es lo suficientemente pequeño como para ser un conjunto. Esto está implícito en el axioma más fuerte de limitación de tamaño . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F[A]}$

Como es imposible cuantificar sobre funciones definibles en lógica de primer orden, se incluye una instancia del esquema para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos con variables libres entre ; pero no es libre en . En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema axiomático es: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

Para el significado de , véase cuantificación de unicidad . ${\displaystyle \exists !}$

Para mayor claridad, en el caso de que no haya variables , esto se simplifica a: ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

Por lo tanto, siempre que se especifica una correspondencia única, similar a una función en , entonces todo lo alcanzado de esta manera se puede recopilar en un conjunto , similar a . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F[A]}$

Aplicaciones

El esquema axiomático de reemplazo no es necesario para las demostraciones de la mayoría de los teoremas de las matemáticas ordinarias. De hecho, la teoría de conjuntos de Zermelo (Z) ya puede interpretar la aritmética de segundo orden y gran parte de la teoría de tipos en tipos finitos, que a su vez son suficientes para formalizar la mayor parte de las matemáticas. Aunque el esquema axiomático de reemplazo es un axioma estándar en la teoría de conjuntos actual, a menudo se omite en los sistemas de teoría de tipos y en los sistemas de base en la teoría de topos .

En cualquier caso, el esquema axiomático aumenta drásticamente la fuerza de ZF, tanto en términos de los teoremas que puede probar (por ejemplo, los conjuntos cuya existencia se ha demostrado) como en términos de su consistencia teórica de prueba , en comparación con Z. A continuación se presentan algunos ejemplos importantes:

• Usando la definición moderna de von Neumann , probar la existencia de cualquier ordinal límite mayor que ω requiere el axioma de reemplazo. El número ordinal ω·2 = ω + ω es el primero de tales ordinales. El axioma de infinito afirma la existencia de un conjunto infinito ω = {0, 1, 2, ...}. Uno puede esperar definir ω·2 como la unión de la secuencia {ω, ω + 1, ω + 2, ...}. Sin embargo, arbitrarias clases de ordinales de este tipo no necesitan ser conjuntos - por ejemplo, la clase de todos los ordinales no es un conjunto. El reemplazo ahora permite reemplazar cada número finito n en ω con el correspondiente ω + n , y así garantiza que esta clase es un conjunto. Como aclaración, tenga en cuenta que uno puede construir fácilmente un conjunto bien ordenado que sea isomorfo a ω·2 sin recurrir al reemplazo –simplemente tome la unión disjunta de dos copias de ω, con la segunda copia mayor que la primera–, pero que esto no es un ordinal ya que no está totalmente ordenado por inclusión.
• Los ordinales más grandes dependen del reemplazo de forma menos directa. Por ejemplo, ω ₁ , el primer ordinal incontable , se puede construir de la siguiente manera: el conjunto de los bien ordenados contables existe como un subconjunto de por separación y conjunto potencia (una relación en A es un subconjunto de , y por lo tanto un elemento del conjunto potencia . Un conjunto de relaciones es, por lo tanto, un subconjunto de ). Reemplace cada conjunto bien ordenado con su ordinal. Este es el conjunto de ordinales contables ω ₁ , que se puede demostrar que es incontable. La construcción utiliza el reemplazo dos veces; una para asegurar una asignación ordinal para cada conjunto bien ordenado y otra para reemplazar conjuntos bien ordenados por sus ordinales. Este es un caso especial del resultado del número de Hartogs , y el caso general se puede demostrar de manera similar. ${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle P(A\times A)}$ ${\displaystyle P(A\times A)}$
• A la luz de lo anterior, la existencia de una asignación de un ordinal a cada conjunto bien ordenado también requiere reemplazo. De manera similar, la asignación cardinal de von Neumann que asigna un número cardinal a cada conjunto requiere reemplazo, así como el axioma de elección .
• Para conjuntos de tuplas definidas recursivamente como y para α grande , el conjunto tiene un rango demasiado alto para que su existencia pueda demostrarse a partir de la teoría de conjuntos con solo el axioma del conjunto potencia, elección y sin reemplazo. ${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$
• De manera similar, Harvey Friedman demostró que se requieren al menos algunas instancias de reemplazo para demostrar que los juegos de Borel están determinados . El resultado demostrado es el teorema de determinación de Borel de Donald A. Martin . Un análisis posterior y más cuidadoso del resultado realizado por Martin mostró que solo requiere reemplazo para funciones con dominio de un ordinal numerable arbitrario .
• La ZF con reemplazo prueba la consistencia de Z, ya que el conjunto V _ω·2 es un modelo de Z cuya existencia puede probarse en ZF. El número cardinal es el primero cuya existencia puede demostrarse en ZF pero no en Z. Para mayor claridad, nótese que el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que cada una de estas teorías contiene una oración, que "expresa" la consistencia de la teoría, que es indemostrable en esa teoría, si esa teoría es consistente - este resultado a menudo se expresa vagamente como la afirmación de que ninguna de estas teorías puede probar su propia consistencia, si es consistente. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Relación con otros esquemas axiomáticos

Simplificaciones

Se pueden hacer algunas simplificaciones al esquema axiomático de reemplazo para obtener diferentes versiones equivalentes. Azriel Lévy demostró que una versión de reemplazo con parámetros eliminados, es decir, el siguiente esquema, es equivalente a la forma original. En particular, la equivalencia se cumple en presencia de los axiomas de extensionalidad, emparejamiento, unión y conjunto de potencias. ^[1]

${\displaystyle \forall A\,([\forall x\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])}$

Recopilación

Esquema axiomático de colección: la imagen del dominio establecido bajo la función de clase definible cae dentro de un conjunto . ${\displaystyle f[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$

El esquema axiomático de colección está estrechamente relacionado con el esquema axiomático de reemplazo y con frecuencia se confunde con él. En el resto de los axiomas de ZF, es equivalente al esquema axiomático de reemplazo. El axioma de colección es más fuerte que el reemplazo en ausencia del axioma de conjunto potencia ^[2] o su contraparte constructiva de ZF, pero más débil en el marco de IZF, que carece de la ley del medio excluido .

Mientras que el reemplazo puede interpretarse como que la imagen de una función es un conjunto, la colección habla de imágenes de relaciones y luego simplemente dice que alguna superclase de la imagen de la relación es un conjunto. En otras palabras, el conjunto resultante no tiene ningún requisito de minimalidad, es decir, esta variante también carece del requisito de unicidad en . Es decir, no se requiere que la relación definida por sea una función; algunas pueden corresponder a muchas ' en . En este caso, el conjunto de imágenes cuya existencia se afirma debe contener al menos una de esas para cada una en el conjunto original, sin garantía de que contenga solo una. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Supóngase que las variables libres de están entre ; pero ni ni son libres en . Entonces el esquema axiomático es: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists \,y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}))\Rightarrow \forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

El esquema axiomático a veces se enuncia sin restricciones previas (aparte de no aparecer libre en ) en el predicado, : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

En este caso, puede haber elementos en que no estén asociados a ningún otro conjunto por . Sin embargo, el esquema axiomático tal como se indica requiere que, si un elemento de está asociado con al menos un conjunto , entonces el conjunto de imágenes contendrá al menos uno de tales . El esquema axiomático resultante también se denomina esquema axiomático de acotación . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$

Separación

El esquema axiomático de separación , el otro esquema axiomático en ZFC, está implícito en el esquema axiomático de reemplazo y el axioma de conjunto vacío . Recordemos que el esquema axiomático de separación incluye

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}$

para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos en la que no es libre, es decir que no menciona . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$

La prueba es la siguiente: O bien contiene algún elemento que valida , o bien no lo contiene. En el último caso, tomar el conjunto vacío para cumple la instancia relevante del esquema axiomático de separación y uno está hecho. De lo contrario, elija un fijo tal en que valide . Ahora defina para usar con reemplazo. Usando la notación de función para este predicado , actúa como la identidad donde sea verdadero y como la función constante donde sea falso. Por análisis de caso, los valores posibles son únicos para cualquier , lo que significa que de hecho constituye una función de clase. A su vez, la imagen de bajo , es decir, la clase , se concede como un conjunto por el axioma de reemplazo. Esto valida precisamente el axioma de separación. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle \phi (x,y):=(\theta (x)\land y=x)\lor (\neg \theta (x)\land y=a)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F_{a}(x)=x}$ ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle F_{a}(x)=a}$ ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle B:=\{F_{a}(x):x\in A\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle A\cap \{x:\theta (x)\}}$ ${\displaystyle B}$

Este resultado muestra que es posible axiomatizar ZFC con un único esquema axiomático infinito. Dado que se requiere al menos uno de esos esquemas infinitos (ZFC no es finitamente axiomatizable), esto demuestra que el esquema axiomático de reemplazo puede ser el único esquema axiomático infinito en ZFC si se desea. Dado que el esquema axiomático de separación no es independiente, a veces se omite en los enunciados contemporáneos de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Sin embargo, la separación sigue siendo importante para su uso en fragmentos de ZFC, debido a consideraciones históricas y para la comparación con axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos. Una formulación de la teoría de conjuntos que no incluya el axioma de reemplazo probablemente incluirá alguna forma del axioma de separación, para asegurar que sus modelos contengan una colección suficientemente rica de conjuntos. En el estudio de modelos de teoría de conjuntos, a veces es útil considerar modelos de ZFC sin reemplazo, como los modelos de la jerarquía de von Neumann. ${\displaystyle V_{\delta }}$

La prueba dada anteriormente supone la ley del tercero excluido para la proposición que está habitada por un conjunto que valida , y para cualquier cuando se estipula que la relación es funcional. El axioma de separación está incluido explícitamente en la teoría de conjuntos constructivos , o una variante acotada de la misma . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle \phi }$

Reflexión

El principio de reflexión de Lévy para ZFC es equivalente al axioma de reemplazo, suponiendo el axioma de infinito. El principio de Lévy es el siguiente: ^[3]

Para cualquier fórmula de primer orden , existe un tal que . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\iff \phi ^{V_{\alpha }}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Este es un esquema que consta de una cantidad contable de enunciados, uno para cada fórmula . Aquí, significa con todos los cuantificadores limitados a , es decir, pero con cada instancia de y reemplazada por y respectivamente. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \exists x}$ ${\displaystyle \forall x}$ ${\displaystyle \exists (x\in V_{\alpha })}$ ${\displaystyle \forall (x\in V_{\alpha })}$

Historia

El esquema axiomático de reemplazo no fue parte de la axiomatización de la teoría de conjuntos ( Z ) de Ernst Zermelo de 1908. Existía alguna aproximación informal a él en las obras inéditas de Cantor , y apareció de nuevo informalmente en Mirimanoff (1917). ^[4]

Abraham Fraenkel, entre 1939 y 1949

Thoralf Skolem, en la década de 1930

Su publicación por Abraham Fraenkel en 1922 es lo que hace que la teoría de conjuntos moderna sea la teoría de conjuntos de Zermelo- Fraenkel ( ZFC ). El axioma fue descubierto y anunciado independientemente por Thoralf Skolem más tarde en el mismo año (y publicado en 1923). El propio Zermelo incorporó el axioma de Fraenkel en su sistema revisado que publicó en 1930, que también incluía como un nuevo axioma el axioma de fundamento de von Neumann . ^[5] Aunque es la versión de primer orden de Skolem de la lista de axiomas que usamos hoy, ^[6] generalmente no recibe crédito ya que cada axioma individual fue desarrollado antes por Zermelo o Fraenkel. La frase "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel" fue utilizada por primera vez en forma impresa por von Neumann en 1928. ^[7]

Zermelo y Fraenkel habían mantenido una intensa correspondencia en 1921; el axioma de reemplazo fue un tema importante de este intercambio. ^[6] Fraenkel inició correspondencia con Zermelo en algún momento de marzo de 1921. Sin embargo, sus cartas anteriores a la fechada el 6 de mayo de 1921 se han perdido. Zermelo admitió por primera vez una laguna en su sistema en una respuesta a Fraenkel fechada el 9 de mayo de 1921. El 10 de julio de 1921, Fraenkel completó y presentó para su publicación un artículo (publicado en 1922) que describía su axioma como permitiendo reemplazos arbitrarios: "Si M es un conjunto y cada elemento de M es reemplazado por [un conjunto o un urelemento] entonces M se convierte en un conjunto nuevamente" (completado entre paréntesis y traducido por Ebbinghaus). La publicación de Fraenkel de 1922 agradeció a Zermelo por sus útiles argumentos. Antes de esta publicación, Fraenkel anunció públicamente su nuevo axioma en una reunión de la Sociedad Matemática Alemana celebrada en Jena el 22 de septiembre de 1921. Zermelo estuvo presente en esta reunión; en la discusión que siguió a la charla de Fraenkel, aceptó el axioma de reemplazo en términos generales, pero expresó reservas respecto de su alcance. ^[6]

Thoralf Skolem hizo público su descubrimiento de la brecha en el sistema de Zermelo (la misma brecha que había encontrado Fraenkel) en una charla que dio el 6 de julio de 1922 en el 5º Congreso de Matemáticos Escandinavos, que se celebró en Helsinki ; las actas de este congreso se publicaron en 1923. Skolem presentó una resolución en términos de reemplazos definibles de primer orden: "Sea U una proposición definida que se cumple para ciertos pares ( a , b ) en el dominio B ; supongamos además que para cada a existe como máximo un b tal que U es verdadero. Entonces, como a se extiende sobre los elementos de un conjunto M _a , b se extiende sobre todos los elementos de un conjunto M _b ." En el mismo año, Fraenkel escribió una revisión del artículo de Skolem, en el que simplemente afirmó que las consideraciones de Skolem corresponden a las suyas. ^[6]

El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem del esquema axiomático de reemplazo. ^[6] En un momento dado, llamó al enfoque de Skolem "teoría de conjuntos de los empobrecidos". Zermelo imaginó un sistema que permitiría cardinales grandes . ^[8] También se opuso firmemente a las implicaciones filosóficas de los modelos contables de la teoría de conjuntos , que se derivaban de la axiomatización de primer orden de Skolem. ^[7] Según la biografía de Zermelo por Heinz-Dieter Ebbinghaus , la desaprobación de Zermelo del enfoque de Skolem marcó el final de la influencia de Zermelo en los desarrollos de la teoría de conjuntos y la lógica. ^[6]

Referencias

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: Una aproximación a su vida y obra , Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6.
• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Teoría de conjuntos ingenua , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier, ISBN 0-444-86839-9.

Citas

1. A. Kanamori, "Elogio del reemplazo", pp.74--75. Bulletin of Symbolic Logic vol. 18, no. 1 (2012). Consultado el 22 de agosto de 2023.
2. Gitman, Victoria; Joel David Hamkins; Johnstone, Thomas A. (2011). "¿Cuál es la teoría ZFC sin el conjunto potencia?". arXiv : 1110.2430 [math.LO].
3. A. Kanamori, "Elogio del reemplazo", p. 73. Boletín de lógica simbólica vol. 18, núm. 1 (2012). Consultado el 22 de agosto de 2023.
4. Maddy, Penelope (1988), "Creer en los axiomas. Yo", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520, JSTOR  2274520, MR  0947855, Se pueden encontrar indicios tempranos del axioma de reemplazo en la carta de Cantor a Dedekind [1899] y en Mirimanoff [1917].. Maddy cita dos artículos de Mirimanoff, "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" y "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", ambos en L'Enseignement Mathématique (1917). .
5. Ebbinghaus, pág. 92.
6. Ebbinghaus, págs. 135-138.
7. Ebbinghaus, pág. 189.
8. Ebbinghaus, pág. 184.