ecuación de Helmholtz

Problema de valores propios para el operador de Laplace

En matemáticas, la ecuación de Helmholtz es el problema de valores propios del operador de Laplace . Corresponde a la ecuación diferencial parcial lineal :

$${\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f,}$$

∇ ²k ²fknúmero de ondaecuación de ondaecuación de difusiónecuación de Schrödinger

En óptica , la ecuación de Helmholtz es la ecuación de onda del campo eléctrico . ^[1]

La ecuación lleva el nombre de Hermann von Helmholtz , quien la estudió en 1860. ^[2]

Motivación y usos

La ecuación de Helmholtz surge a menudo en el estudio de problemas físicos que involucran ecuaciones diferenciales parciales (PDE) tanto en el espacio como en el tiempo. La ecuación de Helmholtz, que representa una forma de la ecuación de onda independiente del tiempo , resulta de aplicar la técnica de separación de variables para reducir la complejidad del análisis.

Por ejemplo, considere la ecuación de onda.

$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$$

La separación de variables comienza asumiendo que la función de onda u ( r , t ) es de hecho separable:

$${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$$

Sustituyendo esta forma en la ecuación de onda y luego simplificando, obtenemos la siguiente ecuación:

$${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Observe que la expresión del lado izquierdo depende solo de r , mientras que la expresión de la derecha depende solo de t . Como resultado, esta ecuación es válida en el caso general si y solo si ambos lados de la ecuación son iguales al mismo valor constante. Este argumento es clave en la técnica de resolución de ecuaciones diferenciales parciales lineales mediante separación de variables. De esta observación obtenemos dos ecuaciones, una para A ( r ) y la otra para T ( t ):

$${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^{2},}$$

donde hemos elegido, sin pérdida de generalidad, la expresión ^{−k 2} para el valor de la constante. (Es igualmente válido utilizar cualquier constante k como constante de separación; − k ² se elige sólo por conveniencia en las soluciones resultantes.)

Reordenando la primera ecuación, obtenemos la ecuación de Helmholtz:

$${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$$

Asimismo, después de realizar la sustitución ω = kc , donde k es el número de onda y ω es la frecuencia angular (suponiendo un campo monocromático), la segunda ecuación queda

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}$$

Ahora tenemos la ecuación de Helmholtz para la variable espacial r y una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en el tiempo. La solución en el tiempo será una combinación lineal de funciones seno y coseno , cuya forma exacta está determinada por las condiciones iniciales, mientras que la forma de la solución en el espacio dependerá de las condiciones de contorno . Alternativamente, las transformadas integrales , como la transformada de Laplace o Fourier , a menudo se utilizan para transformar una PDE hiperbólica en una forma de la ecuación de Helmholtz.

Debido a su relación con la ecuación de onda, la ecuación de Helmholtz surge en problemas en áreas de la física como el estudio de la radiación electromagnética , la sismología y la acústica .

Resolver la ecuación de Helmholtz usando separación de variables

La solución a la ecuación espacial de Helmholtz:

$${\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A}$$

separación de variables

Membrana vibratoria

El análogo bidimensional de la cuerda vibrante es la membrana vibrante, con los bordes sujetos para que queden inmóviles. La ecuación de Helmholtz se resolvió para muchas formas básicas en el siglo XIX: la membrana rectangular de Siméon Denis Poisson en 1829, el triángulo equilátero de Gabriel Lamé en 1852 y la membrana circular de Alfred Clebsch en 1862. El parche elíptico fue estudiado por Émile Mathieu , lo que lleva a la ecuación diferencial de Mathieu .

Si los bordes de una forma son segmentos de línea recta, entonces una solución es integrable o conocible en forma cerrada sólo si es expresable como una combinación lineal finita de ondas planas que satisfacen las condiciones de frontera (cero en la frontera, es decir, membrana sujeta). ).

Si el dominio es un círculo de radio a , entonces es apropiado introducir coordenadas polares r y θ . La ecuación de Helmholtz toma la forma

$${\displaystyle A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2}A=0.}$$

Podemos imponer la condición de frontera de que A desaparece si r = a ; de este modo

$${\displaystyle A(a,\theta )=0.}$$

el método de separación de variables conduce a soluciones de prueba de la forma

$${\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),}$$

Θ2 π

$${\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,}$$

$${\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.}$$

De la condición de periodicidad se deduce que

$${\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,}$$

nR

$${\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),}$$

función de Bessel J _n ( ρ )

$${\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}$$

ρ = krJ _nnρ _{m , n}Ar = a

$${\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.}$$

La solución general A toma entonces la forma de una serie generalizada de términos de Fourier que involucran productos de J _n ( k _{m, n} r ) y el seno (o coseno) de nθ . Estas soluciones son los modos de vibración de un parche circular .

Soluciones tridimensionales

En coordenadas esféricas, la solución es:

$${\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr)\right)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Esta solución surge de la solución espacial de la ecuación de onda y la ecuación de difusión . Aquí j _ℓ ( kr ) e y _ℓ ( kr ) son las funciones esféricas de Bessel , y Y ^metroℓ
_​( θ , φ ) son los armónicos esféricos (Abramowitz y Stegun, 1964). Tenga en cuenta que estas formas son soluciones generales y requieren que se especifiquen condiciones de contorno para su uso en cualquier caso específico. Para dominios exteriores infinitos, también puede ser necesaria una condición de radiación (Sommerfeld, 1949).

Escribir r ₀ = ( x , y , z ) la función A ( r ₀ ) tiene asintóticas

$${\displaystyle A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \infty }$$

donde la función f se llama amplitud de dispersión y u ₀ ( r ₀ ) es el valor de A en cada punto límite r ₀ .

Soluciones tridimensionales dada la función en un plano bidimensional

Dado un plano bidimensional donde se conoce A, la solución de la ecuación de Helmholtz viene dada por: ^[3]

$${\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y'){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)\,dx'dy',}$$

dónde

• ${\displaystyle A'(x',y')}$es la solución en el plano bidimensional,
• ${\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},}$

A medida que z se acerca a cero, todas las contribuciones de la integral desaparecen excepto r=0. Por lo tanto, hasta un factor numérico, que se puede verificar que es 1 transformando la integral a coordenadas polares . ${\displaystyle A(x,y,0)=A'(x,y)}$ ${\displaystyle (\rho ,\theta )}$

Esta solución es importante en la teoría de la difracción, por ejemplo, para derivar la difracción de Fresnel .

Aproximación paraxial

En la aproximación paraxial de la ecuación de Helmholtz, ^[4] la amplitud compleja A se expresa como

$${\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )e^{ikz}}$$

uu

$${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0,}$$

laplaciano ${\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

Esta ecuación tiene importantes aplicaciones en la ciencia de la óptica , donde proporciona soluciones que describen la propagación de ondas electromagnéticas (luz) ya sea en forma de ondas paraboloidales o haces gaussianos . La mayoría de los láseres emiten rayos que adoptan esta forma.

El supuesto bajo el cual la aproximación paraxial es válida es que la derivada z de la función de amplitud u es una función de z que varía lentamente :

$${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k{\frac {\partial u}{\partial z}}\right|.}$$

Esta condición equivale a decir que el ángulo θ entre el vector de onda k y el eje óptico z es pequeño: θ ≪ 1 .

La forma paraxial de la ecuación de Helmholtz se encuentra sustituyendo la expresión anterior por la amplitud compleja en la forma general de la ecuación de Helmholtz de la siguiente manera:

$${\displaystyle \nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz})+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0.}$$

La ampliación y cancelación produce lo siguiente:

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.}$$

Debido a la desigualdad paraxial establecida anteriormente, el término ∂ ² u /∂ z ² se desprecia en comparación con el término k ·∂ u /∂ z . Esto produce la ecuación paraxial de Helmholtz. Sustituyendo u ( r ) = A ( r ) e ^{− ikz} se obtiene la ecuación paraxial para la amplitud compleja original A :

$${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0.}$$

La integral de difracción de Fresnel es una solución exacta de la ecuación paraxial de Helmholtz. ^[5]

Ecuación de Helmholtz no homogénea

La ecuación de Helmholtz no homogénea es la ecuación

$${\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x} )+k^{2}A(\mathbf {x} )=-f(\mathbf {x} )\ {\text{ in }}\mathbb {R} ^{n},}$$

ƒ  : R ⁿ → Csoporte compacton = 1, 2, 3.ecuación de Poisson filtradak

Para resolver esta ecuación de forma única, es necesario especificar una condición de frontera en el infinito, que suele ser la condición de radiación de Sommerfeld.

$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A(\mathbf {x} )=0}$$

en dimensiones espaciales, para todos los ángulos (es decir, cualquier valor de ). Aquí donde están las coordenadas del vector . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta ,\phi }$ ${\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Con esta condición, la solución de la ecuación de Helmholtz no homogénea es

$${\displaystyle A(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )\,\mathrm {d} \mathbf {x'} }$$

(Observe que esta integral es en realidad sobre una región finita, ya que f tiene soporte compacto). Aquí, G es la función de Green de esta ecuación, es decir, la solución de la ecuación de Helmholtz no homogénea con f igual a la función delta de Dirac , por lo que G satisface

$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )+k^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-\delta (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

La expresión de la función de Green depende de la dimensión n del espacio. Uno tiene

$${\displaystyle G(x,x')={\frac {ie^{ik|x-x'|}}{2k}}}$$

norte = 1

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}$$

n = 2H⁽¹⁾
₀función de Hankel

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )={\frac {e^{ik|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}}$$

norte = 3| x | → ∞

Finalmente, para el general n,

$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=c_{d}k^{p}{\frac {H_{p}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{p}}}}$$

dónde y . ^[6] ${\displaystyle p={\frac {n-2}{2}}}$ ${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{2i(2\pi )^{p}}}}$

Ver también

• La ecuación de Laplace (un caso particular de la ecuación de Helmholtz)
• expansión de weyl

Notas

1. Blanche, Pierre-Alexandre (2014). Guía de campo de la holografía . Guías de campo SPIE. Bellingham, lavado: Prensa SPIE. ISBN 978-0-8194-9957-8.
2. Ecuación de Helmholtz, de la Enciclopedia de Matemáticas .
3. Mehrabkhani, S. y Schneider, T. (2017). ¿Es la difracción de Rayleigh-Sommerfeld siempre una referencia exacta para los algoritmos de difracción de alta velocidad? Óptica expresa, 25(24), 30229-30240.
4. JW Goodman. Introducción a la Óptica de Fourier (2ª ed.). págs. 61–62.
5. Grella, R. (1982). "Propagación y difracción de Fresnel y ecuación de ondas paraxiales". Revista de Óptica . 13 (6): 367–374. Código Bib : 1982JOpt...13..367G. doi :10.1088/0150-536X/13/6/006.
6. Björn Engquist; Hongkai Zhao (noviembre de 2018). "Separabilidad aproximada de la función de Green de la ecuación de Helmholtz en el límite de alta frecuencia". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 71 (11): 2220–2274. doi :10.1002/cpa.21755.

Referencias

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, eds. (1964). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.

• Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ (2002). "Capítulo 19". Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89067-0.

• Riley, KF (2002). "Capítulo 16". Métodos matemáticos para científicos e ingenieros . Sausalito, California: Libros de ciencias universitarias. ISBN 978-1-891389-24-5.

• Saleh, Bahía EA; Teich, Malvin Carl (1991). "Capítulo 3". Fundamentos de Fotónica . Serie Wiley en Óptica Pura y Aplicada. Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 80-107. ISBN 978-0-471-83965-1.

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Capítulo 16". Ecuaciones diferenciales parciales en Física . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0126546569.

• Howe, MS (1998). Acústica de las interacciones fluido-estructura . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63320-8.

enlaces externos

• Ecuación de Helmholtz en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Ecuación de Helmholtz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Membrana circular vibratoria de Sam Blake, The Wolfram Demonstrations Project .
• Funciones de Green para las ecuaciones de onda, Helmholtz y Poisson en un dominio bidimensional ilimitado