Condición de radiación de Sommerfeld

En matemáticas aplicadas y física teórica , la condición de radiación de Sommerfeld es un concepto de la teoría de ecuaciones diferenciales y la teoría de dispersión que se utiliza para elegir una solución particular a la ecuación de Helmholtz . Fue introducida por Arnold Sommerfeld en 1912 ^[1] y está estrechamente relacionada con el principio de absorción límite (1905) y el principio de amplitud límite (1948).

La condición de contorno establecida por el principio escoge esencialmente una solución de algunas ecuaciones de onda que sólo irradia hacia el exterior desde fuentes conocidas. En lugar de permitir que se propaguen hacia el interior ondas arbitrarias provenientes del infinito, las desvía.

El teorema que más se sustenta en la condición sólo es válido en tres dimensiones espaciales. En dos dimensiones no es válido porque el movimiento ondulatorio no conserva su potencia como uno sobre el radio al cuadrado. Por otra parte, en dimensiones espaciales de cuatro y superiores, la potencia del movimiento ondulatorio disminuye mucho más rápido con la distancia.

Formulación

Arnold Sommerfeld definió la condición de radiación para un campo escalar que satisface la ecuación de Helmholtz como

"Las fuentes deben ser fuentes, no sumideros de energía. La energía que se irradia desde las fuentes debe dispersarse hasta el infinito; ninguna energía puede irradiarse desde el infinito hacia... el campo". ^[2]

Matemáticamente, considere la ecuación no homogénea de Helmholtz

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})u=-f{\text{ in }}\mathbb {R} ^{n}}$

donde es la dimensión del espacio, es una función dada con soporte compacto que representa una fuente de energía acotada, y es una constante, llamada número de onda . Una solución de esta ecuación se llama radiante si satisface la condición de radiación de Sommerfeld . ${\displaystyle n=2,3}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial |x|}}-ik\right)u(x)=0}$

uniformemente en todas las direcciones

${\displaystyle {\hat {x}}={\frac {x}{|x|}}}$

(arriba, es la unidad imaginaria y es la norma euclidiana ). Aquí, se supone que el campo armónico temporal es Si el campo armónico temporal es en cambio, se debería reemplazar con en la condición de radiación de Sommerfeld. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle e^{-i\omega t}u.}$ ${\displaystyle e^{i\omega t}u,}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle +i}$

La condición de radiación de Sommerfeld se utiliza para resolver de forma única la ecuación de Helmholtz. Por ejemplo, considere el problema de la radiación debida a una fuente puntual en tres dimensiones, por lo que la función en la ecuación de Helmholtz es donde es la función delta de Dirac . Este problema tiene un número infinito de soluciones, por ejemplo, cualquier función de la forma ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=\delta (x-x_{0}),}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle u=cu_{+}+(1-c)u_{-}\,}$

donde es una constante, y ${\displaystyle c}$

${\displaystyle u_{\pm }(x)={\frac {e^{\pm ik|x-x_{0}|}}{4\pi |x-x_{0}|}}.}$

De todas estas soluciones, sólo satisface la condición de radiación de Sommerfeld y corresponde a un campo que irradia desde Las demás soluciones no son físicas ^{[ cita requerida ]} . Por ejemplo, se puede interpretar como energía que viene del infinito y se hunde en ^[3] ${\displaystyle u_{+}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle u_{-}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Véase también

• Principio de absorción limitante
• Principio de amplitud límite
• Condición sin radiación

Notas

1. Sommerfeld 1912.
2. Sommerfeld 1967, pág. 189.
3. Schot 1992, pág. 394.

Referencias

• Sommerfeld, A. (1912). "Die Greensche Funktion der Schwingungslgleichung". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 21 : 309–352. ISSN  0012-0456.
• Sommerfeld, Arnold (1967). Ecuaciones diferenciales parciales en Física . ISBN 0-12-654656-8.
• Martin, PA (2006). Dispersión múltiple: interacción de ondas armónicas temporales con N obstáculos . Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511735110. ISBN. 978-0-521-86554-8.
• Schot, Steven H (1992). "Ochenta años de la condición de radiación de Sommerfeld". Historia Mathematica . 19 (4): 385–401. doi :10.1016/0315-0860(92)90004-U.

Enlaces externos

• AG Sveshnikov (2001) [1994], "Condiciones de radiación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press