Un mosaico aperiódico es un mosaico no periódico con la propiedad adicional de que no contiene regiones o parches periódicos arbitrariamente grandes. Un conjunto de tipos de mosaicos (o protomoselados ) es aperiódico si las copias de estos mosaicos solo pueden formar mosaicos no periódicos .
Los teselados de Penrose son un ejemplo bien conocido de teselados aperiódicos. [1] [2]
En marzo de 2023, cuatro investigadores, David Smith , Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss , anunciaron la prueba de que la pieza descubierta por David Smith es una pieza monométrica aperiódica , es decir, una solución al problema de Einstein , un problema que busca la existencia de cualquier pieza monométrica aperiódica de forma única. [3] En mayo de 2023, los mismos autores publicaron una pieza monométrica aperiódica quiral con restricciones similares pero más fuertes. [4]
Los mosaicos aperiódicos sirven como modelos matemáticos para los cuasicristales , sólidos físicos que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman [5] quien posteriormente ganó el premio Nobel en 2011. [6] Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales aún se comprende poco.
Se conocen varios métodos para construir teselados aperiódicos.
Consideremos un mosaico periódico por cuadrados unitarios (parece papel cuadriculado infinito ). Ahora cortemos un cuadrado en dos rectángulos. El mosaico obtenido de esta manera es no periódico: no hay ningún desplazamiento distinto de cero que deje este mosaico fijo. Pero claramente este ejemplo es mucho menos interesante que el mosaico de Penrose. Para descartar ejemplos tan aburridos, se define un mosaico aperiódico como aquel que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.
Un teselado se denomina aperiódico si su envoltura contiene solo teselados no periódicos. La envoltura de un teselado contiene todas las traslaciones T + x de T , junto con todas las teselados que pueden aproximarse mediante traslaciones de T . Formalmente, esto es la clausura del conjunto en la topología local. [7] En la topología local (resp. la métrica correspondiente) dos teselados son -cercanos si concuerdan en una bola de radio alrededor del origen (posiblemente después de desplazar uno de los teselados en una cantidad menor que ).
Para dar un ejemplo aún más simple que el anterior, considere una teselación unidimensional T de la línea que se ve como ... aaaaaabaaaaa ... donde a representa un intervalo de longitud uno, b representa un intervalo de longitud dos. Por lo tanto, la teselación T consiste en infinitas copias de a y una copia de b (con centro 0, digamos). Ahora, todas las traslaciones de T son las teselas con un b en algún lugar y un s en el resto. La secuencia de teselas donde b está centrado en converge - en la topología local - a la teselación periódica que consiste solo en un s. Por lo tanto, T no es una teselación aperiódica, ya que su envoltura contiene la teselación periódica ... aaaaaa ....
Para los mosaicos que se comportan bien (por ejemplo, mosaicos de sustitución con un número finito de patrones locales) se cumple lo siguiente: si un mosaico no es periódico y es repetitivo (es decir, cada parche aparece de manera uniformemente densa a lo largo del mosaico), entonces es aperiódico. [7]
La primera aparición específica de teselado aperiódico surgió en 1961, cuando el lógico Hao Wang intentó determinar si el problema del dominó es decidible, es decir, si existe un algoritmo para decidir si un conjunto finito dado de prototiles admite un teselado del plano. Wang encontró algoritmos para enumerar los conjuntos de teselado que no pueden teselar el plano y los conjuntos de teselado que lo teselan periódicamente; con esto demostró que tal algoritmo de decisión existe si cada conjunto finito de prototiles que admite un teselado del plano también admite un teselado periódico. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto aperiódico de prototiles a partir del cual demostró que el problema del teselado de hecho no es decidible. [8] [9] Este primer conjunto de este tipo, utilizado por Berger en su prueba de indecidibilidad, requería 20.426 teselas Wang. Berger luego redujo su conjunto a 104, y Hans Läuchli posteriormente encontró un conjunto aperiódico que requería solo 40 teselas Wang. [10] Un conjunto más pequeño, de seis fichas aperiódicas (basado en las fichas de Wang), fue descubierto por Raphael M. Robinson en 1971. [11] Roger Penrose descubrió tres conjuntos más en 1973 y 1974, reduciendo el número de fichas necesarias a dos, y Robert Ammann descubrió varios conjuntos nuevos en 1977. [12] El número de fichas necesarias se redujo a uno en 2023 por David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss . [3] [4] [13]
Los mosaicos aperiódicos de Penrose pueden generarse no sólo mediante un conjunto aperiódico de protomoselados, sino también mediante una sustitución y mediante un método de corte y proyección. Después del descubrimiento de los cuasicristales, los mosaicos aperiódicos pasaron a ser estudiados intensivamente por físicos y matemáticos. El método de corte y proyección de NG de Bruijn para mosaicos de Penrose finalmente resultó ser un ejemplo de la teoría de conjuntos de Meyer . [14] [15] Hoy en día existe una gran cantidad de literatura sobre mosaicos aperiódicos. [7]
Un einstein ( en alemán : ein Stein , una piedra) es un mosaico aperiódico que utiliza una única forma. El primer mosaico de este tipo se descubrió en 2010: el mosaico Socolar-Taylor , que sin embargo no está conectado en una sola pieza. En 2023 se descubrió un mosaico conectado, que utiliza una forma denominada "sombrero". [16]
Se conocen algunas construcciones de teselados aperiódicos. Algunas construcciones se basan en familias infinitas de conjuntos aperiódicos de teselas. [17] [18] Los teselados que se han encontrado hasta ahora se construyen en su mayoría de varias maneras, principalmente forzando algún tipo de estructura jerárquica no periódica. A pesar de esto, la indecidibilidad del problema del dominó asegura que debe haber infinitos principios de construcción distintos y que, de hecho, existen conjuntos aperiódicos de teselas para los cuales no puede haber prueba de su aperiodicidad.
Sin embargo, hay tres principios de construcción que se han utilizado predominantemente para conjuntos finitos de prototiles hasta 2023: [19]
En el caso de algunos teselados, sólo se sabe que una de las construcciones produce ese teselado. Otros pueden construirse mediante los tres métodos clásicos, por ejemplo, los teselados de Penrose . [19]
Goodman-Straus demostró que todos los mosaicos generados por reglas de sustitución y que satisfacen una condición técnica pueden generarse mediante reglas de correspondencia. La condición técnica es leve y, por lo general, se satisface en la práctica. Se requiere que los mosaicos admitan un conjunto de aristas hereditarias de modo que el mosaico de sustitución sea hermano arista con arista . [17]
Para que un mosaico sea congruente, las copias de los prototipos de mosaicos deben cubrir todo el plano euclidiano sin superposiciones (excepto en los límites) y sin dejar piezas descubiertas. Por lo tanto, los límites de los mosaicos que forman un mosaico deben coincidir geométricamente. Esto es generalmente cierto para todos los mosaicos, tanto aperiódicos como periódicos. A veces, esta condición de coincidencia geométrica es suficiente para obligar a que un conjunto de mosaicos sea aperiódico; este es, por ejemplo, el caso de los mosaicos de Robinsion que se analizan a continuación.
A veces se requieren reglas de coincidencia adicionales para mantener la posición. Estas suelen implicar colores o marcas que deben coincidir en varias fichas a lo largo de los límites. Las fichas Wang suelen requerir este tipo de reglas adicionales.
En algunos casos ha sido posible reemplazar las reglas de coincidencia por condiciones de coincidencia geométricas modificando los prototiles en su límite. El mosaico de Penrose (P1) originalmente consta de cuatro prototiles junto con algunas reglas de coincidencia. Uno de los cuatro mosaicos es un pentágono. Uno puede reemplazar este prototiles de pentágono por tres formas pentagonales distintas que tienen protuberancias y hendiduras adicionales en el límite formando tres mosaicos distintos. Junto con los otros tres prototiles con límites adecuadamente adaptados, uno obtiene un conjunto de seis prototiles que esencialmente crean los mismos mosaicos aperiódicos que los cuatro mosaicos originales, pero para los seis mosaicos no son necesarias reglas de coincidencia adicionales, la condición de coincidencia geométrica es suficiente.
Tenga en cuenta también que los perfiles de Robinsion a continuación vienen equipados con marcas para facilitar el reconocimiento visual de la estructura, pero estas marcas no imponen más reglas de coincidencia en los mosaicos como las que ya existen a través de los límites geométricos.
Hasta la fecha, no existe una definición formal que describa cuándo un teselado tiene una estructura jerárquica; no obstante, está claro que los teselados por sustitución los tienen, al igual que los teselados de Berger, Knuth , Läuchli, Robinson y Ammann . Al igual que con el término "teselado aperiódico" en sí, el término " teselado jerárquico aperiódico " es una abreviatura conveniente, que significa algo así como "un conjunto de teselados que solo admiten teselados no periódicos con una estructura jerárquica".
En el caso de los mosaicos aperiódicos, independientemente de si se utilizan reglas de coincidencia adicionales o no, las condiciones de coincidencia imponen una estructura jerárquica en los mosaicos que, a su vez, hace imposibles las estructuras periódicas.
Cada uno de estos conjuntos de teselas, en cualquier teselación que admitan, fuerza una estructura jerárquica particular. (En muchos ejemplos posteriores, esta estructura puede describirse como un sistema de teselación por sustitución; esto se describe a continuación). Ninguna teselación admitida por un conjunto de teselas de este tipo puede ser periódica, simplemente porque ninguna traducción individual puede dejar invariable toda la estructura jerárquica. Consideremos las teselas de Robinson de 1971:
Cualquier mosaico formado por estos mosaicos sólo puede exhibir una jerarquía de retículos cuadrados: el centro de cualquier cuadrado naranja es también una esquina de un cuadrado naranja más grande, y así sucesivamente. Cualquier traslación debe ser menor que un tamaño de cuadrado, y por lo tanto no puede dejar invariable dicho mosaico.
Robinson demuestra que estas fichas deben formar esta estructura de manera inductiva; en efecto, las fichas deben formar bloques que a su vez encajen entre sí como versiones más grandes de las fichas originales, y así sucesivamente. Esta idea –de encontrar conjuntos de fichas que sólo admitan estructuras jerárquicas– se ha utilizado en la construcción de la mayoría de los conjuntos de fichas aperiódicos conocidos hasta la fecha.
Sin embargo, el teselado producido de esta manera no es único, ni siquiera hasta las isometrías del grupo euclidiano , por ejemplo, las traslaciones y rotaciones . Un teselado completo del plano construido a partir de las teselas de Robinsion puede tener o no fallas (también llamadas corredores ) que se extiendan hasta el infinito en hasta cuatro brazos y hay opciones adicionales que permiten la codificación de infinitas palabras de Σ ω para un alfabeto Σ de hasta cuatro letras. [12] En resumen, hay incontables teselados diferentes no relacionados por isometrías euclidianas, todos ellos necesariamente no periódicos, que pueden surgir de las teselas de Robinsion.
Los sistemas de teselación por sustitución proporcionan una rica fuente de teselación aperiódica. Se dice que un conjunto de teselas que fuerza la aparición de una estructura de sustitución refuerza la estructura de sustitución. Por ejemplo, las teselas de silla que se muestran a continuación admiten una sustitución, y una parte de una teselación de sustitución se muestra a la derecha debajo. Estas teselación de sustitución son necesariamente no periódicas, exactamente de la misma manera que se describió anteriormente, pero la teselación de silla en sí no es aperiódica: es fácil encontrar teselación periódica mediante teselas de silla sin marcar que satisfacen las condiciones de coincidencia geométrica.
Sin embargo, las fichas que se muestran a continuación fuerzan a que surja la estructura de sustitución de silla y, por lo tanto, son aperiódicas. [20]
Los mosaicos de Penrose, y poco después los distintos conjuntos de mosaicos de Amman , [21] fueron el primer ejemplo basado en forzar explícitamente la aparición de una estructura de mosaico de sustitución. Joshua Socolar, [22] [23] Roger Penrose , [24] Ludwig Danzer , [25] y Chaim Goodman-Strauss [20] han encontrado varios conjuntos posteriores. Shahar Mozes dio la primera construcción general, mostrando que cada producto de sistemas de sustitución unidimensionales puede ser impuesto mediante reglas de coincidencia. [18] Charles Radin encontró reglas que imponen el sistema de mosaico de sustitución de rueda de molino de Conway . [26] En 1998, Goodman-Strauss demostró que se pueden encontrar reglas de coincidencia locales para forzar cualquier estructura de mosaico de sustitución, sujeta a algunas condiciones moderadas. [17]
Los mosaicos no periódicos también pueden obtenerse mediante la proyección de estructuras de dimensiones superiores en espacios con dimensiones inferiores y, en algunas circunstancias, puede haber mosaicos que impongan esta estructura no periódica y, por lo tanto, sean aperiódicos. Los mosaicos de Penrose son el primer y más famoso ejemplo de esto, como se señaló por primera vez en el trabajo pionero de de Bruijn . [27] Todavía no existe una caracterización (algebraica) completa de los mosaicos de corte y proyección que se puedan imponer mediante reglas de correspondencia, aunque se conocen numerosas condiciones necesarias o suficientes. [28]
Sólo se han encontrado unos pocos tipos diferentes de construcciones. En particular, Jarkko Kari proporcionó un conjunto aperiódico de teselas de Wang basado en multiplicaciones por 2 o 2/3 de números reales codificados por líneas de teselas (la codificación está relacionada con las secuencias de Sturmian hechas como las diferencias de elementos consecutivos de las secuencias de Beatty ), con la aperiodicidad basándose principalmente en el hecho de que 2 n /3 m nunca es igual a 1 para ningún entero positivo n y m . [29] Este método fue posteriormente adaptado por Goodman-Strauss para proporcionar un conjunto fuertemente aperiódico de teselas en el plano hiperbólico. [30] Shahar Mozes ha encontrado muchas construcciones alternativas de conjuntos aperiódicos de teselas, algunas en entornos más exóticos; por ejemplo, en grupos de Lie semisimples . [31] Block y Weinberger utilizaron métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de teselas para todas las variedades no susceptibles . [32] Joshua Socolar también dio otra forma de imponer la aperiodicidad, en términos de condición alterna . [33] Esto generalmente conduce a conjuntos de fichas mucho más pequeños que el derivado de las sustituciones.
Los teselados aperiódicos se consideraban artefactos matemáticos hasta 1984, cuando el físico Dan Shechtman anunció el descubrimiento de una fase de una aleación de aluminio y manganeso que producía un difractograma nítido con una simetría quíntuple inequívoca [5] , por lo que tenía que ser una sustancia cristalina con simetría icosaédrica. En 1975, Robert Ammann ya había extendido la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional. En tales casos, el término "teselado" se entiende como "llenar el espacio". Los dispositivos fotónicos se construyen actualmente como secuencias aperiódicas de diferentes capas, siendo así aperiódicos en una dirección y periódicos en las otras dos. Las estructuras de cuasicristales de Cd-Te parecen consistir en capas atómicas en las que los átomos están dispuestos en un patrón aperiódico plano. A veces se produce un mínimo energético o un máximo de entropía para tales estructuras aperiódicas. Steinhardt ha demostrado que los decágonos superpuestos de Gummelt permiten la aplicación de un principio extremal y, por lo tanto, proporcionan el vínculo entre las matemáticas de la teselación aperiódica y la estructura de los cuasicristales. [34] Se ha observado que las ondas de Faraday forman grandes parches de patrones aperiódicos. [35] La física de este descubrimiento ha reavivado el interés en las estructuras y frecuencias inconmensurables, lo que sugiere vincular las teselación aperiódicas con fenómenos de interferencia . [36]
El término aperiódico se ha utilizado de diversas maneras en la literatura matemática sobre teselado (y también en otros campos matemáticos, como los sistemas dinámicos o la teoría de grafos, con significados completamente diferentes). Con respecto a los teselados, el término aperiódico a veces se ha utilizado como sinónimo del término no periódico. Un teselado no periódico es simplemente uno que no está fijado por ninguna traducción no trivial. A veces, el término describe, implícita o explícitamente, un teselado generado por un conjunto aperiódico de prototiles. Con frecuencia, el término aperiódico se ha utilizado simplemente de manera vaga para describir las estructuras en consideración, haciendo referencia a sólidos físicos aperiódicos, a saber, cuasicristales, o a algo no periódico con algún tipo de orden global. [37]
El uso de la palabra "mosaico" también es problemático, a pesar de su definición sencilla. No existe un único mosaico de Penrose , por ejemplo: los rombos de Penrose admiten un número infinito de mosaicos (que no se pueden distinguir localmente). Una solución habitual es intentar utilizar los términos con cuidado en los escritos técnicos, pero reconocer el uso generalizado de los términos informales.
