Las analogías mecánico-eléctricas son la representación de sistemas mecánicos como redes eléctricas . Al principio, estas analogías se utilizaron a la inversa para ayudar a explicar los fenómenos eléctricos en términos mecánicos familiares. James Clerk Maxwell introdujo analogías de este tipo en el siglo XIX. Sin embargo, a medida que maduró el análisis de redes eléctricas , se descubrió que ciertos problemas mecánicos podían resolverse más fácilmente mediante una analogía eléctrica . Los desarrollos teóricos en el dominio eléctrico [nota 1] que fueron particularmente útiles fueron la representación de una red eléctrica como un diagrama topológico abstracto (el diagrama de circuito ) utilizando el modelo de elementos agrupados y la capacidad del análisis de redes para sintetizar una red para cumplir con un requisito prescrito. función de frecuencia .
Este enfoque es especialmente útil en el diseño de filtros mecánicos , que utilizan dispositivos mecánicos para implementar una función eléctrica. Sin embargo, la técnica se puede utilizar para resolver problemas puramente mecánicos y también se puede ampliar a otros dominios energéticos no relacionados. Hoy en día, el análisis por analogía es una herramienta de diseño estándar cuando está involucrado más de un dominio energético. Tiene la gran ventaja de que todo el sistema se puede representar de forma unificada y coherente. Las analogías eléctricas son utilizadas particularmente por los diseñadores de transductores , por su naturaleza cruzan dominios de energía, y en sistemas de control , cuyos sensores y actuadores serán típicamente transductores de dominio cruzado. Es posible que un sistema determinado representado mediante una analogía eléctrica no tenga ninguna pieza eléctrica. Por esta razón, se prefiere la terminología neutral al desarrollar diagramas de red para sistemas de control.
Las analogías mecánico-eléctricas se desarrollan encontrando relaciones entre variables en un dominio que tienen una forma matemática idéntica a las variables en el otro dominio. No existe una forma única de hacer esto; Teóricamente son posibles numerosas analogías, pero hay dos analogías que se utilizan ampliamente: la analogía de la impedancia y la analogía de la movilidad . La analogía de la impedancia hace que la fuerza y el voltaje sean análogos, mientras que la analogía de la movilidad hace que la fuerza y la corriente sean análogas. Por sí solo, eso no es suficiente para definir completamente la analogía; se debe elegir una segunda variable. Una opción común es hacer análogas los pares de variables conjugadas de potencia . Son variables que multiplicadas entre sí tienen unidades de potencia. En la analogía de la impedancia, por ejemplo, esto da como resultado que la fuerza y la velocidad sean análogas al voltaje y la corriente, respectivamente.
Se utilizan variaciones de estas analogías para sistemas mecánicos giratorios, como en motores eléctricos . En la analogía de la impedancia, en lugar de fuerza, el par se hace análogo al voltaje. Es perfectamente posible que ambas versiones de la analogía sean necesarias, por ejemplo, en un sistema que incluye partes giratorias y alternativas , en cuyo caso se requiere una analogía de fuerza-torque dentro del dominio mecánico y una analogía de fuerza-torque-voltaje en el dominio eléctrico. dominio. Se requiere otra variación para los sistemas acústicos; aquí la presión y el voltaje se hacen análogos (analogía de la impedancia). En la analogía de la impedancia, la relación de las variables conjugadas de potencia es siempre una cantidad análoga a la impedancia eléctrica . Por ejemplo, la fuerza/velocidad es la impedancia mecánica . La analogía de la movilidad no conserva esta analogía entre impedancias entre dominios, pero tiene otra ventaja sobre la analogía de la impedancia. En la analogía de la movilidad se conserva la topología de las redes; un diagrama de red mecánico tiene la misma topología que su diagrama de red eléctrico análogo.
Las analogías mecánico-eléctricas se utilizan para representar la función de un sistema mecánico como un sistema eléctrico equivalente estableciendo analogías entre parámetros mecánicos y eléctricos. Un sistema mecánico por sí solo puede representarse así, pero las analogías son de mayor utilidad en sistemas electromecánicos donde existe una conexión entre partes mecánicas y eléctricas. Las analogías son especialmente útiles al analizar filtros mecánicos . Se trata de filtros construidos con piezas mecánicas pero diseñados para funcionar en un circuito eléctrico a través de transductores . La teoría de circuitos está bien desarrollada en el dominio eléctrico en general y, en particular, existe una gran cantidad de teoría de filtros disponible. Los sistemas mecánicos pueden hacer uso de esta teoría eléctrica en diseños mecánicos a través de una analogía mecánico-eléctrica. [1]
Las analogías mecánico-eléctricas son útiles en general cuando el sistema incluye transductores entre diferentes dominios de energía. [nota 1] Otra área de aplicación son las partes mecánicas de sistemas acústicos como la pastilla y el brazo de los tocadiscos . Esto fue de cierta importancia en los primeros fonógrafos, donde el audio se transmitía desde la aguja de la pastilla hasta la bocina a través de varios componentes mecánicos sin amplificación eléctrica. Los primeros fonógrafos sufrían mucho debido a resonancias no deseadas en las piezas mecánicas. Se descubrió que estos podrían eliminarse tratando las piezas mecánicas como componentes de un filtro de paso bajo que tiene el efecto de aplanar la banda de paso . [2]
Las analogías eléctricas de sistemas mecánicos se pueden utilizar simplemente como ayuda didáctica para ayudar a comprender el comportamiento del sistema mecánico. En épocas anteriores, hasta principios del siglo XX, era más probable que se utilizara la analogía inversa; Se formaron analogías mecánicas a partir de los entonces poco comprendidos fenómenos eléctricos. [3]
Los sistemas eléctricos se describen comúnmente mediante un diagrama de circuito . Estos son diagramas de red que describen la topología del sistema eléctrico utilizando una notación gráfica especializada . El diagrama de circuito no intenta representar las verdaderas dimensiones físicas de los componentes eléctricos ni su relación espacial real entre sí. Esto es posible porque los componentes eléctricos se representan como elementos agrupados ideales, es decir, el elemento se trata como si ocupara un solo punto (agrupado en ese punto). Los componentes no ideales se pueden acomodar en este modelo utilizando más de un elemento para representar el componente. Por ejemplo, una bobina destinada a usarse como inductor tiene resistencia además de inductancia . Esto se puede representar en el diagrama del circuito como una resistencia en serie con un inductor. [4] Por lo tanto, el primer paso para formar una analogía de un sistema mecánico es describirlo como una red mecánica de manera similar, es decir, como un gráfico topológico de elementos ideales. [5] Alternativamente, son posibles representaciones más abstractas del diagrama de circuito, por ejemplo el gráfico de enlace . [6]
En un diagrama de red eléctrica, limitado a sistemas lineales , existen tres elementos pasivos : resistencia, inductancia y capacitancia ; y dos elementos activos: el generador de tensión , y el generador de corriente . [nota 2] Los análogos mecánicos de estos elementos se pueden utilizar para construir un diagrama de red mecánico . Cuáles son los análogos mecánicos de estos elementos depende de qué variables se eligen como variables fundamentales. Existe una amplia variedad de variables que se pueden utilizar, pero las más utilizadas son un par de variables conjugadas en potencia (descritas a continuación) y el par de variables hamiltonianas derivadas de ellas. [7]
Hay un límite a la aplicabilidad de este modelo de elementos agrupados . El modelo funciona bien si los componentes son lo suficientemente pequeños como para que el tiempo que tarda una onda en cruzarlos sea insignificante o, de manera equivalente, si no hay una diferencia de fase significativa en la onda a ambos lados del componente. Lo que se considera significativo depende de qué tan preciso debe ser el modelo, pero una regla general común es exigir que los componentes sean más pequeños que un dieciseisavo de longitud de onda . [8] Dado que la longitud de onda disminuye con la frecuencia, esto pone un límite superior a la frecuencia que puede cubrirse en este tipo de diseño. Este límite es mucho menor en el dominio mecánico que el límite equivalente en el dominio eléctrico. Esto se debe a que las velocidades de propagación mucho más altas en el dominio eléctrico conducen a longitudes de onda más largas (las vibraciones mecánicas en el acero se propagan a aproximadamente 6.000 m/s, [9] las ondas electromagnéticas en tipos de cables comunes se propagan a aproximadamente 2 x 10 8 m/s [10 ] ). Por ejemplo, los filtros mecánicos tradicionales sólo se fabrican hasta alrededor de 600 kHz [11] (aunque los dispositivos MEMS pueden funcionar a frecuencias mucho más altas debido a su tamaño muy pequeño). En el dominio eléctrico, por otra parte, la transición del modelo de elementos concentrados al modelo de elementos distribuidos se produce en la región de los cientos de megahercios. [12]
En algunos casos, es posible continuar usando un diagrama de red topológico incluso cuando están presentes componentes que necesitan un análisis de elementos distribuidos. En el ámbito eléctrico, se puede incluir en el modelo una línea de transmisión , un componente básico del elemento distribuido, con la introducción del elemento adicional de longitud eléctrica . [13] La línea de transmisión es un caso especial porque es invariante a lo largo de su longitud y, por lo tanto, no es necesario modelar la geometría completa. [14] Otra forma de tratar con elementos distribuidos es utilizar un análisis de elementos finitos mediante el cual el elemento distribuido se aproxima mediante una gran cantidad de pequeños elementos agrupados. Precisamente este enfoque se utilizó en un artículo para modelar la cóclea del oído humano. [15] Otra condición requerida de los sistemas eléctricos para la aplicación del modelo de elementos agrupados es que no existan campos significativos fuera del componente, ya que estos pueden acoplarse a otros componentes no relacionados. [16] Sin embargo, estos efectos a menudo se pueden modelar introduciendo algunos elementos virtuales agrupados llamados extraviados o parásitos . [17] Una analogía de esto en los sistemas mecánicos es la vibración en un componente acoplado a un componente no relacionado. [18]
Las variables conjugadas de potencia son un par de variables cuyo producto es potencia. En el dominio eléctrico, las variables conjugadas de potencia elegidas son invariablemente voltaje ( v ) y corriente ( i ). Por tanto, las variables conjugadas de potencia en el dominio mecánico son análogas. Sin embargo, esto no es suficiente para que la elección de las variables fundamentales mecánicas sea única. La elección habitual para un sistema mecánico traslacional es la fuerza ( F ) y la velocidad ( u ), pero no es la única opción. Un par diferente puede ser más apropiado para un sistema con una geometría diferente, como un sistema rotacional. [19]
Incluso después de haber elegido las variables fundamentales mecánicas, todavía no existe un conjunto único de análogos. Hay dos formas en que los dos pares de variables conjugadas de potencias pueden asociarse entre sí en la analogía. Por ejemplo , se pueden hacer las asociaciones F con v y u con i . Sin embargo, también son posibles las asociaciones alternativas u con v y F con i . Esto conduce a dos clases de analogías, las analogías de impedancia y las analogías de movilidad. [20] Estas analogías son duales entre sí. Una misma red mecánica tiene análogos en dos redes eléctricas diferentes. Estas dos redes eléctricas son circuitos duales entre sí. [21]
Las variables hamiltonianas, también llamadas variables de energía, son aquellas variables r = ( q , p ) , que son conjugadas según las ecuaciones de Hamilton : [22]
Además, las derivadas temporales de las variables hamiltonianas son las variables conjugadas de potencias.
Las variables hamiltonianas en el dominio eléctrico son carga ( q ) y enlace de flujo (λ) porque,
En el dominio mecánico traslacional, las variables hamiltonianas son el desplazamiento de distancia ( x ) y el impulso ( p ) porque,
Existe una relación correspondiente para otras analogías y conjuntos de variables. [23] Las variables hamiltonianas también se denominan variables de energía. El integrando de una variable conjugada de potencia con respecto a una variable hamiltoniana es una medida de energía. Por ejemplo,
son ambas expresiones de energía. También se les puede llamar impulso generalizado y desplazamiento generalizado en honor a sus análogos en el dominio mecánico. Algunos autores desaconsejan esta terminología porque no es neutral en el dominio. Asimismo, también se desaconseja el uso de los términos tipo I y tipo V (después de corriente y voltaje). [24]
Hay dos clases principales de analogías en uso. La analogía de la impedancia (también llamada analogía de Maxwell) preserva la analogía entre la impedancia mecánica, acústica y eléctrica pero no preserva la topología de las redes. La red mecánica está dispuesta de manera diferente a su red eléctrica análoga. La analogía de la movilidad (también llamada analogía de Firestone) preserva las topologías de red a expensas de perder la analogía entre las impedancias en los dominios de energía. También existe la analogía total , también llamada analogía de Trento. La analogía total entre los dominios eléctrico y mecánico es la misma que en la analogía de la movilidad. Sin embargo, la analogía entre los dominios eléctrico y acústico es como la analogía de la impedancia. Las analogías entre los dominios mecánico y acústico en la analogía transversal tienen una relación dual tanto con la analogía de la impedancia como con la analogía de la movilidad. [25]
Se eligen diferentes variables fundamentales para los sistemas mecánicos de traslación y rotación, lo que lleva a dos variantes para cada una de las analogías. Por ejemplo, la distancia lineal es la variable de desplazamiento en un sistema traslacional, pero esto no es tan apropiado para sistemas giratorios donde en su lugar se utiliza el ángulo . Como tercera variante también se incluyen en las descripciones analogías acústicas. Si bien la energía acústica es, en última instancia, de naturaleza mecánica, en la literatura se la trata como un ejemplo de un dominio energético diferente, el dominio de los fluidos, y tiene diferentes variables fundamentales. Se requieren analogías entre los tres dominios (eléctrico, mecánico y acústico) para representar completamente los sistemas de audio electromecánicos. [26]
Las analogías de impedancia, también llamadas analogías de Maxwell, clasifican las dos variables que componen el par conjugado de potencia como una variable de esfuerzo y una variable de flujo . La variable esfuerzo en el dominio de la energía es la variable análoga a la fuerza en el dominio mecánico. La variable de flujo en el dominio de la energía es la variable análoga a la velocidad en el dominio mecánico. Se eligen variables conjugadas de potencia en el dominio analógico que tengan cierta semejanza con la fuerza y la velocidad. [27]
En el dominio eléctrico, la variable de esfuerzo es el voltaje y la variable de flujo es la corriente eléctrica. La relación entre voltaje y corriente es la resistencia eléctrica ( ley de Ohm ). La relación entre la variable esfuerzo y la variable flujo en otros dominios también se describe como resistencia. Las tensiones y corrientes oscilantes dan lugar al concepto de impedancia eléctrica cuando existe una diferencia de fase entre ellas. Se puede considerar la impedancia como una extensión del concepto de resistencia. La resistencia está asociada con la disipación de energía. La impedancia abarca tanto el almacenamiento de energía como la disipación de energía.
La analogía de la impedancia da lugar al concepto de impedancia en otros dominios energéticos (pero medidos en unidades diferentes). [28] La analogía de la impedancia traslacional describe sistemas mecánicos que se mueven en una única dimensión lineal y da lugar a la idea de impedancia mecánica . La unidad de impedancia mecánica es el ohmio mecánico; en unidades SI esto es Ns/m o Kg/s. [29] La analogía de la impedancia rotacional describe sistemas mecánicos giratorios y da lugar a la idea de impedancia rotacional. La unidad de impedancia rotacional en el sistema SI es Nms/rad. [30] La analogía de la impedancia acústica da lugar a la idea de impedancia acústica . La unidad de impedancia acústica es el ohmio acústico ; en unidades SI esto es Ns/m 5 . [31]
Las analogías de movilidad, también llamadas analogías de Firestone, son los duales eléctricos de las analogías de impedancia. Es decir, la variable de esfuerzo en el dominio mecánico es análoga a la corriente (la variable de flujo) en el dominio eléctrico, y la variable de flujo en el dominio mecánico es análoga al voltaje (la variable de esfuerzo) en el dominio eléctrico. La red eléctrica que representa el sistema mecánico es la red dual de la de la analogía de la impedancia. [33]
La analogía de la movilidad se caracteriza por la admitancia de la misma manera que la analogía de la impedancia se caracteriza por la impedancia. La admitancia es la inversa algebraica de la impedancia. En el ámbito mecánico, la admitancia mecánica suele denominarse movilidad . [34]
Las analogías transversales, también llamadas analogías de Trento , clasifican las dos variables que componen el par conjugado de potencia como una variable transversal y una variable pasante . La variable transversal es una variable que aparece en los dos terminales de un elemento. La variable transversal se mide en relación con los terminales del elemento. La variable pasante es una variable que pasa o actúa a través de un elemento, es decir, tiene el mismo valor en ambos terminales del elemento. El beneficio de la analogía transversal es que cuando se elige la variable hamiltoniana directa como una cantidad conservada, se puede utilizar la regla del nodo de Kirchhoff y el modelo tendrá la misma topología que el sistema real.
Por lo tanto, en el dominio eléctrico la variable transversal es el voltaje y la variable transversal es la corriente. En el dominio mecánico las variables análogas son la velocidad y la fuerza, como en la analogía de la movilidad. [36] En el sistema acústico, la presión es una variable transversal porque la presión se mide en relación con los dos terminales de un elemento, no como una presión absoluta. Por tanto, no es análogo a la fuerza, que es una variable pasante, aunque la presión esté en unidades de fuerza por área. Las fuerzas actúan a través de un elemento; una varilla con una fuerza aplicada en la parte superior transmitirá la misma fuerza a un elemento conectado a su parte inferior. Por lo tanto, en la analogía transversal, el dominio mecánico es análogo al dominio eléctrico como la analogía de la movilidad, pero el dominio acústico es análogo al dominio eléctrico como la analogía de la impedancia. [37]
La analogía eléctrica puede extenderse a muchos otros dominios energéticos. En el campo de los sensores y actuadores , y para los sistemas de control que los utilizan, es un método de análisis común desarrollar una analogía eléctrica de todo el sistema. Dado que los sensores pueden detectar una variable en cualquier dominio de energía y, de la misma manera, las salidas del sistema pueden estar en cualquier dominio de energía, se requieren analogías para todos los dominios de energía. La siguiente tabla ofrece un resumen de las variables conjugadas de potencia más comunes utilizadas para formar analogías. [39]
Quizás sea más común en el dominio térmico elegir la temperatura y la potencia térmica como variables fundamentales porque, a diferencia de la entropía, se pueden medir directamente. El concepto de resistencia térmica se basa en esta analogía. Sin embargo, estas no son variables conjugadas de potencia y no son totalmente compatibles con las otras variables de la tabla. Una analogía eléctrica integrada en múltiples dominios que incluya esta analogía térmica no modelará correctamente los flujos de energía. [41]
De manera similar, la analogía comúnmente vista que utiliza la fmm y el flujo magnético como variables fundamentales, que da lugar al concepto de reluctancia magnética , no modela correctamente el flujo de energía. El par variable mmf y flujo magnético no es un par conjugado de potencia. Este modelo de reluctancia a veces se denomina modelo de reluctancia-resistencia, ya que hace que estas dos cantidades sean análogas. La analogía que se muestra en la tabla, que utiliza un par conjugado de potencia, a veces se denomina modelo giratorio-condensador . [42]
Un transductor es un dispositivo que toma energía de un dominio como entrada y la convierte a otro dominio de energía como salida. A menudo son reversibles, pero rara vez se utilizan de esa manera. Los transductores tienen muchos usos y los hay de muchos tipos, en sistemas electromecánicos se pueden utilizar como actuadores y sensores. En electrónica de audio proporcionan la conversión entre los dominios eléctrico y acústico. El transductor proporciona el vínculo entre los dominios mecánico y eléctrico y, por lo tanto, se requiere una representación de red para desarrollar una analogía eléctrica unificada. [43] Para ello, el concepto de puerto del dominio eléctrico se extiende a otros dominios. [44]
Los transductores tienen (al menos [nota 5] ) dos puertos, un puerto en el dominio mecánico y otro en el dominio eléctrico, y son análogos a las redes eléctricas de dos puertos . Esto debe compararse con los elementos discutidos hasta ahora, que son todos de un solo puerto. Las redes de dos puertos se pueden representar como una matriz de 2 × 2 o, de manera equivalente, como una red de dos generadores dependientes y dos impedancias o admitancias. Existen seis formas canónicas de estas representaciones: parámetros de impedancia , parámetros de cadena , parámetros híbridos y sus inversas . Se puede utilizar cualquiera de ellos. Sin embargo, la representación de un transductor pasivo que convierte entre variables análogas (por ejemplo, una variable de esfuerzo a otra variable de esfuerzo en la analogía de la impedancia) se puede simplificar reemplazando los generadores dependientes con un transformador . [45]
Por otro lado, un transductor que convierte variables conjugadas de potencia no análogas no puede ser representado por un transformador. El elemento de dos puertos en el dominio eléctrico que hace esto se llama girador . Este dispositivo convierte voltajes en corrientes y corrientes en voltajes. Por analogía, un transductor que convierte variables no análogas entre dominios de energía también se llama girador. Por ejemplo, los transductores electromagnéticos convierten la corriente en fuerza y la velocidad en voltaje. [46] En la analogía de la impedancia, dicho transductor es un girador. [47] Si un transductor es un girador o un transformador está relacionado con la analogía; el mismo transductor electromagnético en la analogía de la movilidad es un transformador porque convierte entre variables análogas. [48]
James Clerk Maxwell desarrolló analogías mecánicas muy detalladas de los fenómenos eléctricos. Fue el primero en asociar la fuerza con el voltaje (1873) y, en consecuencia, se le suele atribuir la fundación de la analogía de la impedancia. [49] Esta fue la primera analogía mecánico-eléctrica. [50] Sin embargo, el término impedancia no fue acuñado hasta 1886, mucho después de la muerte de Maxwell, por Oliver Heaviside . [51] La idea de impedancia compleja fue introducida por Arthur E. Kennelly en 1893, y el concepto de impedancia no se extendió al dominio mecánico hasta 1920 por Kennelly y Arthur Gordon Webster . [52]
El propósito de Maxwell al construir esta analogía no era representar sistemas mecánicos en términos de redes eléctricas. Más bien, se trataba de explicar los fenómenos eléctricos en términos mecánicos más familiares. [53] Cuando George Ashley Campbell demostró por primera vez el uso de bobinas de carga para mejorar las líneas telefónicas en 1899, calculó la distancia necesaria entre las bobinas por analogía con el trabajo de Charles Godfrey sobre líneas mecánicas cargadas con pesas periódicas. [54] A medida que los fenómenos eléctricos se entendieron mejor, lo contrario de esta analogía, el uso de analogías eléctricas para explicar los sistemas mecánicos, comenzó a volverse más común. De hecho, la topología abstracta de elementos agrupados del análisis eléctrico tiene mucho que ofrecer a los problemas en el dominio mecánico y en otros dominios energéticos. En 1900, la analogía eléctrica del ámbito mecánico se estaba volviendo común. Aproximadamente desde 1920, la analogía eléctrica se convirtió en una herramienta de análisis estándar. Vannevar Bush fue un pionero de este tipo de modelado en su desarrollo de computadoras analógicas , y Clifford A. Nickle presentó una presentación coherente de este método en un artículo de 1925. [55]
La aplicación del análisis de redes eléctricas , especialmente el campo recientemente desarrollado de la teoría de filtros , a sistemas mecánicos y acústicos condujo a enormes mejoras en el rendimiento. Según Warren P. Mason, la eficiencia de las sirenas de niebla eléctricas de los barcos aumentó de menos del uno por ciento al 50 por ciento. El ancho de banda de los fonógrafos mecánicos creció de tres a cinco octavas cuando las partes mecánicas de la transmisión del sonido se diseñaron como si fueran elementos de un filtro eléctrico ( ver también Filtro mecánico § Reproducción de sonido ). Sorprendentemente, la eficiencia de conversión mejoró al mismo tiempo (la situación habitual con los sistemas de amplificación es que la ganancia se puede intercambiar por ancho de banda de manera que el producto ganancia-ancho de banda permanezca constante). [56]
En 1933, Floyd A. Firestone propuso una nueva analogía, la analogía de la movilidad, en la que la fuerza es análoga a la corriente en lugar del voltaje. Firestone introdujo el concepto de variables transversales en este artículo y presentó una estructura para extender la analogía a otros dominios energéticos. [57] Horace M. Trent propuso una variación de la analogía fuerza-corriente en 1955 y es esta versión la que generalmente se entiende por analogía total y transversal. [58] Trent utilizó un método de gráfico lineal para representar redes, lo que ha dado como resultado que la analogía fuerza-corriente se asocie históricamente con gráficos lineales. La analogía fuerza-voltaje se utiliza históricamente con las representaciones de gráficos de enlaces, introducida en 1960 por Henry Paynter ; sin embargo, es posible utilizar cualquiera de las analogías con cualquiera de las representaciones si se desea. [59]
