La analogía de la movilidad, también llamada analogía de la admitancia o analogía de Firestone , es un método de representación de un sistema mecánico mediante un sistema eléctrico análogo. La ventaja de hacer esto es que existe un gran cuerpo de teoría y técnicas de análisis sobre sistemas eléctricos complejos, especialmente en el campo de los filtros . [1] Al convertirlas a una representación eléctrica, estas herramientas en el dominio eléctrico se pueden aplicar directamente a un sistema mecánico sin modificaciones. Otra ventaja se presenta en los sistemas electromecánicos : convertir la parte mecánica de un sistema de este tipo en el dominio eléctrico permite analizar todo el sistema como un todo unificado.
El comportamiento matemático del sistema eléctrico simulado es idéntico al comportamiento matemático del sistema mecánico representado. Cada elemento en el dominio eléctrico tiene un elemento correspondiente en el dominio mecánico con una ecuación constitutiva análoga . Todas las leyes del análisis de circuitos , como las leyes de Kirchhoff , que se aplican en el dominio eléctrico, también se aplican a la analogía de la movilidad mecánica.
La analogía de la movilidad es una de las dos principales analogías mecánico-eléctricas utilizadas para representar sistemas mecánicos en el dominio eléctrico, siendo la otra la analogía de la impedancia . Los papeles del voltaje y la corriente se invierten en estos dos métodos, y las representaciones eléctricas producidas son circuitos duales entre sí. La analogía de la movilidad preserva la topología del sistema mecánico cuando se transfiere al dominio eléctrico, mientras que la analogía de la impedancia no. Por otro lado, la analogía de la impedancia preserva la analogía entre la impedancia eléctrica y la impedancia mecánica , mientras que la analogía de la movilidad no.
La analogía de la movilidad se utiliza ampliamente para modelar el comportamiento de los filtros mecánicos . Se trata de filtros que están pensados para su uso en un circuito electrónico, pero que funcionan íntegramente mediante ondas vibratorias mecánicas. Se proporcionan transductores en la entrada y salida del filtro para convertir entre los dominios eléctrico y mecánico. [2]
Otro uso muy común es en el ámbito de los equipos de audio, como por ejemplo los altavoces. Los altavoces constan de un transductor y piezas mecánicas móviles. Las ondas acústicas en sí mismas son ondas de movimiento mecánico: de moléculas de aire o de algún otro medio fluido. [3]
Antes de poder desarrollar una analogía eléctrica para un sistema mecánico, primero se debe describir como una red mecánica abstracta . El sistema mecánico se divide en una serie de elementos ideales, cada uno de los cuales puede combinarse con un análogo eléctrico. [4] Los símbolos utilizados para estos elementos mecánicos en los diagramas de red se muestran en las siguientes secciones en cada elemento individual.
Las analogías mecánicas de los elementos eléctricos agrupados también son elementos agrupados , es decir, se supone que el componente mecánico que posee el elemento es lo suficientemente pequeño como para que se pueda despreciar el tiempo que tardan las ondas mecánicas en propagarse de un extremo del componente al otro. También se pueden desarrollar analogías para elementos distribuidos , como líneas de transmisión , pero los mayores beneficios se obtienen con los circuitos de elementos agrupados. Se requieren analogías mecánicas para los tres elementos eléctricos pasivos, a saber, resistencia , inductancia y capacitancia . Cuáles son estas analogías está determinada por qué propiedad mecánica se elige para representar el voltaje y qué propiedad se elige para representar la corriente . [5] En la analogía de la movilidad, el análogo del voltaje es la velocidad y el análogo de la corriente es la fuerza . [6] La impedancia mecánica se define como la relación entre fuerza y velocidad, por lo que no es análoga a la impedancia eléctrica . Más bien, es el análogo de la admitancia eléctrica , lo inverso de la impedancia. La admitancia mecánica se denomina más comúnmente movilidad, [7] de ahí el nombre de la analogía. [8]
La analogía mecánica de la resistencia eléctrica es la pérdida de energía de un sistema en movimiento a través de procesos como la fricción . Un componente mecánico análogo a una resistencia es un amortiguador y la propiedad análoga a la resistencia inversa (conductancia) es la amortiguación (inversa, porque la impedancia eléctrica es la analogía de la inversa de la impedancia mecánica). Una resistencia se rige por la ecuación constitutiva de la ley de Ohm ,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es,
La conductancia eléctrica representa la parte real de la admitancia eléctrica . Asimismo, la resistencia mecánica es la parte real de la impedancia mecánica . [11]
La analogía mecánica de la inductancia en la analogía de la movilidad es la conformidad. Es más común en mecánica hablar de rigidez , lo inverso de la flexibilidad. Un componente mecánico análogo a un inductor es un resorte . Un inductor se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es una forma de la ley de Hooke ,
La impedancia de un inductor es puramente imaginaria y está dada por,
La admitancia mecánica análoga viene dada por,
La analogía mecánica de la capacitancia en la analogía de la movilidad es la masa . Un componente mecánico análogo a un condensador es un peso rígido grande o un inerte mecánico .
Un condensador se rige por la ecuación constitutiva,
La ecuación análoga en el dominio mecánico es la segunda ley del movimiento de Newton ,
La impedancia de un condensador es puramente imaginaria y está dada por,
La admitancia mecánica análoga viene dada por,
Una curiosa dificultad surge con la masa como analogía de un elemento eléctrico. Está relacionado con el hecho de que en los sistemas mecánicos la velocidad de la masa (y más importante, su aceleración) siempre se mide respecto de algún sistema de referencia fijo, normalmente la Tierra. Considerada como un elemento de sistema de dos terminales, la masa tiene un terminal a velocidad "u", análoga al potencial eléctrico. El otro terminal está a velocidad cero y es análogo al potencial eléctrico de tierra. Por tanto, la masa no se puede utilizar como analogía de un condensador sin conexión a tierra. [17]
Esto llevó a Malcolm C. Smith de la Universidad de Cambridge a definir en 2002 un nuevo elemento de almacenamiento de energía para redes mecánicas llamado inertancia . Un componente que posee inertancia se llama inerte . A los dos terminales de un inerte, a diferencia de una masa, se les permite tener dos velocidades y aceleraciones diferentes y arbitrarias. La ecuación constitutiva de un inerte viene dada por, [18]
La inertancia tiene las mismas unidades que la masa (kilogramos en el sistema SI ) y el nombre indica su relación con la inercia . Smith no se limitó a definir un elemento teórico de redes, sino que también sugirió la construcción de un componente mecánico real e hizo un pequeño prototipo. El inerte de Smith consiste en un émbolo capaz de deslizarse hacia adentro o hacia afuera de un cilindro. El émbolo está conectado a un piñón y cremallera que acciona un volante dentro del cilindro. Puede haber dos volantes de inercia que giren en sentido contrario para evitar que se desarrolle un par . La energía proporcionada al empujar el émbolo hacia adentro se devolverá cuando el émbolo se mueva en la dirección opuesta, por lo que el dispositivo almacena energía en lugar de disiparla como un bloque de masa. Sin embargo, la masa real del inerte puede ser muy pequeña; un inerte ideal no tiene masa. Dos puntos del inerizador, el émbolo y la caja del cilindro, se pueden conectar de forma independiente a otras partes del sistema mecánico sin que ninguno de ellos esté necesariamente conectado a tierra. [19]
El inerte de Smith ha encontrado una aplicación en las carreras de Fórmula Uno , donde se le conoce como amortiguador J. Se utiliza como alternativa al amortiguador de masa adaptado, ahora prohibido , y forma parte de la suspensión del vehículo. Es posible que McLaren lo haya utilizado por primera vez en secreto en 2005 tras una colaboración con Smith. Ahora se cree que otros equipos lo están utilizando. El inerte es mucho más pequeño que el amortiguador de masa ajustado y suaviza las variaciones de carga de la zona de contacto de los neumáticos. [20] Smith también sugiere usar el inertizador para reducir la vibración de la máquina. [21]
La dificultad con la masa en las analogías mecánicas no se limita a la analogía de la movilidad. Un problema similar también ocurre en la analogía de la impedancia, pero en ese caso son los inductores no conectados a tierra, y no los capacitores, los que no se pueden representar con los elementos estándar. [22]
Un resonador mecánico consta de un elemento de masa y un elemento de distensibilidad. Los resonadores mecánicos son análogos a los circuitos eléctricos LC que constan de inductancia y capacitancia. Los componentes mecánicos reales inevitablemente tienen masa y elasticidad, por lo que es una propuesta práctica fabricar resonadores como un solo componente. De hecho, es más difícil hacer una masa pura o una conformidad pura como un solo componente. Se puede fabricar un resorte con una cierta elasticidad y una masa minimizada, o se puede fabricar una masa con una elasticidad minimizada, pero ninguna de las dos se puede eliminar por completo. Los resonadores mecánicos son un componente clave de los filtros mecánicos. [23]
Existen análogos para los elementos eléctricos activos de la fuente de voltaje y la fuente de corriente (generadores). El análogo mecánico en la analogía de la movilidad del generador de corriente constante es el generador de fuerza constante. El análogo mecánico del generador de voltaje constante es el generador de velocidad constante. [26]
Un ejemplo de generador de fuerza constante es el resorte de fuerza constante . Un ejemplo de un generador de velocidad constante práctico es una máquina potente ligeramente cargada, como un motor , que acciona una correa . Esto es análogo a una fuente de voltaje real, como una batería, que permanece cerca de un voltaje constante con carga siempre que la resistencia de la carga sea mucho mayor que la resistencia interna de la batería. [27]
Los sistemas electromecánicos requieren transductores para convertir entre los dominios eléctrico y mecánico. Son análogas a las redes de dos puertos y, como éstas, pueden describirse mediante un par de ecuaciones simultáneas y cuatro parámetros arbitrarios. Existen numerosas representaciones posibles, pero la forma más aplicable a la analogía de la movilidad tiene los parámetros arbitrarios en unidades de admitancia. En forma matricial (con el lado eléctrico tomado como puerto 1), esta representación es,
El elemento es la admitancia mecánica de cortocircuito, es decir, la admitancia que presenta el lado mecánico del transductor cuando se aplica voltaje cero (cortocircuito) al lado eléctrico. El elemento , por el contrario, es la admitancia eléctrica descargada, es decir, la admitancia que se presenta al lado eléctrico cuando el lado mecánico no está impulsando una carga (fuerza cero). Los dos elementos restantes, y , describen las funciones de transferencia directa e inversa del transductor, respectivamente. Ambos son análogos a las admitancias de transferencia y son relaciones híbridas de una cantidad eléctrica y mecánica. [28]
La analogía mecánica de un transformador es una máquina simple como una polea o una palanca . La fuerza aplicada a la carga puede ser mayor o menor que la fuerza de entrada dependiendo de si la ventaja mecánica de la máquina es mayor o menor que la unidad respectivamente. La ventaja mecánica es análoga a la inversa de la relación de espiras del transformador en la analogía de la movilidad. Una ventaja mecánica menor que la unidad es análoga a un transformador elevador y mayor que la unidad es análoga a un transformador reductor. [29]
La figura muestra una disposición mecánica de una plataforma de masa M que está suspendida sobre el sustrato mediante un resorte de rigidez S y un amortiguador de resistencia R m . El circuito equivalente de la analogía de la movilidad se muestra a la derecha de esta disposición y consta de un circuito resonante paralelo . Este sistema tiene una frecuencia resonante y puede tener una frecuencia natural de oscilación si no se amortigua demasiado. [30]
La principal ventaja de la analogía de la movilidad sobre su alternativa, la analogía de la impedancia , es que preserva la topología del sistema mecánico. Los elementos que están en serie en el sistema mecánico están en serie en el circuito equivalente eléctrico y los elementos en paralelo en el sistema mecánico permanecen en paralelo en el equivalente eléctrico. [31]
La principal desventaja de la analogía de la movilidad es que no mantiene la analogía entre la impedancia eléctrica y la mecánica. La impedancia mecánica se representa como una admitancia eléctrica y la resistencia mecánica se representa como una conductancia eléctrica en el circuito eléctrico equivalente. La fuerza no es análoga al voltaje ( los voltajes del generador a menudo se denominan fuerza electromotriz ), sino que es análogo a la corriente. [17]
Históricamente, la analogía de la impedancia se utilizó mucho antes que la analogía de la movilidad. La admitancia mecánica y la analogía de la movilidad asociada fueron introducidas por FA Firestone en 1932 para superar el problema de la preservación de las topologías. [32] W. Hähnle tuvo la misma idea de forma independiente en Alemania. Horace M. Trent desarrolló un tratamiento para las analogías en general desde la perspectiva de la teoría matemática de grafos e introdujo una nueva analogía propia. [33]
