En matemáticas, un subconjunto de un conjunto dado se cierra bajo una operación del conjunto más grande si al realizar esa operación en miembros del subconjunto siempre se produce un miembro de ese subconjunto. Por ejemplo, los números naturales son cerrados en suma, pero no en resta: 1 − 2 no es un número natural, aunque tanto 1 como 2 lo son.
De manera similar, se dice que un subconjunto está cerrado bajo un conjunto de operaciones si está cerrado bajo cada una de las operaciones individualmente.
El cierre de un subconjunto es el resultado de un operador de cierre aplicado al subconjunto. El cierre de un subconjunto bajo algunas operaciones es el superconjunto más pequeño que se cierra bajo estas operaciones. A menudo se le llama tramo (por ejemplo tramo lineal ) o conjunto generado .
Sea S un conjunto equipado con uno o varios métodos para producir elementos de S a partir de otros elementos de S. [nota 1] Se dice que un subconjunto X de S está cerrado según estos métodos, si, cuando todos los elementos de entrada están en X , todos los resultados posibles también están en X . A veces también se puede decir que X tiene lapropiedad de cierre .
La propiedad principal de los conjuntos cerrados, que resulta inmediatamente de la definición, es que toda intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Se deduce que para cada subconjunto Y de S , hay un subconjunto cerrado más pequeño X de S tal que (es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen Y ). Dependiendo del contexto, X se denomina cierre de Y o el conjunto generado o abarcado por Y.
Los conceptos de conjuntos cerrados y cierre a menudo se extienden a cualquier propiedad de subconjuntos que sean estables en la intersección; es decir, toda intersección de subconjuntos que tienen la propiedad también la tiene. Por ejemplo, en un conjunto cerrado de Zariski , también conocido como conjunto algebraico , es el conjunto de los ceros comunes de una familia de polinomios, y el cierre de Zariski de un conjunto V de puntos es el conjunto algebraico más pequeño que contiene a V.
Una estructura algebraica es un conjunto dotado de operaciones que satisfacen algunos axiomas . Estos axiomas pueden ser identidades . Algunos axiomas pueden contener cuantificadores existenciales, en este caso vale la pena agregar algunas operaciones auxiliares para que todos los axiomas se conviertan en identidades o fórmulas puramente cuantificadas universalmente . Consulte Estructura algebraica para obtener más detalles.
En este contexto, dada una estructura algebraica S , una subestructura de S es un subconjunto que está cerrado bajo todas las operaciones de S , incluidas las operaciones auxiliares que se necesitan para evitar cuantificadores existenciales. Una subestructura es una estructura algebraica del mismo tipo que S. De ello se deduce que, en un ejemplo específico, cuando se demuestra la cercanía, no es necesario comprobar los axiomas para demostrar que una subestructura es una estructura del mismo tipo.
Dado un subconjunto X de una estructura algebraica S , el cierre de X es la subestructura más pequeña de S que está cerrada bajo todas las operaciones de S. En el contexto de las estructuras algebraicas, esta clausura generalmente se denomina subestructura generada o abarcada por X , y se dice que X es un conjunto generador de la subestructura.
Por ejemplo, un grupo es un conjunto con una operación asociativa , a menudo llamada multiplicación , con un elemento identidad , tal que cada elemento tiene un elemento inverso . Aquí, las operaciones auxiliares son la operación nula que da como resultado el elemento identidad y la operación unaria de inversión. Un subconjunto de un grupo que está cerrado bajo multiplicación e inversión también está cerrado bajo la operación nula (es decir, contiene la identidad) si y sólo si no está vacío. Entonces, un subconjunto no vacío de un grupo que está cerrado mediante multiplicación e inversión es un grupo que se llama subgrupo . El subgrupo generado por un solo elemento, es decir, el cierre de este elemento, se llama grupo cíclico .
En álgebra lineal , el cierre de un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (bajo operaciones en el espacio vectorial, es decir, suma y multiplicación escalar) es el tramo lineal de este subconjunto. Es un espacio vectorial por el resultado general anterior, y se puede demostrar fácilmente que es el conjunto de combinaciones lineales de elementos del subconjunto.
Se pueden dar ejemplos similares para casi todas las estructuras algebraicas, a veces con alguna terminología específica. Por ejemplo, en un anillo conmutativo , la clausura de un solo elemento bajo operaciones ideales se llama ideal principal .
En topología y ramas relacionadas, la operación relevante está tomando límites. El cierre topológico de un conjunto es el operador de cierre correspondiente. Los axiomas de cierre de Kuratowski caracterizan a este operador.
Una relación binaria en un conjunto A se puede definir como un subconjunto R del conjunto de pares ordenados de elementos de A. La notación se usa comúnmente para muchas propiedades u operaciones en relaciones que se pueden usar para definir cierres. Algunos de los más comunes son los siguientes:
Un preorden es una relación reflexiva y transitiva. De ello se deduce que el cierre transitivo reflexivo de una relación es el preorden más pequeño que la contiene. De manera similar, el cierre simétrico transitivo reflexivo o cierre de equivalencia de una relación es la relación de equivalencia más pequeña que la contiene.
En las secciones anteriores, se consideran cierres para subconjuntos de un conjunto determinado. Los subconjuntos de un conjunto forman un conjunto parcialmente ordenado (poset) para su inclusión . Los operadores de cierre permiten generalizar el concepto de cierre a cualquier conjunto parcialmente ordenado.
Dado un poset S cuyo orden parcial se denota con ≤ , un operador de cierre en S es una función creciente ( para todos ), idempotente ( ) y monótona ( ). [4]
De manera equivalente, una función de S a S es un operador de cierre si para todos
Un elemento de S es cerrado si es su propio cierre, es decir, si Por idempotencia, un elemento es cerrado si y sólo si es el cierre de algún elemento de S.
Un ejemplo de un operador de cierre que no opera en subconjuntos lo da la función techo , que asigna cada número real x al entero más pequeño que no sea menor que x .
Un cierre de los subconjuntos de un conjunto dado puede definirse mediante un operador de cierre o mediante un conjunto de conjuntos cerrados que sea estable en la intersección e incluya el conjunto dado. Estas dos definiciones son equivalentes.
De hecho, las propiedades definitorias de un operador de cierre C implican que una intersección de conjuntos cerrados es cerrada: si es una intersección de conjuntos cerrados, entonces debe contener X y estar contenido en cada Esto implica por definición de intersección.
Por el contrario, si se dan conjuntos cerrados y cada intersección de conjuntos cerrados es cerrada, entonces se puede definir un operador de cierre C tal que sea la intersección de los conjuntos cerrados que contienen X.
Esta equivalencia sigue siendo cierta para conjuntos parcialmente ordenados con la propiedad de límite inferior mayor , si se reemplazan "conjuntos cerrados" por "elementos cerrados" y "intersección" por "límite inferior máximo".
...la carcasa convexa de S, denotada por coS, es el conjunto convexo más pequeño que contiene S.
