Utilidad ordinal

Clasificación de preferencias

En economía , una función de utilidad ordinal es una función que representa las preferencias de un agente en una escala ordinal . La teoría de la utilidad ordinal sostiene que sólo tiene sentido preguntar qué opción es mejor que la otra, pero no tiene sentido preguntar cuánto mejor o qué tan buena es. Toda la teoría de la toma de decisiones del consumidor en condiciones de certeza puede expresarse, y normalmente lo hace, en términos de utilidad ordinal.

Por ejemplo, supongamos que George nos dice que "prefiero A a B y B a C". Las preferencias de George pueden representarse mediante una función u tal que:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

Pero los críticos de la utilidad cardinal sostienen que el único mensaje significativo de esta función es el orden ; los números reales no tienen sentido. Por lo tanto, las preferencias de George también pueden representarse mediante la siguiente función v : ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

Las funciones u y v son ordinalmente equivalentes: representan las preferencias de George igualmente bien.

La utilidad ordinal contrasta con la teoría de la utilidad cardinal : esta última supone que las diferencias entre preferencias también son importantes. En u, la diferencia entre A y B es mucho menor que entre B y C, mientras que en v ocurre lo contrario. Por lo tanto, u y v no son cardinalmente equivalentes.

El concepto de utilidad ordinal fue introducido por primera vez por Pareto en 1906. ^[1]

Notación

Supongamos que el conjunto de todos los estados del mundo es y que un agente tiene una relación de preferencia sobre . Es común marcar la relación de preferencia débil con , de modo que se lea "el agente quiere B al menos tanto como A". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle A\preceq B}$

El símbolo se utiliza como una abreviatura de la relación de indiferencia: , que dice "El agente es indiferente entre B y A". ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$

El símbolo se utiliza como abreviatura de la relación de preferencia fuerte: si: ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

Conceptos relacionados

Mapeos de curvas de indiferencia

En lugar de definir una función numérica, la relación de preferencia de un agente se puede representar gráficamente mediante curvas de indiferencia. Esto es especialmente útil cuando hay dos tipos de bienes, x e y . En ese caso, cada curva de indiferencia muestra un conjunto de puntos tales que, si y están en la misma curva, entonces . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

A continuación se muestra un ejemplo de curva de indiferencia:

Cada curva de indiferencia es un conjunto de puntos, cada uno de los cuales representa una combinación de cantidades de dos bienes o servicios, con todas las cuales el consumidor está igualmente satisfecho. Cuanto más alejada esté una curva del origen, mayor será el nivel de utilidad.

La pendiente de la curva (el negativo de la relación marginal de sustitución de X por Y) en cualquier punto muestra la tasa a la que el individuo está dispuesto a intercambiar el bien X por el bien Y manteniendo el mismo nivel de utilidad. La curva es convexa hacia el origen, como se muestra suponiendo que el consumidor tiene una relación marginal de sustitución decreciente. Se puede demostrar que el análisis del consumidor con curvas de indiferencia (un enfoque ordinal) da los mismos resultados que el basado en la teoría de la utilidad cardinal , es decir, los consumidores consumirán en el punto en el que la relación marginal de sustitución entre dos bienes cualesquiera sea igual a la relación de los precios de esos bienes (el principio equimarginal).

Preferencia revelada

La teoría de la preferencia revelada aborda el problema de cómo observar las relaciones de preferencia ordinal en el mundo real. El desafío de la teoría de la preferencia revelada radica en parte en determinar qué paquetes de bienes se dejaron de lado, sobre la base de que eran menos apreciados, cuando se observa que los individuos eligen paquetes de bienes particulares. ^{[2] [3]}

Condiciones necesarias para la existencia de la función de utilidad ordinal

Algunas condiciones son necesarias para garantizar la existencia de una función de representación: ${\displaystyle \preceq }$

• Transitividad : si y entonces . ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq C}$ ${\displaystyle A\preceq C}$
• Completitud: para todos los paquetes : uno u otro o ambos. ${\displaystyle A,B\in X}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq A}$
  • La completitud implica también reflexividad: para cada : . ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle A\preceq A}$

Cuando se cumplen estas condiciones y el conjunto es finito, es fácil crear una función que represente a , simplemente asignando un número apropiado a cada elemento de , como se ejemplifica en el párrafo inicial. Lo mismo es cierto cuando X es infinitamente numerable . Además, es posible construir inductivamente una función de utilidad representativa cuyos valores estén en el rango . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

Cuando es infinito, estas condiciones son insuficientes. Por ejemplo, las preferencias lexicográficas son transitivas y completas, pero no pueden ser representadas por ninguna función de utilidad. ^[4] La condición adicional requerida es la continuidad. ${\displaystyle X}$

Continuidad

Una relación de preferencia se denomina continua si, siempre que se prefiera B a A, pequeñas desviaciones con respecto a B o A no invertirán el orden entre ellos. Formalmente, una relación de preferencia en un conjunto X se denomina continua si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Para cada , el conjunto está topológicamente cerrado con la topología del producto (esta definición requiere ser un espacio topológico ). ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$
2. Para cada secuencia , si para todos los i y y , entonces . ${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle B_{i}\to B}$ ${\displaystyle A\preceq B}$
3. Para cada uno tal que , existe una bola alrededor y una bola alrededor tal que, para cada uno en la bola alrededor y cada uno en la bola alrededor de , (esta definición requiere ser un espacio métrico ). ${\displaystyle A,B\in X}$ ${\displaystyle A\prec B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\prec b}$ ${\displaystyle X}$

Si una relación de preferencia está representada por una función de utilidad continua, entonces es claramente continua. Según los teoremas de Debreu (1954) , lo opuesto también es cierto:

Toda relación de preferencia completa continua puede representarse mediante una función de utilidad ordinal continua.

Obsérvese que las preferencias lexicográficas no son continuas. Por ejemplo, , pero en cada bola alrededor de (5,1) hay puntos con y estos puntos son inferiores a . Esto está de acuerdo con el hecho, indicado anteriormente, de que estas preferencias no pueden representarse mediante una función de utilidad. ${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$ ${\displaystyle x<5}$ ${\displaystyle (5,0)}$

Unicidad

Para cada función de utilidad v , existe una relación de preferencia única representada por v . Sin embargo, lo opuesto no es cierto: una relación de preferencia puede estar representada por muchas funciones de utilidad diferentes. Las mismas preferencias podrían expresarse como cualquier función de utilidad que sea una transformación monótonamente creciente de v . Por ejemplo, si

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

donde es cualquier función monótonamente creciente, entonces las funciones v y v dan lugar a aplicaciones de curvas de indiferencia idénticas. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Esta equivalencia se describe sucintamente de la siguiente manera:

Una función de utilidad ordinal es única hasta una transformación monótona creciente .

Por el contrario, una función de utilidad cardinal es única hasta que aumenta la transformación afín . Toda transformación afín es monótona; por lo tanto, si dos funciones son cardinalmente equivalentes también son ordinalmente equivalentes, pero no al revés.

Monotonía

Supongamos, de ahora en adelante, que el conjunto es el conjunto de todos los vectores reales bidimensionales no negativos. Por lo tanto, un elemento de es un par que representa las cantidades consumidas de dos productos, por ejemplo, manzanas y plátanos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Entonces, en determinadas circunstancias, una relación de preferencia está representada por una función de utilidad . ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

Supongamos que la relación de preferencia aumenta monótonamente , lo que significa que "más siempre es mejor":

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y')\prec (x,y')}$

Entonces, ambas derivadas parciales, si existen, de v son positivas. En resumen:

Si una función de utilidad representa una relación de preferencia monótonamente creciente, entonces la función de utilidad es monótonamente creciente.

Tasa marginal de sustitución

Supongamos que una persona tiene una cesta y afirma que le es indiferente esta cesta y la cesta . Esto significa que está dispuesta a dar unidades de x para obtener unidades de y. Si esta relación se mantiene en , decimos que es la relación marginal de sustitución (RMS) entre x e y en el punto . ^{[5] : 82} ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$ ${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Esta definición de la TMS se basa únicamente en la relación de preferencia ordinal; no depende de una función de utilidad numérica. Si la relación de preferencia está representada por una función de utilidad y la función es diferenciable, entonces la TMS se puede calcular a partir de las derivadas de esa función:

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

Por ejemplo, si la relación de preferencia está representada por entonces , la TMS es la misma para la función . Esto no es una coincidencia, ya que estas dos funciones representan la misma relación de preferencia: cada una es una transformación monótona creciente de la otra. ${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$ ${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$ ${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

En general, la MRS puede ser diferente en distintos puntos . Por ejemplo, es posible que en la MRS sea baja porque la persona tiene mucho x y solo un y , pero en o la MRS sea más alta. A continuación se describen algunos casos especiales. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (9,1)}$ ${\displaystyle (9,9)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Linealidad

Cuando la MRS de una determinada relación de preferencia no depende del paquete, es decir, la MRS es la misma para todos , las curvas de indiferencia son lineales y de la forma: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

y la relación de preferencia se puede representar mediante una función lineal:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(Por supuesto, la misma relación puede representarse mediante muchas otras funciones no lineales, como o , pero la función lineal es la más simple). ^{[5] : 85} ${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$ ${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

Cuasilinealidad

Cuando la MRS depende de pero no de , la relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad cuasilineal , de la forma ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

donde es una función monótonamente creciente. Como la TMS es una función , una posible función se puede calcular como una integral de : ^{[6] [5] : 87} ${\displaystyle v_{Y}}$ ${\displaystyle \lambda (y)}$ ${\displaystyle v_{Y}}$ ${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

En este caso, todas las curvas de indiferencia son paralelas: son transferencias horizontales entre sí.

Aditividad con dos bienes

Un tipo más general de función de utilidad es una función aditiva :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

Hay varias formas de comprobar si las preferencias dadas son representables mediante una función de utilidad aditiva.

Propiedad de doble cancelación

Si las preferencias son aditivas, entonces un cálculo aritmético simple muestra que

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$y

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$implica

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

Por lo tanto, esta propiedad de "doble cancelación" es una condición necesaria para la aditividad.

Debreu (1960) demostró que esta propiedad también es suficiente: es decir, si una relación de preferencia satisface la propiedad de doble cancelación, entonces puede representarse mediante una función de utilidad aditiva. ^[7]

Propiedad de compensaciones correspondientes

Si las preferencias están representadas por una función aditiva, entonces un cálculo aritmético simple muestra que

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

Por lo tanto, esta propiedad de "compensaciones correspondientes" es una condición necesaria para la aditividad. Esta condición también es suficiente. ^{[8] [5] : 91}

Aditividad con tres o más bienes

Cuando hay tres o más bienes, la condición para la aditividad de la función de utilidad es sorprendentemente más simple que para dos bienes. Esto es un resultado del Teorema 3 de Debreu (1960) . La condición requerida para la aditividad es la independencia preferencial . ^{[5] : 104}

Se dice que un subconjunto A de bienes es preferentemente independiente de un subconjunto B de bienes, si la relación de preferencia en el subconjunto A, dados valores constantes para el subconjunto B, es independiente de estos valores constantes. Por ejemplo, supongamos que hay tres bienes: x y y z . El subconjunto { x , y } es preferentemente independiente del subconjunto { z }, si para todo : ${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

En este caso, podemos decir simplemente que:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$para z constante .

La independencia preferencial tiene sentido en el caso de bienes independientes . Por ejemplo, las preferencias entre paquetes de manzanas y plátanos son probablemente independientes del número de zapatos y calcetines que tenga un agente, y viceversa.

Según el teorema de Debreu, si todos los subconjuntos de bienes son preferencialmente independientes de sus complementos, entonces la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditivo. Aquí proporcionamos una explicación intuitiva de este resultado mostrando cómo se puede construir dicha función de valor aditivo. ^[5] La prueba supone tres bienes: x , y , z . Mostramos cómo definir tres puntos para cada una de las tres funciones de valor : el punto 0, el punto 1 y el punto 2 . Se pueden calcular otros puntos de manera similar y luego se puede utilizar la continuidad para concluir que las funciones están bien definidas en todo su rango. ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 puntos : elige uno arbitrario y asígnalo como el cero de la función de valor, es decir: ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 punto : elija un valor arbitrario tal que . Establézcalo como unidad de valor, es decir: ${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

Elija y de manera que se cumplan las siguientes relaciones de indiferencia: ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

Esta indiferencia sirve para escalar las unidades de y y z para que coincidan con las de x . El valor en estos tres puntos debe ser 1, por lo que asignamos

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 puntos : Ahora utilizamos el supuesto de independencia preferencial. La relación entre y es independiente de z , y de manera similar la relación entre y es independiente de x y la relación entre y es independiente de y . Por lo tanto ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ ${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$ ${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$ ${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$ ${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

Esto es útil porque significa que la función v puede tener el mismo valor – 2 – en estos tres puntos. Seleccione de manera que ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

y asignar

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 puntos : Para demostrar que nuestras asignaciones hasta ahora son consistentes, debemos demostrar que todos los puntos que reciben un valor total de 3 son puntos de indiferencia. Aquí, nuevamente, se utiliza el supuesto de independencia preferencial, ya que la relación entre y es independiente de z (y lo mismo ocurre con los otros pares); por lo tanto ${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

Y lo mismo ocurre con los demás pares. Por lo tanto, el punto 3 se define de manera coherente.

Podemos continuar así por inducción y definir las funciones por producto en todos los puntos enteros, luego usar la continuidad para definirlas en todos los puntos reales.

Una suposición implícita en el punto 1 de la prueba anterior es que los tres productos son esenciales o relevantes para la preferencia . ^{[7] : 7} Esto significa que existe un paquete tal que, si se aumenta la cantidad de un determinado producto, el nuevo paquete es estrictamente mejor.

La prueba para más de 3 productos es similar. De hecho, no tenemos que comprobar que todos los subconjuntos de puntos sean preferentemente independientes; es suficiente comprobar un número lineal de pares de productos. Por ejemplo, si hay diferentes productos, , entonces es suficiente comprobar que para todos los , los dos productos son preferentemente independientes de los otros productos. ^{[5] : 115} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j=1,...,m}$ ${\displaystyle j=1,...,m-1}$ ${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$ ${\displaystyle m-2}$

Unicidad de la representación aditiva

Una relación de preferencia aditiva puede representarse mediante muchas funciones de utilidad aditivas diferentes. Sin embargo, todas estas funciones son similares: no sólo son transformaciones monótonas crecientes entre sí (como lo son todas las funciones de utilidad que representan la misma relación), sino que son transformaciones lineales crecientes entre sí. ^{[7] : 9} En resumen,

Una función de utilidad ordinal aditiva es única hasta que aumenta la transformación lineal .

Construcción de funciones de utilidad aditivas y cuadráticas a partir de datos ordinales

Los fundamentos matemáticos de los tipos más comunes de funciones de utilidad —cuadráticas y aditivas— establecidos por Gérard Debreu ^{[9] [10]} permitieron a Andranik Tangian desarrollar métodos para su construcción a partir de datos puramente ordinales. En particular, las funciones de utilidad aditivas y cuadráticas en variables pueden construirse a partir de entrevistas a tomadores de decisiones, donde las preguntas tienen como objetivo trazar curvas de indiferencia totalmente bidimensionales en planos de coordenadas sin hacer referencia a estimaciones de utilidad cardinal. ^{[11] [12]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Comparación entre funciones de utilidad ordinales y cardinales

La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:

Véase también

• Preferencia (economía)
• Utilidad multi-atributo
• Teoría del consumidor
• Utilidad marginal
• Teoría de celosía
• Preferencias convexas

Referencias

1. Pareto, Vilfredo (1906). "Manual de economía política, con una introducción a la ciencia social". Societa Editrice Libraria .
2. Chiaki Hara (6 de junio de 1998). "Teoría de la preferencia revelada". Séptima reunión de Toiro-kai (1997/1998) .
3. Botond Koszegi; Matthew Rabin (mayo de 2007). "Errores en el análisis del bienestar basado en la elección" (PDF) . American Economic Review: artículos y actas . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . doi :10.1257/aer.97.2.477. Archivado desde el original (PDF) el 15 de octubre de 2008. 
4. Ariel Rubinstein, Apuntes de teoría microeconómica, Lección 2 – Utilidad
5. Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisiones con objetivos múltiples . ISBN 978-0-521-44185-8.
6. Peter Mark Pruzan y JT Ross Jackson (1963). "Sobre el desarrollo de espacios de servicios públicos para sistemas multiobjetivo". Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift .
7. Bergstrom, Ted. "Lecture Notes on Separable Preferences" (PDF) . UCSB Econ . Consultado el 18 de agosto de 2015 .
8. Luce, R. Duncan; Tukey, John W. (1964). "Medición conjunta simultánea: un nuevo tipo de medición fundamental". Revista de psicología matemática . 1 : 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . doi :10.1016/0022-2496(64)90015-x. 
9. Debreu, Gérard (1952). "Formas cuadráticas definidas y semidefinidas". Econometrica . 20 (2): 295–300. doi :10.2307/1907852. JSTOR  1907852.
10. Debreu, Gérard (1960). "Métodos topológicos en la teoría de la utilidad cardinal". En Arrow, Kenneth (ed.). Métodos matemáticos en las ciencias sociales, 1959 (PDF) . Stanford: Stanford University Press. págs. 16-26. doi :10.1017/CCOL052123736X.010. ISBN 9781139052092.
11. Tangian, Andranik (2002). "Construcción de una función objetivo cuadrática cuasi-cóncava a partir de una entrevista a un tomador de decisiones". Revista Europea de Investigación Operativa . 141 (3): 608–640. doi :10.1016/S0377-2217(01)00185-0.
12. Tangian, Andranik (2004). "Un modelo para construir ordinalmente funciones objetivo aditivas". Revista Europea de Investigación Operativa . 159 (2): 476–512. doi :10.1016/S0377-2217(03)00413-2.

Enlaces externos

• La relación de preferencia lexicográfica no puede representarse mediante una función de utilidad. En Economics.SE
• Reconocimiento de órdenes lineales integrables en R2 ordenados lexicográficamente. En Math.SE.
• Murray N. Rothbard , "Hacia una reconstrucción de la economía de la utilidad y el bienestar"