En economía , una función o escala de utilidad cardinal es un índice de utilidad que preserva los ordenamientos de preferencias de forma única hasta transformaciones afines positivas . [1] [2] Dos índices de utilidad están relacionados mediante una transformación afín si para el valor de un índice u , que ocurre en cualquier cantidad de la cesta de bienes que se está evaluando, el valor correspondiente del otro índice v satisface una relación de la forma
para constantes fijas a y b . Así, las funciones de utilidad mismas están relacionadas por
Los dos índices difieren sólo con respecto a la escala y el origen. [1] Por lo tanto, si uno es cóncavo, también lo es el otro, en cuyo caso a menudo se dice que hay utilidad marginal decreciente .
En la teoría de la elección del consumidor , los economistas intentaron originalmente reemplazar la utilidad cardinal con el concepto aparentemente más débil de utilidad ordinal . La utilidad cardinal parece imponer el supuesto de que existen niveles de satisfacción absoluta , por lo que las magnitudes de los incrementos de satisfacción se pueden comparar en diferentes situaciones. Sin embargo, los economistas de la década de 1950 demostraron que, en condiciones moderadas, las utilidades ordinales implican utilidades cardinales. Este resultado se conoce ahora como teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern ; Muchos teoremas similares de representación de la utilidad pueden demostrarse bajo diferentes supuestos.
En 1738, Daniel Bernoulli fue el primero en teorizar sobre el valor marginal del dinero. Supuso que el valor de una cantidad adicional es inversamente proporcional a los bienes pecuniarios que ya posee una persona. Dado que Bernoulli asumió tácitamente que se puede descubrir una medida interpersonal para la reacción de utilidad de diferentes personas, estaba utilizando sin darse cuenta una concepción temprana de cardinalidad. [3]
La función de utilidad logarítmica imaginaria de Bernoulli y la función U = W 1/2 de Gabriel Cramer fueron concebidas en su momento no para una teoría de la demanda sino para resolver el juego de San Petersburgo . Bernoulli asumió que "un hombre pobre generalmente obtiene más utilidad que un hombre rico con una ganancia igual" [4] un enfoque que es más profundo que la simple expectativa matemática del dinero, ya que implica una ley de expectativa moral .
Los primeros teóricos de la utilidad consideraban que tenía atributos físicamente cuantificables. Pensaban que la utilidad se comportaba como las magnitudes de la distancia o el tiempo, en las que el simple uso de una regla o un cronómetro daba como resultado una medida distinguible. "Utils" fue el nombre que realmente se le dio a las unidades en una báscula de servicios públicos.
En la época victoriana muchos aspectos de la vida sucumbían a la cuantificación. [5] La teoría de la utilidad pronto comenzó a aplicarse a las discusiones sobre filosofía moral. La idea esencial del utilitarismo es juzgar las decisiones de las personas observando sus cambios en las utilidades y medir si están mejor. El principal precursor de los principios utilitarios desde finales del siglo XVIII fue Jeremy Bentham , quien creía que la utilidad podía medirse mediante un examen introspectivo complejo y que debería guiar el diseño de políticas y leyes sociales. Para Bentham, una escala de placer tiene como unidad de intensidad "el grado de intensidad que posee ese placer, que es el más débil de todos los que pueden distinguirse como placer"; [6] también afirmó que, a medida que estos placeres aumentan en intensidad, cada vez mayores números podrían representarlos. [6] En los siglos XVIII y XIX, la mensurabilidad de la utilidad recibió mucha atención por parte de las escuelas europeas de economía política, sobre todo a través del trabajo de los marginalistas (por ejemplo, William Stanley Jevons , [7] Léon Walras , Alfred Marshall ). Sin embargo, ninguno de ellos ofreció argumentos sólidos para apoyar el supuesto de mensurabilidad. En el caso de Jevon, añadió a las ediciones posteriores de su obra una nota sobre la dificultad de estimar la utilidad con precisión. [6] Walras también luchó durante muchos años antes de poder siquiera intentar formalizar el supuesto de mensurabilidad. [8] Marshall se mostró ambiguo acerca de la mensurabilidad del hedonismo porque se adhirió a sus propiedades psicológico-hedonistas, pero también argumentó que era "poco realista" hacerlo. [9]
Los partidarios de la teoría de la utilidad cardinal en el siglo XIX sugirieron que los precios de mercado reflejan la utilidad, aunque no dijeron mucho sobre su compatibilidad (es decir, que los precios son objetivos mientras que la utilidad es subjetiva). Medir con precisión el placer (o el dolor ) subjetivo parecía incómodo, como seguramente sabían los pensadores de la época. Cambiaron el nombre de la utilidad de maneras imaginativas como riqueza subjetiva , felicidad general , valor moral , satisfacción psíquica u ofélimité . Durante la segunda mitad del siglo XIX se realizaron muchos estudios relacionados con esta magnitud ficticia, la utilidad, pero la conclusión fue siempre la misma: resultó imposible decir definitivamente si un bien vale 50, 75 o 125 utilidades para una persona. , o a dos personas diferentes. Además, la mera dependencia de la utilidad de las nociones de hedonismo llevó a los círculos académicos a ser escépticos ante esta teoría. [10]
Francis Edgeworth también era consciente de la necesidad de fundamentar la teoría de la utilidad en el mundo real. Discutió las estimaciones cuantitativas que una persona puede hacer de su propio placer o del placer de los demás, tomando prestados métodos desarrollados en psicología para estudiar la medición hedónica: la psicofísica . Este campo de la psicología se basó en el trabajo de Ernst H. Weber , pero en la época de la Primera Guerra Mundial, los psicólogos se desanimaron. [11] [12]
A finales del siglo XIX, Carl Menger y sus seguidores de la escuela austriaca de economía emprendieron el primer alejamiento exitoso de la utilidad mensurable, en la forma inteligente de una teoría de usos clasificados. A pesar de abandonar la idea de la utilidad cuantificable (es decir, la satisfacción psicológica representada en el conjunto de números reales), Menger logró establecer un conjunto de hipótesis sobre la toma de decisiones, basándose únicamente en unos pocos axiomas de preferencias clasificadas sobre los posibles usos de bienes y servicios. Sus ejemplos numéricos son "ilustrativos de relaciones ordinales, no cardinales". [13]
Hacia principios del siglo XIX, los economistas neoclásicos comenzaron a adoptar formas alternativas de abordar la cuestión de la mensurabilidad. En 1900, Pareto dudaba a la hora de medir con precisión el placer o el dolor porque pensaba que esa magnitud subjetiva carecía de validez científica. Quería encontrar una forma alternativa de tratar la utilidad que no dependiera de percepciones erráticas de los sentidos. [14] La principal contribución de Pareto a la utilidad ordinal fue asumir que las curvas de indiferencia más altas tienen mayor utilidad, pero no es necesario especificar cuánto mayor para obtener el resultado de tasas marginales de sustitución crecientes.
Las obras y manuales de Vilfredo Pareto, Francis Edgeworth, Irving Fischer y Eugene Slutsky se apartaron de la utilidad cardinal y sirvieron de pivote para que otros continuaran la tendencia de la ordinalidad. Según Viner, [15] a estos pensadores económicos se les ocurrió una teoría que explicaba las pendientes negativas de las curvas de demanda. Su método evitó la mensurabilidad de la utilidad mediante la construcción de algún mapa abstracto de curvas de indiferencia .
Durante las tres primeras décadas del siglo XX, economistas de Italia y Rusia se familiarizaron con la idea paretiana de que la utilidad no tiene por qué ser cardinal. Según Schultz, [16] en 1931 los economistas estadounidenses aún no adoptaban la idea de utilidad ordinal. El gran avance se produjo cuando John Hicks y Roy Allen elaboraron una teoría de la utilidad ordinal en 1934. [17] De hecho, las páginas 54-55 de este artículo contienen el primer uso del término "utilidad cardinal". [18] Sin embargo, el primer tratamiento de una clase de funciones de utilidad preservadas mediante transformaciones afines fue realizado en 1934 por Oskar Lange. [19]
En 1944, Frank Knight defendió ampliamente la utilidad cardinal. En la década de 1960, Parducci estudió los juicios humanos sobre magnitudes y sugirió una teoría de rango de frecuencia. [20] Desde finales del siglo XX, los economistas están teniendo un interés renovado en las cuestiones de medición de la felicidad . [21] [22] Este campo ha estado desarrollando métodos, encuestas e índices para medir la felicidad.
Se pueden derivar varias propiedades de las funciones de utilidad cardinales utilizando herramientas de la teoría de la medida y la teoría de conjuntos .
Una función de utilidad se considera medible si la fuerza de la preferencia o la intensidad del gusto por un bien o servicio se determina con precisión mediante el uso de algún criterio objetivo. Por ejemplo, supongamos que comer una manzana le da a una persona exactamente la mitad del placer que comer una naranja. Esta sería una utilidad mensurable si y sólo si la prueba empleada para su medición directa se basa en un criterio objetivo que permita a cualquier observador externo repetir los resultados con precisión. [23] Una forma hipotética de lograrlo sería mediante el uso de un hedonómetro , que fue el instrumento sugerido por Edgeworth para ser capaz de registrar el nivel de placer experimentado por las personas, divergiendo según una ley de errores. [11]
Antes de la década de 1930, los economistas etiquetaban erróneamente la mensurabilidad de las funciones de utilidad como cardinalidad. Los economistas que siguieron la formulación de Hicks-Allen utilizaron un significado diferente de cardinalidad. Según este uso, la cardinalidad de una función de utilidad es simplemente la propiedad matemática de unicidad hasta una transformación lineal. Hacia finales de la década de 1940, algunos economistas incluso se apresuraron a argumentar que la axiomatización de la utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern había resucitado la mensurabilidad. [14]
La confusión entre cardinalidad y mensurabilidad no se resolvió hasta las obras de Armen Alchian , [24] William Baumol, [25] y John Chipman. [26] El título del artículo de Baumol, "La utilidad cardinal que es ordinal", expresaba bien el desorden semántico de la literatura de la época.
Es útil considerar el mismo problema tal como aparece en la construcción de escalas de medición en las ciencias naturales. [27] En el caso de la temperatura existen dos grados de libertad para su medición: la elección de la unidad y el cero. Diferentes escalas de temperatura mapean su intensidad de diferentes maneras. En la escala Celsius se elige el cero como el punto donde el agua se congela, y de la misma manera, en la teoría de la utilidad cardinal uno estaría tentado a pensar que la elección del cero correspondería a un bien o servicio que aporta exactamente 0 utilidades. Sin embargo, esto no es necesariamente verdad. El índice matemático sigue siendo cardinal, incluso si el cero se mueve arbitrariamente a otro punto, o si se cambia la elección de la escala, o si se cambian tanto la escala como el cero. Cada entidad medible se asigna a una función cardinal, pero no toda función cardinal es el resultado del mapeo de una entidad medible. El objetivo de este ejemplo se utilizó para demostrar que (al igual que con la temperatura) todavía es posible predecir algo acerca de la combinación de dos valores de alguna función de utilidad, incluso si las utilidades se transforman en números completamente diferentes, siempre y cuando siga siendo una función de utilidad. transformación lineal.
Von Neumann y Morgenstern afirmaron que la cuestión de la mensurabilidad de las cantidades físicas era dinámica. Por ejemplo, originalmente la temperatura era un número sólo hasta cualquier transformación monótona, pero el desarrollo de la termometría de gases ideales condujo a transformaciones en las que faltaban el cero absoluto y la unidad absoluta. Los desarrollos posteriores de la termodinámica incluso fijaron el cero absoluto, de modo que el sistema de transformación en termodinámica consiste únicamente en la multiplicación por constantes. Según Von Neumann y Morgenstern (1944, p. 23) "En términos de utilidad, la situación parece ser de naturaleza similar [a la temperatura]".
La siguiente cita de Alchian sirvió para aclarar de una vez por todas [ cita necesaria ] la naturaleza real de las funciones de utilidad, enfatizando que ya no necesitan ser mensurables:
¿Podemos asignar un conjunto de números (medidas) a las distintas entidades y predecir que se elegirá la entidad con el mayor número asignado (medida)? Si es así, podríamos bautizar esta medida como "utilidad" y luego afirmar que las decisiones se toman para maximizar la utilidad. Es un paso fácil hacia la afirmación de que "estás maximizando tu utilidad", que no dice más que que tu elección es predecible de acuerdo con el tamaño de algunos números asignados. Por conveniencia analítica, se acostumbra postular que un individuo busca maximizar algo sujeto a algunas restricciones. La cosa -o medida numérica de la “cosa”- que se busca maximizar se llama “utilidad”. Que la utilidad sea o no de algún tipo resplandor, calidez o felicidad es aquí irrelevante; lo único que cuenta es que podemos asignar números a entidades o condiciones que una persona puede esforzarse por realizar. Entonces decimos que el individuo busca maximizar alguna función de esos números. Desgraciadamente, el término "utilidad" ha adquirido ya tantas connotaciones que resulta difícil darse cuenta de que, para los fines que nos ocupan, la utilidad no tiene más significado que este.
— Armen Alchian , El significado de la medición de la utilidad [24]
En 1955, Patrick Suppes y Muriel Winet resolvieron la cuestión de la representabilidad de las preferencias mediante una función de utilidad cardinal y derivaron el conjunto de axiomas y características primitivas necesarias para que este índice de utilidad funcionara. [28]
Supongamos que se le pide a un agente que clasifique sus preferencias de A en relación con B y sus preferencias de B en relación con C. Si descubre que puede afirmar, por ejemplo, que su grado de preferencia de A hacia B excede su grado de preferencia de B hacia C , podríamos resumir esta información mediante cualquier triplete de números que satisfagan las dos desigualdades: U A > U B > U C y U A − U B > U B − U C .
Si A y B fueran sumas de dinero, el agente podría variar la suma de dinero representada por B hasta poder decirnos que encontró que su grado de preferencia de A sobre la cantidad revisada B' es igual a su grado de preferencia de B' sobre C . Si encuentra tal B' , entonces los resultados de esta última operación se expresarían mediante cualquier triplete de números que satisfaga las relaciones: (a) U A > U B' > U C , y (b) U A − U B' = U B' - U C . Dos tripletas cualesquiera que obedezcan a estas relaciones deben estar relacionadas mediante una transformación lineal; representan índices de utilidad que difieren sólo por escala y origen. En este caso, "cardinalidad" no significa más que poder dar respuestas consistentes a estas preguntas particulares. Tenga en cuenta que este experimento no requiere mensurabilidad de la utilidad. Itzhak Gilboa da una sólida explicación de por qué la mensurabilidad nunca puede lograrse únicamente mediante la introspección :
Quizás te haya pasado que llevabas un montón de papeles, o ropa, y no te diste cuenta que se te cayeron algunos. La disminución en el peso total que llevaba probablemente no fue lo suficientemente grande como para que la notara. Dos objetos pueden estar demasiado cerca en términos de peso para que podamos notar la diferencia entre ellos. Este problema es común a la percepción en todos nuestros sentidos. Si pregunto si dos varillas tienen la misma longitud o no, hay diferencias que serán demasiado pequeñas para que las notes. Lo mismo se aplicaría a tu percepción del sonido (volumen, tono), luz, temperatura, etc.
— Itzhak Gilboa, Teoría de la decisión en condiciones de incertidumbre [29]
Según este punto de vista, aquellas situaciones en las que una persona simplemente no puede distinguir entre A y B conducirán a la indiferencia no debido a una coherencia de preferencias, sino a una percepción errónea de los sentidos. Además, los sentidos humanos se adaptan a un nivel determinado de estimulación y luego registran cambios a partir de esa línea de base. [30]
Supongamos que un determinado agente tiene preferencia en el ordenamiento sobre resultados aleatorios (loterías). Si se puede preguntar al agente sobre sus preferencias, es posible construir una función de utilidad cardinal que represente estas preferencias. Este es el núcleo del teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern .
Entre los economistas del bienestar de la escuela utilitarista ha habido una tendencia general a tomar la satisfacción (en algunos casos, el placer) como unidad de bienestar. Si la función de la economía del bienestar es aportar datos que sirvan al filósofo social o al estadista a la hora de formular juicios sobre el bienestar, esta tendencia conduce quizás a una ética hedonista. [31]
Bajo este marco, las acciones (incluida la producción de bienes y la prestación de servicios) se juzgan por sus contribuciones a la riqueza subjetiva de las personas. En otras palabras, proporciona una manera de juzgar "el mayor bien para el mayor número de personas". Un acto que reduce la utilidad de una persona en 75 utilidades mientras aumenta la de otras dos en 50 utilidades cada una ha aumentado la utilidad general en 25 utilidades y, por lo tanto, es una contribución positiva; uno que le cuesta a la primera persona 125 útiles y le da los mismos 50 a otras dos personas ha resultado en una pérdida neta de 25 útiles.
Si una clase de funciones de utilidad es cardinal, se permiten comparaciones intrapersonales de diferencias de utilidad. Si, además, algunas comparaciones de utilidad son significativas interpersonalmente, las transformaciones lineales utilizadas para producir la clase de funciones de utilidad deben restringirse entre las personas. Un ejemplo es la comparabilidad de unidades cardinales. En ese entorno de información, las transformaciones admisibles son funciones afines crecientes y, además, el factor de escala debe ser el mismo para todos. Este supuesto de información permite comparaciones interpersonales de diferencias de utilidad, pero los niveles de utilidad no pueden compararse interpersonalmente porque la intersección de las transformaciones afines puede diferir entre las personas. [32]
Este tipo de índices implica elecciones bajo riesgo. En este caso, A , B y C son loterías asociadas con resultados. A diferencia de la teoría de la utilidad cardinal bajo certeza, en la que la posibilidad de pasar de las preferencias a la utilidad cuantificada era casi trivial, aquí es primordial poder mapear las preferencias en el conjunto de números reales, de modo que se pueda ejecutar la operación de expectativa matemática. Una vez realizado el mapeo, la introducción de supuestos adicionales daría como resultado un comportamiento consistente de las personas con respecto a las apuestas justas. Pero las apuestas justas son, por definición, el resultado de comparar una apuesta con un valor esperado de cero con alguna otra apuesta. Aunque es imposible modelar actitudes hacia el riesgo si no se cuantifica la utilidad, la teoría no debe interpretarse como una medida de la fuerza de la preferencia bajo certeza. [33]
Supongamos que ciertos resultados están asociados con tres estados de la naturaleza, de modo que se prefiere x 3 a x 2 , que a su vez se prefiere a x 1 ; Se puede suponer que este conjunto de resultados, X , es un premio en dinero calculable en un juego de azar controlado, único hasta un factor de proporcionalidad positivo dependiendo de la unidad monetaria.
Sean L 1 y L 2 dos loterías con probabilidades p 1 , p 2 y p 3 de x 1 , x 2 y x 3 respectivamente
Supongamos que alguien tiene la siguiente estructura de preferencias en riesgo:
lo que significa que se prefiere L 1 sobre L 2 . Modificando los valores de p 1 y p 3 en L 1 , eventualmente habrá algunos valores apropiados ( L 1' ) para los cuales ella resultará indiferente entre éste y L 2 —por ejemplo
La teoría de la utilidad esperada nos dice que
y entonces
En este ejemplo de Majumdar [34] , fijando el valor cero del índice de utilidad de manera que la utilidad de x 1 sea 0, y eligiendo la escala de modo que la utilidad de x 2 sea igual a 1, se obtiene
Los modelos de utilidad con varios períodos, en los que las personas descuentan valores futuros de utilidad, necesitan emplear el cardinalismo para tener funciones de utilidad que se comporten bien. Según Paul Samuelson, la maximización de la suma descontada de utilidades futuras implica que una persona puede clasificar las diferencias de utilidad. [35]
Algunos autores han comentado la naturaleza engañosa de los términos "utilidad cardinal" y "utilidad ordinal", tal como se utilizan en la jerga económica:
Estos términos, que parecen haber sido introducidos por Hicks y Allen (1934), tienen poca o ninguna relación con el concepto matemático de números ordinales y cardinales; más bien son eufemismos para los conceptos de homomorfismo de orden de los números reales y homomorfismo de grupo de los números reales.
— John Chipman, Los fundamentos de la utilidad [26]
Quedan economistas que creen que la utilidad, si no se puede medir, al menos se puede aproximar un poco para proporcionar alguna forma de medición, similar a cómo los precios, que no tienen una unidad uniforme para proporcionar un nivel de precios real, aún podrían indexarse para proporcionar una "tasa de inflación" (que en realidad es un nivel de cambio en los precios de los productos indexados ponderados). Estas medidas no son perfectas pero pueden actuar como un indicador de la empresa de servicios públicos. El enfoque de características de Lancaster [36] respecto de la demanda de los consumidores ilustra este punto.
La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:
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