Teoremas de representación de Debreu

En economía , los teoremas de Debreu son teoremas de representación de preferencias : afirmaciones sobre la representación de un orden de preferencias mediante una función de utilidad de valor real. Los teoremas fueron demostrados por Gerard Debreu durante la década de 1950.

Fondo

Supongamos que a una persona se le hacen preguntas del tipo "¿Prefiere A o B?" (cuando A y B pueden ser opciones, acciones a tomar, estados del mundo, paquetes de consumo, etc.). Todas las respuestas se registran y forman la relación de preferencia de la persona. En lugar de registrar las preferencias de la persona entre cada par de opciones, sería mucho más conveniente tener una única función de utilidad , una función que asigne un número real a cada opción, de modo que la utilidad de la opción A sea mayor que la de la opción B. si y sólo si el agente prefiere A a B.

Los teoremas de Debreu abordan la siguiente pregunta: ¿qué condiciones de la relación de preferencia garantizan la existencia de una función de utilidad representativa?

Existencia de función de utilidad ordinal

Los teoremas de 1954 ^{[1] [2]} dicen, aproximadamente, que toda relación de preferencia que sea completa, transitiva y continua, puede representarse mediante una función de utilidad ordinal continua .

Declaración

Los teoremas suelen aplicarse a espacios de mercancías finitas. Sin embargo, son aplicables en un entorno mucho más general. Estos son los supuestos generales:

• X es un espacio topológico .
• ${\displaystyle \preceq }$es una relación en X que es total (todos los elementos son comparables) y transitiva .
• ${\displaystyle \preceq }$es continuo . Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:
  1. Para cada , los conjuntos y están topológicamente cerrados . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{y|y\preceq x\}}$ ${\displaystyle \{y|y\succeq x\}}$ ${\displaystyle X}$
  2. Para cada secuencia tal que , si para todo i entonces , y si para todo i entonces ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\to x_{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}\preceq y}$ ${\displaystyle x_{\infty }\preceq y}$ ${\displaystyle x_{i}\succeq y}$ ${\displaystyle x_{\infty }\succeq y}$

Cada una de las siguientes condiciones garantiza la existencia de una función continua de valor real que representa la relación de preferencia . Las condiciones son cada vez más generales, así por ejemplo, la condición 1 implica 2, que implica 3, que implica 4. ${\displaystyle \preceq }$

1. El conjunto de clases de equivalencia de la relación (definidas por: iff y ) son un conjunto contable . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x\succeq y}$

2. Existe un subconjunto contable de X, , tal que por cada par de elementos no equivalentes , existe un elemento que los separa ( ). ${\displaystyle Z=\{z_{0},z_{1},...\}}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle z_{i}\in Z}$ ${\displaystyle x\preceq z_{i}\preceq y}$

3. X es separable y conexo .

4. X es el segundo contable . Esto significa que existe un conjunto contable S de conjuntos abiertos, tal que todo conjunto abierto en X es la unión de conjuntos de la clase S.

La prueba del cuarto resultado tenía un hueco que Debreu luego corrigió. ^[3]

Ejemplos

A. Dejemos con la topología estándar (la topología euclidiana). Defina la siguiente relación de preferencia: si . Es continuo porque para cada , los conjuntos y son semiplanos cerrados. Se viola la condición 1 porque el conjunto de clases de equivalencia es incontable. Sin embargo, la condición 2 se cumple con Z como el conjunto de pares con coordenadas racionales. La condición 3 también se cumple ya que X es separable y conexo. Por tanto, existe una función continua que representa . Un ejemplo de tal función es . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\preceq (x',y')}$ ${\displaystyle x+y\leq x'+y'}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}}$ ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle u(x,y)=x+y}$

B. Dejemos con la topología estándar como la anterior. La relación de preferencias lexicográficas no es continua en esa topología. Por ejemplo, pero en cada bola alrededor de (5,1) hay puntos con y estos puntos son inferiores a . De hecho, esta relación no puede representarse mediante una función continua de valor real (de hecho, no puede representarse ni siquiera mediante funciones no continuas). ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (5,1)\succ (5,0)}$ ${\displaystyle x<5}$ ${\displaystyle (5,0)}$

Pruebas

Pruebas de. ^[2]

Notación: para cualquiera , defina y de manera similar defina otros intervalos. ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle (x,y)=\{z\in X:x\prec z\prec y\}}$

Prueba de 1, 2

Para 1, utilice la proposición de que cualquier orden lineal contable es isomorfo a un subconjunto de . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Para 2, primero use la proposición para construir una utilidad que preserve el orden. Luego, para cada uno que no sea equivalente a uno de , construya sus cortes de Dedekind superior e inferior . Por densidad del conjunto , dos de ellos tienen el mismo orden si sus cortes de Dedekind son iguales. ${\displaystyle u:\{z_{1},z_{2},...\}\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle (x,+\infty )=\{z_{n}:z_{n}\succ x\},(-\infty ,x)=\{z_{n}:z_{n}\prec x\}}$ ${\displaystyle \{z_{1},z_{2},...\}}$ ${\displaystyle x,x'}$

Luego, define . Esto define una función de utilidad . ${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}(\sup u((-\infty ,x))+\inf u((x,+\infty )))}$ ${\displaystyle u:X\to [-\infty ,+\infty ]}$

Finalmente, use la función tangente hiperbólica para comprimir la línea real extendida a un intervalo finito. ${\displaystyle tanh:[-\infty ,+\infty ]\to [-1,1]}$

Prueba de 3

Si es trivial entonces defina . Así que supongamos que no es trivial. ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u=0}$

Si es denso en , entonces si en , existe tal que ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\succ y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle x\succ z\succ y}$

Los intervalos no están vacíos desde . ${\displaystyle (-\infty ,x),(y,+\infty )}$ ${\displaystyle y\in (-\infty ,x),x\in (y,+\infty )}$

Por continuidad de , ambos intervalos son subconjuntos abiertos de . Por la totalidad de , su unión es toda de . Como está conectado, su intersección no está vacía. Así existe alguno tal que . ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z'\in X}$ ${\displaystyle x\succ z'\succ y}$

Dado que es denso en y continuo, existe una proximidad lo suficientemente cercana como para que . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle x\succ z\succ y}$

Como es separable, aplicamos la parte 2. ${\displaystyle X}$

Prueba de 4

Enumere el conjunto contable de conjuntos de bases . Para cada uno , elija un representante y reúnalos en un solo grupo . Esto significa que cualquiera, si y no está vacío, entonces existe alguno , por lo que . Queda por abordar las excepciones. ${\displaystyle S_{1},S_{2},...}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}\in S_{n}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle z_{n}\in S_{n}\subset (x,y)}$ ${\displaystyle x\prec z_{n}\prec y}$

Defina un "par de espacios" para que sea tal que y esté vacío. Elija un conjunto de representantes , de manera que para cualquier par de brechas exista exactamente un par de representantes tales que . ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim x,y_{i}\sim y}$

Para cada par , elija uno tal que , y . Es fácil comprobar que si entonces debemos tener . Por tanto, el número de representantes de pares huecos es, como máximo, contable. ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle S_{n_{i}}\subset (-\infty ,y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in S_{n_{i}}}$ ${\displaystyle S_{n_{i}}=S_{n_{j}}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim x_{j}}$

Ahora el conjunto es contable y usamos la parte 2. ${\displaystyle Z\cup \{x_{i}\}_{i}\cup \{y_{i}\}_{i}}$

Aplicaciones

Diamond ^[4] aplicó el teorema de Debreu al espacio , el conjunto de todas las secuencias acotadas de valores reales con la topología inducida por la métrica suprema (ver L-infinito ). X representa el conjunto de todos los flujos de servicios públicos con horizonte infinito. ${\displaystyle X=\ell ^{\infty }}$

Además del requisito de que sea total, transitivo y continuo, añadió un requisito de sensibilidad : ${\displaystyle \preceq }$

• Si una secuencia es más pequeña que una secuencia en cada período de tiempo, entonces . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$
• Si una secuencia es menor o igual que una secuencia en cada período de tiempo, entonces . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$

Según estos requisitos, cada flujo es equivalente a un flujo de utilidad constante, y cada dos flujos de utilidad constante son separables por un flujo de utilidad constante con una utilidad racional, por lo que se satisface la condición #2 de Debreu y la relación de preferencia puede ser representado por una función de valor real. ${\displaystyle x}$

El resultado de existencia es válido incluso cuando la topología de X se cambia a la topología inducida por la métrica descontada: ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}}$

Aditividad de la función de utilidad ordinal

El Teorema 3 de 1960 ^[5] dice, aproximadamente, que si el espacio de mercancías contiene 3 o más componentes, y cada subconjunto de los componentes es preferencialmente independiente de los otros componentes, entonces la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditiva .

Declaración

Estos son los supuestos generales:

• X, el espacio de todas las cestas, es un producto cartesiano de n espacios de mercancías: (es decir, el espacio de las cestas es un conjunto de n -tuplas de mercancías). ${\displaystyle X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}}$
• ${\displaystyle \preceq }$es una relación en X que es total (todos los elementos son comparables) y transitiva .
• ${\displaystyle \preceq }$es continuo (ver arriba).
• Existe una función de utilidad ordinal , que representa . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \preceq }$

La función se llama aditiva si se puede escribir como una suma de n funciones de utilidad ordinales sobre los n factores: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}}$

donde son constantes. ${\displaystyle k_{i}}$

Dado un conjunto de índices , el conjunto de mercancías se llama preferencialmente independiente si la relación de preferencia inducida sobre , dadas cantidades constantes de las otras mercancías , no depende de estas cantidades constantes. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\notin I}}$

Si es aditivo, entonces obviamente todos los subconjuntos de mercancías son preferencialmente independientes. ${\displaystyle v}$

Si todos los subconjuntos de productos son preferencialmente independientes Y al menos tres productos son esenciales (lo que significa que sus cantidades influyen en la relación de preferencia ), entonces es aditivo. ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle v}$

Además, en ese caso es único hasta una transformación lineal creciente . ${\displaystyle v}$

Para obtener una prueba constructiva intuitiva, consulte Utilidad ordinal: aditividad con tres o más bienes .

Teoremas sobre la utilidad cardinal

El teorema 1 de 1960 ^[5] trata de las preferencias en loterías. Puede verse como una mejora del teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern de 1947. El teorema anterior supone que los agentes tienen preferencias en loterías con probabilidades arbitrarias. El teorema de Debreu debilita este supuesto y supone sólo que los agentes tienen preferencias en loterías de igualdad de oportunidades (es decir, sólo pueden responder preguntas del tipo: "¿Prefieres A a una lotería de igualdad de oportunidades entre B y C?").

Formalmente, hay una serie de opciones seguras. El conjunto de loterías es . El teorema de Debreu establece que si: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$

1. El conjunto de todas las elecciones seguras es un espacio conectado y separable ; ${\displaystyle S}$
2. La relación de preferencia en el conjunto de loterías es continua: los conjuntos y son topológicamente cerrados para todos ; ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\preceq (A',B')\}}$ ${\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\succeq (A',B')\}}$ ${\displaystyle (A,B)\in S}$
3. ${\displaystyle (A_{1},B_{2})\preceq (A_{2},B_{1})}$e implica ${\displaystyle (A_{2},B_{3})\preceq (A_{3},B_{2})}$ ${\displaystyle (A_{1},B_{3})\preceq (A_{3},B_{1})}$

Entonces existe una función de utilidad cardinal u que representa la relación de preferencia en el conjunto de loterías, es decir:

${\displaystyle u(A,B)={\frac {u(A,A)+u(B,B)}{2}}}$

El teorema 2 de 1960 ^[5] trata de agentes cuyas preferencias están representadas por la frecuencia de elección. Cuando pueden elegir entre A y B , eligen A con frecuencia y B con frecuencia . El valor puede interpretarse como una medida de cuánto prefiere el agente A a B. ${\displaystyle p(A,B)}$ ${\displaystyle p(B,A)=1-p(A,B)}$ ${\displaystyle p(A,B)}$

El teorema de Debreu establece que si la función del agente p satisface las siguientes condiciones:

1. Lo completo: ${\displaystyle p(A,B)+p(B,A)=1}$
2. Condición Cuádruple: ${\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff p(A,C)\leq p(B,D)}$
3. Continuidad: si , entonces existe C tal que: . ${\displaystyle p(A,B)\leq q\leq p(A,D)}$ ${\displaystyle p(A,C)=q}$

Entonces existe una función de utilidad cardinal u que representa p , es decir:

${\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff u(A)-u(B)\leq u(C)-u(D)}$

Ver también

• Teorema de representación de preferencias
• Teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern

Referencias

1. Debreu, Gerard (1954). Representación de un orden de preferencias mediante una función numérica.
2. Debreu, Gerard (1986). "6. Representación de un orden de preferencias mediante una función numérica". Economía matemática: veinte artículos de Gerard Debreu; Introducción de Werner Hildenbrand (1ª ed. pbk). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23736-X. OCLC  25466669.
3. Debreu, Gerard (1964). "Propiedades de continuidad de la utilidad paretiana". Revista económica internacional . 5 (3): 285–293. doi :10.2307/2525513.
4. Diamante, Peter A. (1965). "La evaluación de flujos de servicios infinitos". Econométrica . 33 : 170. doi : 10.2307/1911893. JSTOR  1911893.
5. , Gerard. Métodos topológicos en la teoría de la utilidad cardinal (PDF) .