En economía , las preferencias lexicográficas u ordenamientos lexicográficos describen preferencias comparativas en las que un agente prefiere cualquier cantidad de un bien (X) a cualquier cantidad de otro (Y). En concreto, si se le ofrecen varios paquetes de bienes, el agente elegirá el paquete que ofrezca más X, sin importar cuánto Y haya. Solo cuando haya un empate entre los paquetes con respecto al número de unidades de X, el agente comenzará a comparar el número de unidades de Y entre los paquetes. Las preferencias lexicográficas extienden la teoría de la utilidad de manera análoga a la forma en que los infinitesimales no estándar extienden los números reales. Con las preferencias lexicográficas, la utilidad de ciertos bienes es infinitesimal en comparación con otros.
La lexicografía se refiere a la compilación de diccionarios, y pretende invocar el hecho de que un diccionario está organizado alfabéticamente: con atención infinita a la primera letra de cada palabra, y sólo en caso de empates con atención a la segunda letra de cada palabra, etc.
A modo de ejemplo, si para un paquete dado (X;Y;Z) un agente ordena sus preferencias según la regla X >> Y >> Z, entonces los paquetes {(5;3;3), (5;1;6), (3,5,3)} se ordenarían, del más al menos preferido:
Una relación de preferencia lexicográfica no es una relación continua . Esto se debe a que, para una secuencia convergente decreciente, tenemos , mientras que el límite (0,0) es menor que (0,1).
Una característica distintiva de tales preferencias lexicográficas es que un dominio real multivariado de las preferencias de un agente no se corresponde con un rango de valores reales . Es decir, no existe una representación de valores reales de una relación de preferencia mediante una función de utilidad , ya sea continua o no. [1] Las preferencias lexicográficas son el ejemplo clásico de preferencias racionales que no se pueden representar mediante una función de utilidad .
Demostración : supongamos por contradicción que existe una función de utilidad U que representa preferencias lexicográficas, por ejemplo, sobre dos bienes. Entonces U( x ,1)>U( x ,0) debe cumplirse, por lo que los intervalos [ U ( x ,0), U ( x ,1)] deben tener una anchura distinta de cero. Además, como U( x ,1)<U( z ,1) siempre que x < z , estos intervalos deben ser disjuntos para todo x . Esto no es posible para un conjunto incontable de valores x.
Si hay un número finito de bienes y las cantidades sólo pueden ser números racionales, las funciones de utilidad existen, simplemente tomando 1/N como el tamaño del infinitesimal, donde N es suficientemente grande como para aproximarse a números no estándar.
En términos de utilidad real valorada, se diría que la utilidad de Y y Z es infinitesimal comparada con X, y la utilidad de Z es infinitesimal comparada con Y. Por lo tanto, las preferencias lexicográficas pueden representarse mediante funciones de utilidad que devuelven números reales no estándar .
Si todos los agentes tienen las mismas preferencias lexicográficas, entonces no puede existir un equilibrio general porque los agentes no se venderán entre sí [ aclaración necesaria ] (mientras el precio del bien menos preferido sea mayor que cero ). Pero si el precio del bien menos deseado es cero, entonces todos los agentes desean una cantidad infinita del bien. El equilibrio no se puede alcanzar con precios estándar. Las utilidades son infinitesimales, pero los precios no. Permitir precios infinitesimales resuelve este problema.
Las preferencias lexicográficas pueden seguir existiendo en condiciones de equilibrio general. Por ejemplo,
Los precios de equilibrio no estándar (infinitesimales) para el intercambio se pueden determinar para el orden lexicográfico utilizando métodos de equilibrio estándar, excepto que se utilizan números reales no estándar como el rango tanto de utilidades como de precios. Todos los teoremas sobre la existencia de precios y equilibrios se extienden al caso de utilidades no estándar, ya que los números reales no estándar forman una extensión conservadora , lo que significa que cualquier teorema que sea verdadero para los números reales puede extenderse a los reales no estándar y sigue siendo verdadero.
