Teorema de representación de utilidad

En economía , un teorema de representación de utilidad muestra que, bajo ciertas condiciones, un orden de preferencias puede representarse mediante una función de utilidad de valor real , de modo que la opción A se prefiere a la opción B si y solo si la utilidad de A es mayor que la de B. El ejemplo más famoso de un teorema de representación de utilidad es el teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern , que muestra que cualquier agente racional tiene una función de utilidad que mide sus loterías .

Fondo

Supongamos que a una persona se le hacen preguntas del tipo "¿Prefiere usted A o B?" (cuando A y B pueden ser opciones, acciones a tomar, estados del mundo, paquetes de consumo, etc.). Si el agente prefiere A a B, escribimos . El conjunto de todos esos pares de preferencias forma la relación de preferencia de la persona . ${\displaystyle A\succ B}$

En lugar de registrar las preferencias de la persona entre cada par de opciones, sería mucho más conveniente tener una única función de utilidad : una función u que asigna un número real a cada opción, tal que si y sólo si . ${\displaystyle u(A)>u(B)}$ ${\displaystyle A\succ B}$

No toda relación de preferencia tiene una representación en forma de función de utilidad. Por ejemplo, si la relación no es transitiva (el agente prefiere A a B, B a C y C a A), entonces no tiene representación en forma de utilidad, ya que cualquier función de utilidad de ese tipo tendría que satisfacer , lo cual es imposible. ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)>u(A)}$

Un teorema de representación de utilidad proporciona condiciones sobre una relación de preferencia que son suficientes para la existencia de una representación de utilidad.

A menudo, se desearía que la función representativa u satisficiera condiciones adicionales, como la continuidad. Esto requiere condiciones adicionales en la relación de preferencia.

Definiciones

El conjunto de opciones es un espacio topológico denotado por X . En algunos casos suponemos que X también es un espacio métrico ; en particular, X puede ser un subconjunto de un espacio euclidiano R ^m , tal que cada coordenada en {1,..., m} representa un producto, y cada m -vector en X representa un posible paquete de consumo.

Relaciones de preferencia

Una relación de preferencia es un subconjunto de . Se denota por o : ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \succeq }$

• La notación se utiliza cuando la relación es estricta , es decir, implica que la opción A es estrictamente mejor que la opción B. En este caso, la relación debería ser irreflexiva , es decir, no se cumple. También debería ser asimétrica , es decir, implica que no . ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle A\succ A}$ ${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle B\succ A}$
• La notación se utiliza cuando la relación es débil , es decir, significa que la opción A es al menos tan buena como la opción B (A puede ser equivalente a B, o mejor que B). En este caso, la relación debería ser reflexiva , es decir, siempre se cumple. ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle A\succeq A}$

Dada una relación de preferencia débil , se puede definir su "parte estricta" y su "parte de indiferencia" de la siguiente manera: ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \simeq }$

• ${\displaystyle A\succ B}$si y solo si y no . ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$
• ${\displaystyle A\simeq B}$si y sólo si y . ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$

Dada una relación de preferencia estricta , se puede definir su "parte débil" y su "parte de indiferencia" de la siguiente manera: ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle \simeq }$

• ${\displaystyle A\succeq B}$si y solo si no ; ${\displaystyle B\succ A}$
• ${\displaystyle A\simeq B}$si y solo si no y no . ${\displaystyle B\succ A}$ ${\displaystyle A\succ B}$

Para cada opción , definimos los conjuntos de contornos en A : ${\displaystyle A\in X}$

• Dada una relación de preferencia débil , el conjunto de contorno superior débil en A es el conjunto de todas las opciones que son al menos tan buenas como A :. El conjunto de contorno inferior débil en A es el conjunto de todas las opciones que son como máximo tan buenas como A :. ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle \{B\in X:B\succeq A\}}$ ${\displaystyle \{B\in X:A\succeq B\}}$
  • Una relación de preferencia débil se denomina continua si sus conjuntos de contornos están topológicamente cerrados .
• De manera similar, dada una relación de preferencia estricta , el conjunto de contorno superior estricto en A es el conjunto de todas las opciones mejores que A :, y el conjunto de contorno inferior estricto en A es el conjunto de todas las opciones peores que A :. ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \{B\in X:B\succ A\}}$ ${\displaystyle \{B\in X:A\succ B\}}$
  • Una relación de preferencia estricta se denomina continua si sus conjuntos de contornos son topológicamente abiertos .

A veces, las nociones de continuidad anteriores se denominan semicontinuas , y a se denomina continuo si es un subconjunto cerrado de . ^[1] ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle X\times X}$

Una relación de preferencia se llama:

• Contable - si el conjunto de clases de equivalencia de la relación de indiferencia es contable . ${\displaystyle \simeq }$
• Separable : si existe un subconjunto contable tal que para cada par , hay un elemento que los separa, es decir, (existe una definición análoga para las relaciones débiles). ${\displaystyle Z\subseteq X}$ ${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle z_{i}\in Z}$ ${\displaystyle A\succ z_{i}\succ B}$

A modo de ejemplo, el orden estricto ">" en los números reales es separable, pero no contable.

Funciones de utilidad

Una función de utilidad es una función . ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$

• Se dice que una función de utilidad u representa una relación de preferencia estricta , si . ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle u(A)>u(B)\iff A\succ B}$
• Se dice que una función de utilidad u representa una relación de preferencia débil , si . ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle u(A)\geq u(B)\iff A\succeq B}$

Relaciones de preferencia completas

Debreu ^{[2] [3]} demostró la existencia de una representación continua de una relación de preferencia débil que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle \succeq }$

1. Reflexivo y Transitivo ;
2. Completa , es decir, para cada dos opciones A , B en X , una o la otra o ambas; ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$
3. Para todos , tanto el conjunto de contorno débil superior como el inferior están topológicamente cerrados ; ${\displaystyle A\in X}$
4. El espacio X es de segunda numeración . Esto significa que existe un conjunto de conjuntos abiertos numerables S , de modo que cada conjunto abierto en X es la unión de conjuntos de la clase S. [ ^4] La segunda numeración está implícita en las siguientes propiedades (de más débil a más fuerte):
   • El espacio X es separable y conexo .
   • La relación es separable. ${\displaystyle \succeq }$
   • La relación es contable. ${\displaystyle \succeq }$

Jaffray da una prueba elemental de la existencia de una función de utilidad continua. ^[5]

Relaciones de preferencia incompletas

Las preferencias se denominan incompletas cuando algunas opciones son incomparables, es decir, ni se cumplen ni . Este caso se denota por . Como los números reales siempre son comparables, es imposible tener una función representativa u con . Hay varias formas de abordar este problema. ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$ ${\displaystyle A\bowtie B}$ ${\displaystyle u(A)\geq u(B)\iff A\succeq B}$

Representación unidireccional

Peleg definió una representación de función de utilidad de un orden parcial estricto como una función tal que , es decir, solo debe cumplirse una dirección de implicación. ^[6] Peleg demostró la existencia de una representación de utilidad continua unidimensional de una relación de preferencia estricta que satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\succ B\implies u(A)>u(B)}$ ${\displaystyle \succ }$

1. Irreflexiva y transitiva (lo que implica que es asimétrica, es decir, es un orden parcial estricto );
2. Separable;
3. Para todos , el conjunto de contorno estricto inferior en A es topológicamente abierto ; ${\displaystyle A\in X}$
4. Espacioso : si , entonces el conjunto de contorno estricto inferior en A contiene el cierre del conjunto de contorno estricto inferior en B . ${\displaystyle A\succ B}$
   • Esta condición es necesaria para las relaciones de preferencia incompletas. Para las relaciones de preferencia completas, toda relación en la que todos los conjuntos de contorno estrictos superior e inferior están abiertos también es espaciosa.

Si se nos da una relación de preferencia débil , podemos aplicar el teorema de Peleg definiendo una relación de preferencia estricta: si y sólo si y no . ^[6] ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$

La segunda condición ( es separable) está implícita en las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle \succ }$

• El espacio X es separable ;
• Para todos , tanto los conjuntos de contorno estrictos inferior como superior en A son topológicamente abiertos ; ${\displaystyle A\in X}$
• Si el conjunto de contornos inferiores de A no está vacío, entonces A está en su clausura .

Richter adoptó un enfoque similar. ^[7] Por lo tanto, esta representación unidireccional también se denomina representación de utilidad de Richter-Peleg. ^[8]

Jaffray define una representación de función de utilidad de un orden parcial estricto como una función tal que tanto , como , donde la relación está definida por: para todo C, y (es decir: los conjuntos de contorno inferior y superior de A y B son idénticos). ^[9] Demostró que, para cada espacio parcialmente ordenado que sea perfectamente separable, existe una función de utilidad que es semicontinua superior en cualquier topología más fuerte que la topología de orden superior . ^{[9] : Sec.4} Una declaración análoga establece la existencia de una función de utilidad que es semicontinua inferior en cualquier topología más fuerte que la topología de orden inferior. ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\succ B\implies u(A)>u(B)}$ ${\displaystyle A\approx B\implies u(A)=u(B)}$ ${\displaystyle A\approx B}$ ${\displaystyle A\succ C\iff B\succ C}$ ${\displaystyle C\succ A\iff C\succ B}$ ${\displaystyle (X,\succ )}$

Sondermann define una representación de función de utilidad de manera similar a Jaffray. Da condiciones para la existencia de una representación de función de utilidad en un espacio de probabilidad , que es semicontinuo superior o semicontinuo inferior en la topología de orden. ^[10]

Herden define una representación de función de utilidad de un preorden débil como una función isótona tal que . Herden ^{[11] : Teorema 4.1} demostró que un preorden débil en X tiene una función de utilidad continua, si y solo si existe una familia contable E de sistemas separables en X tal que, para todos los pares , hay un sistema separable F en E, tal que B está contenido en todos los conjuntos en F, y A no está contenido en ningún conjunto en F. Muestra que este teorema implica el teorema de representación de Peleg. En un artículo de seguimiento ^[12] aclara la relación entre este teorema y los teoremas de representación de utilidad clásicos en órdenes completos. ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle u:(X,\succeq )\to (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle A\succ B\implies u(A)>u(B)}$ ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle A\succ B}$

Representación multiutilidad

Una representación multiutilitaria (MUR) de una relación es un conjunto U de funciones de utilidad, tales que . En otras palabras, A es preferible a B si y solo si todas las funciones de utilidad en el conjunto U mantienen esta preferencia de manera unánime. El concepto fue introducido por Efe Ok. ^[13] ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle A\succeq B\iff \forall u\in U:u(A)\geq u(B)}$

Cada preorden (relación reflexiva y transitiva) tiene un MUR trivial. ^{[1] : Prop.1} Además, cada preorden con conjuntos de contorno superior cerrados tiene un MUR semicontinuo superior , y cada preorden con conjuntos de contorno inferior cerrados tiene un MUR semicontinuo inferior . ^{[1] : Prop.2} Sin embargo, no todo preorden con conjuntos de contorno superior e inferior cerrados tiene un MUR continuo . ^{[1] : Exm.1} Ok y Evren presentan varias condiciones sobre la existencia de un MUR continuo:

• ${\displaystyle \succeq }$tiene un MUR continuo si y solo si ( X , ) es un espacio topológico preordenado seminormalmente. ^{[1] : Thm 0} ${\displaystyle \succeq }$
• Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y sigma-compacto , y es un subconjunto cerrado de , entonces tiene un MUR continuo. ^{: Teoría 1} Esto en particular se cumple si X es un subconjunto cerrado no vacío de un espacio euclidiano . ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle \succeq }$
• Si X es cualquier espacio topológico, y es un preorden con conjuntos de contorno superior e inferior cerrados, que satisface una fuerte no saciedad local y una propiedad adicional llamada amabilidad , entonces tiene un MUR continuo. ^{[1] : Teoría 2} ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle \succeq }$

Todas las representaciones garantizadas por los teoremas anteriores pueden contener infinitas utilidades, e incluso incontables. En la práctica, a menudo es importante tener un MUR finito , es decir, un MUR con un número finito de utilidades. Evren y Ok demuestran que existe un MUR finito donde todas las utilidades son semicontinuas superior[inferior] para cualquier relación de preferencia débil que satisfaga las siguientes condiciones: ^{[1] : Teoría 3} ${\displaystyle \succeq }$

1. Reflexivo y Transitivo (es decir, es un preorden débil); ${\displaystyle \succeq }$
2. Todos los conjuntos de contornos superiores e inferiores están topológicamente cerrados ;
3. El espacio X es segundo-contable , es decir, tiene una base contable .
4. El ancho de (el tamaño más grande de un conjunto en el que todos los elementos son incomparables) es finito. ${\displaystyle \succeq }$
   • El número de funciones de utilidad en la representación tiene como máximo el ancho de . ${\displaystyle \succeq }$

Nótese que las funciones garantizadas son semicontinuas, pero no necesariamente continuas, incluso si todos los conjuntos de contornos superiores e inferiores están cerrados. ^{[13] : Exm.2} Evren y Ok dicen que "no parece haber una forma natural de derivar un teorema de representación de utilidad múltiple finito continuo, al menos, no utilizando los métodos adoptados en este artículo".

Véase también

• Teorema de la utilidad de von Neumann-Morgenstern
• Teorema utilitario de Harsanyi
• Teorema de imposibilidad de Arrow
• La teoría de la preferencia revelada trata de representar la función de demanda de un agente mediante una relación de preferencia o mediante una función de utilidad. ^[7]

Referencias

1. Evren, Özgür; Ok, Efe A. (1 de agosto de 2011). "Sobre la representación multiutilitaria de las relaciones de preferencia". Revista de Economía Matemática . 47 (4): 554–563. doi :10.1016/j.jmateco.2011.07.003. ISSN  0304-4068.
2. Debreu, Gerard (1954). Representación de un orden de preferencias mediante una función numérica.
3. Debreu, Gerard (1986). "6. Representación de un orden de preferencias mediante una función numérica". Economía matemática: veinte artículos de Gerard Debreu; introducción de Werner Hildenbrand (1.ª edición). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23736-X.OCLC 25466669  .
4. Debreu, Gerard (1964). "Propiedades de continuidad de la utilidad paretiana". International Economic Review . 5 (3): 285–293. doi :10.2307/2525513. JSTOR  2525513.
5. Jaffray, Jean-Yves (1975). "Existencia de una función de utilidad continua: una prueba elemental". Econometrica . 43 (5/6): 981–983. doi :10.2307/1911340. ISSN  0012-9682. JSTOR  1911340.
6. Peleg, Bezalel (1970). "Funciones de utilidad para espacios topológicos parcialmente ordenados". Econometrica . 38 (1): 93–96. doi :10.2307/1909243. ISSN  0012-9682. JSTOR  1909243.
7. Richter, Marcel K. (1966). "Teoría de la preferencia revelada". Econometrica . 34 (3): 635–645. doi :10.2307/1909773. ISSN  0012-9682. JSTOR  1909773.
8. Alcantud, José Carlos R.; Bosi, Gianni; Zuanon, Magalì (1 de marzo de 2016). "Representaciones multiutilitarias de preórdenes de Richter–Peleg". Teoría y decisión . 80 (3): 443–450. doi :10.1007/s11238-015-9506-z. hdl : 11368/2865746 . ISSN  1573-7187. S2CID  255110550.
9. Jaffray, Jean-Yves (1975-12-01). "Extensión semicontinua de un orden parcial". Revista de Economía Matemática . 2 (3): 395–406. doi :10.1016/0304-4068(75)90005-1. ISSN  0304-4068.
10. Sondermann, Dieter (1980-10-01). "Representaciones de utilidad para órdenes parciales". Journal of Economic Theory . 23 (2): 183–188. doi :10.1016/0022-0531(80)90004-6. ISSN  0022-0531.
11. Herden, G. (1989-06-01). "Sobre la existencia de funciones de utilidad". Ciencias Sociales Matemáticas . 17 (3): 297–313. doi :10.1016/0165-4896(89)90058-9. ISSN  0165-4896.
12. Herden, G. (1989-10-01). "Sobre la existencia de funciones de utilidad ii". Ciencias Sociales Matemáticas . 18 (2): 107–117. doi :10.1016/0165-4896(89)90041-3. ISSN  0165-4896.
13. Ok, Efe (2002). "Representación de utilidad de una relación de preferencia incompleta". Revista de teoría económica . 104 (2): 429–449. doi :10.1006/jeth.2001.2814. ISSN  0022-0531.