Teoremas de representación de Debreu

En economía , los teoremas de Debreu son teoremas de representación de preferencias (enunciados sobre la representación de un orden de preferencias mediante una función de utilidad de valor real). Los teoremas fueron demostrados por Gerard Debreu durante la década de 1950.

Fondo

Supongamos que a una persona se le hacen preguntas del tipo "¿Prefiere usted A o B?" (cuando A y B pueden ser opciones, acciones a realizar, estados del mundo, paquetes de consumo, etc.). Todas las respuestas se registran y forman la relación de preferencia de la persona. En lugar de registrar las preferencias de la persona entre cada par de opciones, sería mucho más conveniente tener una única función de utilidad , una función que asigne un número real a cada opción, de modo que la utilidad de la opción A sea mayor que la de la opción B si y sólo si el agente prefiere A a B.

Los teoremas de Debreu abordan la siguiente cuestión: ¿qué condiciones de la relación de preferencia garantizan la existencia de una función de utilidad representativa?

Existencia de función de utilidad ordinal

Los Teoremas de 1954 ^{[1] [2]} dicen, a grandes rasgos, que toda relación de preferencia que sea completa, transitiva y continua, puede representarse mediante una función de utilidad ordinal continua .

Declaración

Los teoremas se suelen aplicar a espacios de bienes finitos. Sin embargo, son aplicables en un contexto mucho más general. Estos son los supuestos generales:

• X es un espacio topológico .
• ${\displaystyle \preceq }$es una relación en X que es total (todos los elementos son comparables) y transitiva .
• ${\displaystyle \preceq }$es continua . Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:
  1. Para cada , los conjuntos y están topológicamente cerrados en . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{y|y\preceq x\}}$ ${\displaystyle \{y|y\succeq x\}}$ ${\displaystyle X}$
  2. Para cada secuencia tal que , si para todo i entonces , y si para todo i entonces ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\to x_{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}\preceq y}$ ${\displaystyle x_{\infty }\preceq y}$ ${\displaystyle x_{i}\succeq y}$ ${\displaystyle x_{\infty }\succeq y}$

Cada una de las siguientes condiciones garantiza la existencia de una función continua de valor real que representa la relación de preferencia . Las condiciones son cada vez más generales, por ejemplo, la condición 1 implica 2, lo que implica 3, lo que implica 4. ${\displaystyle \preceq }$

1. El conjunto de clases de equivalencia de la relación (definida por: si y solo si y ) son un conjunto contable . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x\succeq y}$

2. Existe un subconjunto contable de X, , tal que para cada par de elementos no equivalentes , hay un elemento que los separa ( ). ${\displaystyle Z=\{z_{0},z_{1},...\}}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle z_{i}\in Z}$ ${\displaystyle x\preceq z_{i}\preceq y}$

3. X es separable y conexo .

4. X es el segundo numerable . Esto significa que existe un conjunto numerable S de conjuntos abiertos, tal que todo conjunto abierto en X es la unión de conjuntos de la clase S.

La prueba del cuarto resultado tenía una laguna que Debreu corrigió posteriormente. ^[3]

Ejemplos

A. Sea la topología estándar (la topología euclidiana). Defina la siguiente relación de preferencia: si y solo si . Es continua porque para cada , los conjuntos y son semiplanos cerrados. Se viola la condición 1 porque el conjunto de clases de equivalencia es incontable. Sin embargo, se cumple la condición 2 con Z como el conjunto de pares con coordenadas racionales. La condición 3 también se cumple porque X es separable y conexo. Por lo tanto, existe una función continua que representa . Un ejemplo de dicha función es . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\preceq (x',y')}$ ${\displaystyle x+y\leq x'+y'}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}}$ ${\displaystyle \{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle u(x,y)=x+y}$

B. Supongamos que la topología estándar es la que se muestra más arriba. La relación de preferencias lexicográficas no es continua en esa topología. Por ejemplo, , pero en cada bola alrededor de (5,1) hay puntos con y estos puntos son inferiores a . De hecho, esta relación no puede representarse mediante una función continua de valor real (de hecho, no puede representarse ni siquiera mediante funciones no continuas). ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (5,1)\succ (5,0)}$ ${\displaystyle x<5}$ ${\displaystyle (5,0)}$

Pruebas

Pruebas de. ^[2]

Notación: para cualquier , defina , y de manera similar defina otros intervalos. ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle (x,y)=\{z\in X:x\prec z\prec y\}}$

Prueba de 1, 2

Para 1, utilice la proposición de que cualquier ordenamiento lineal contable es isomorfo a un subconjunto de . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Para 2, primero use la proposición para construir una utilidad que preserve el ordenamiento. Luego, para cada no equivalente a uno de los , construya sus cortes de Dedekind superior e inferior . Por densidad del conjunto , dos de tales tienen el mismo ordenamiento si y solo si sus cortes de Dedekind son iguales. ${\displaystyle u:\{z_{1},z_{2},...\}\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle (x,+\infty )=\{z_{n}:z_{n}\succ x\},(-\infty ,x)=\{z_{n}:z_{n}\prec x\}}$ ${\displaystyle \{z_{1},z_{2},...\}}$ ${\displaystyle x,x'}$

Luego, defina . Esto define una función de utilidad . ${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}(\sup u((-\infty ,x))+\inf u((x,+\infty )))}$ ${\displaystyle u:X\to [-\infty ,+\infty ]}$

Por último, utilice la función tangente hiperbólica para comprimir la línea real extendida a un intervalo finito. ${\displaystyle tanh:[-\infty ,+\infty ]\to [-1,1]}$

Prueba de 3

Si es trivial en entonces defina . Por lo tanto, suponga que no es trivial. ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u=0}$

Si es denso en , entonces si en , existe tal que ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\succ y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle x\succ z\succ y}$

Los intervalos no están vacíos ya que . ${\displaystyle (-\infty ,x),(y,+\infty )}$ ${\displaystyle y\in (-\infty ,x),x\in (y,+\infty )}$

Por continuidad de , ambos intervalos son subconjuntos abiertos de . Por totalidad de , su unión es la totalidad de . Como es conexo, su intersección no es vacía. Por lo tanto, existe algún intervalo tal que . ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z'\in X}$ ${\displaystyle x\succ z'\succ y}$

Como es denso en , y es continuo, existe un suficientemente cercano tal que . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle x\succ z\succ y}$

Como es separable, aplicamos la parte 2. ${\displaystyle X}$

Prueba de 4

Enumere el conjunto contable de conjuntos base . Para cada , elija un representante y agrúpelos en un conjunto . Esto significa que si y no está vacío, entonces existe algún , de modo que . Queda por tratar las excepciones. ${\displaystyle S_{1},S_{2},...}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}\in S_{n}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle z_{n}\in S_{n}\subset (x,y)}$ ${\displaystyle x\prec z_{n}\prec y}$

Defina un "par de espacios" como tal que y esté vacío. Elija un conjunto de representantes , tal que para cualquier par de espacios exista exactamente un par de representantes tal que . ${\displaystyle x,y\in S}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim x,y_{i}\sim y}$

Para cada par , elija alguno tal que , y . Es fácil comprobar que si entonces debemos tener . Por lo tanto, el número de representantes de pares de huecos es, como máximo, contable. ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle S_{n_{i}}\subset (-\infty ,y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in S_{n_{i}}}$ ${\displaystyle S_{n_{i}}=S_{n_{j}}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim x_{j}}$

Ahora el conjunto es contable y usamos la parte 2. ${\displaystyle Z\cup \{x_{i}\}_{i}\cup \{y_{i}\}_{i}}$

Aplicaciones

Diamond ^[4] aplicó el teorema de Debreu al espacio , el conjunto de todas las secuencias de valores reales acotadas con la topología inducida por la métrica suprema (véase L-infinito ). X representa el conjunto de todos los flujos de utilidad con horizonte infinito. ${\displaystyle X=\ell ^{\infty }}$

Además del requisito de que sea total, transitivo y continuo, añadió un requisito de sensibilidad : ${\displaystyle \preceq }$

• Si un arroyo es más pequeño que un arroyo en cada período de tiempo, entonces . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$
• Si un arroyo es menor o igual a un arroyo en cada período de tiempo, entonces . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$

Bajo estos requisitos, cada corriente es equivalente a una corriente de utilidad constante, y cada dos corrientes de utilidad constante son separables por una corriente de utilidad constante con una utilidad racional, por lo que se satisface la condición n.° 2 de Debreu y la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor real. ${\displaystyle x}$

El resultado de existencia es válido incluso cuando la topología de X se cambia a la topología inducida por la métrica descontada: ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}}$

Aditividad de la función de utilidad ordinal

El teorema 3 de 1960 ^[5] dice, aproximadamente, que si el espacio de productos contiene 3 o más componentes, y cada subconjunto de los componentes es preferencialmente independiente de los otros componentes, entonces la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditivo .

Declaración

Los supuestos generales son los siguientes:

• X, el espacio de todos los paquetes, es un producto cartesiano de n espacios de productos: (es decir, el espacio de paquetes es un conjunto de n -tuplas de productos). ${\displaystyle X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}}$
• ${\displaystyle \preceq }$es una relación en X que es total (todos los elementos son comparables) y transitiva .
• ${\displaystyle \preceq }$es continua (ver arriba).
• Existe una función de utilidad ordinal , , que representa . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \preceq }$

La función se llama aditiva si puede escribirse como una suma de n funciones de utilidad ordinales sobre los n factores: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}}$

donde son constantes. ${\displaystyle k_{i}}$

Dado un conjunto de índices , el conjunto de productos se denomina preferencialmente independiente si la relación de preferencia inducida sobre , dadas cantidades constantes de los otros productos , no depende de estas cantidades constantes. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\notin I}}$

Si es aditivo, entonces obviamente todos los subconjuntos de productos son preferentemente independientes. ${\displaystyle v}$

Si todos los subconjuntos de productos son preferencialmente independientes Y al menos tres productos son esenciales (lo que significa que sus cantidades tienen una influencia en la relación de preferencia ), entonces es aditivo. ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle v}$

Además, en ese caso es único hasta una transformación lineal creciente . ${\displaystyle v}$

Para una prueba constructiva intuitiva, véase Utilidad ordinal: aditividad con tres o más bienes .

Teoremas sobre la utilidad cardinal

El teorema 1 de 1960 ^[5] trata de las preferencias en loterías. Puede considerarse una mejora del teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern de 1947. El teorema anterior supone que los agentes tienen preferencias en loterías con probabilidades arbitrarias. El teorema de Debreu debilita este supuesto y supone únicamente que los agentes tienen preferencias en loterías con probabilidades iguales (es decir, sólo pueden responder a preguntas de la forma: "¿Prefiere A en lugar de una lotería con probabilidades iguales entre B y C?").

Formalmente, existe un conjunto de opciones seguras. El conjunto de loterías es . El teorema de Debreu establece que si: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$

1. El conjunto de todas las opciones seguras es un espacio conexo y separable ; ${\displaystyle S}$
2. La relación de preferencia en el conjunto de loterías es continua: los conjuntos y están topológicamente cerrados para todos ; ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\preceq (A',B')\}}$ ${\displaystyle \{(A,B)\in S\times S|(A,B)\succeq (A',B')\}}$ ${\displaystyle (A,B)\in S}$
3. ${\displaystyle (A_{1},B_{2})\preceq (A_{2},B_{1})}$y implica ${\displaystyle (A_{2},B_{3})\preceq (A_{3},B_{2})}$ ${\displaystyle (A_{1},B_{3})\preceq (A_{3},B_{1})}$

Entonces existe una función de utilidad cardinal u que representa la relación de preferencia en el conjunto de loterías, es decir:

${\displaystyle u(A,B)={\frac {u(A,A)+u(B,B)}{2}}}$

El teorema 2 de 1960 ^[5] trata de los agentes cuyas preferencias están representadas por la frecuencia de elección. Cuando pueden elegir entre A y B , eligen A con frecuencia y B con frecuencia . El valor puede interpretarse como una medida de cuánto prefiere el agente A sobre B. ${\displaystyle p(A,B)}$ ${\displaystyle p(B,A)=1-p(A,B)}$ ${\displaystyle p(A,B)}$

El teorema de Debreu establece que si la función p del agente satisface las siguientes condiciones:

1. Lo completo: ${\displaystyle p(A,B)+p(B,A)=1}$
2. Condición Cuádruple: ${\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff p(A,C)\leq p(B,D)}$
3. Continuidad: si , entonces existe C tal que: . ${\displaystyle p(A,B)\leq q\leq p(A,D)}$ ${\displaystyle p(A,C)=q}$

Entonces existe una función de utilidad cardinal u que representa p , es decir:

${\displaystyle p(A,B)\leq p(C,D)\iff u(A)-u(B)\leq u(C)-u(D)}$

Véase también

• Teorema de representación de preferencias
• Teorema de la utilidad de Von Neumann-Morgenstern

Referencias

1. Debreu, Gerard (1954). Representación de un orden de preferencias mediante una función numérica.
2. Debreu, Gerard (1986). "6. Representación de un orden de preferencias mediante una función numérica". Economía matemática: veinte artículos de Gerard Debreu; introducción de Werner Hildenbrand (1.ª edición). Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23736-X.OCLC 25466669  .
3. Debreu, Gerard (1964). "Propiedades de continuidad de la utilidad paretiana". International Economic Review . 5 (3): 285–293. doi :10.2307/2525513.
4. Diamond, Peter A. (1965). "La evaluación de flujos de utilidad infinitos". Econometrica . 33 : 170. doi :10.2307/1911893. JSTOR  1911893.
5. Debreu, Gerard. Métodos topológicos en la teoría de la utilidad cardinal (PDF) .