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Ampliación de grupo

En matemáticas , una extensión de grupo es un medio general para describir un grupo en términos de un subgrupo normal particular y un grupo cociente . Si y son dos grupos, entonces es una extensión de por si hay una secuencia exacta corta

Si es una extensión de por , entonces es un grupo, es un subgrupo normal de y el grupo cociente es isomorfo al grupo . Las extensiones de grupo surgen en el contexto del problema de extensión , donde se conocen los grupos y y se deben determinar las propiedades de . Nótese que la frase " es una extensión de por " también es utilizada por algunos. [1]

Dado que cualquier grupo finito posee un subgrupo normal máximo con un grupo factorial simple , todos los grupos finitos pueden construirse como una serie de extensiones con grupos simples finitos . Este hecho fue una motivación para completar la clasificación de los grupos simples finitos .

Una extensión se denomina extensión central si el subgrupo se encuentra en el centro de .

Extensiones en general

Una extensión, el producto directo , es inmediatamente obvia. Si se requiere que y sean grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismo de extensiones de por un grupo (abeliano) dado es de hecho un grupo, que es isomorfo a

cf. el funtor Ext . Se conocen otras clases generales de extensiones, pero no existe ninguna teoría que trate todas las extensiones posibles a la vez. La extensión de grupo suele describirse como un problema difícil; se denomina problema de extensión .

Para considerar algunos ejemplos, si , entonces es una extensión de ambos y . De manera más general, si es un producto semidirecto de y , escrito como , entonces es una extensión de por , por lo que productos como el producto de corona proporcionan otros ejemplos de extensiones.

Problema de extensión

La cuestión de qué grupos son extensiones de por se llama el problema de extensión , y ha sido estudiada profusamente desde finales del siglo XIX. En cuanto a su motivación, considere que la serie de composición de un grupo finito es una secuencia finita de subgrupos , donde cada uno es una extensión de por algún grupo simple . La clasificación de grupos simples finitos nos da una lista completa de grupos simples finitos; por lo que la solución al problema de extensión nos daría suficiente información para construir y clasificar todos los grupos finitos en general.

Clasificando extensiones

La solución del problema de extensión equivale a clasificar todas las extensiones de H por K ; o, de manera más práctica, a expresar todas esas extensiones en términos de objetos matemáticos que sean más fáciles de entender y calcular. En general, este problema es muy difícil y todos los resultados más útiles clasifican extensiones que satisfacen alguna condición adicional.

Figura 1

Es importante saber cuándo dos extensiones son equivalentes o congruentes. Decimos que las extensiones

y

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo de grupo que hace conmutativo el diagrama de la Figura 1. De hecho, es suficiente tener un homomorfismo de grupo; debido a la conmutatividad asumida del diagrama, la función se ve obligada a ser un isomorfismo por el lema de los cinco cortos .

Advertencia

Puede ocurrir que las extensiones y sean inequivalentes pero que G y G' sean isomorfos como grupos. Por ejemplo, hay extensiones inequivalentes del cuatrigrupo de Klein por , [2] pero hay, salvo isomorfismo de grupo, solo cuatro grupos de orden que contienen un subgrupo normal de orden con grupo cociente isomorfo al cuatrigrupo de Klein .

Extensiones triviales

Una extensión trivial es una extensión

que es equivalente a la extensión

donde las flechas izquierda y derecha son respectivamente la inclusión y la proyección de cada factor de .

Clasificación de extensiones divididas

Una extensión dividida es una extensión

con un homomorfismo tal que al pasar de H a G por s y luego volver a H por la función cociente de la secuencia exacta corta se induce la función identidad en H , es decir, . En esta situación, se suele decir que s divide la secuencia exacta anterior .

Las extensiones divididas son muy fáciles de clasificar, porque una extensión se divide si y solo si el grupo G es un producto semidirecto de K y H . Los productos semidirectos en sí mismos son fáciles de clasificar, porque están en correspondencia uno a uno con los homomorfismos de , donde Aut( K ) es el grupo de automorfismos de K . Para una discusión completa de por qué esto es cierto, consulte producto semidirecto .

Advertencia sobre la terminología

En general, en matemáticas, una extensión de una estructura K suele considerarse como una estructura L de la que K es una subestructura. Véase, por ejemplo, extensión de campo . Sin embargo, en la teoría de grupos se ha introducido la terminología opuesta, en parte debido a la notación , que se lee fácilmente como extensiones de Q por N , y el foco está puesto en el grupo Q .

Un artículo de Ronald Brown y Timothy Porter sobre la teoría de extensiones no abelianas de Otto Schreier utiliza la terminología de que una extensión de K da una estructura más grande. [3]

Extensión central

Una extensión central de un grupo G es una secuencia corta y exacta de grupos

de modo que A está incluido en , el centro del grupo E . El conjunto de clases de isomorfismo de extensiones centrales de G por A está en correspondencia biunívoca con el grupo de cohomología .

Se pueden construir ejemplos de extensiones centrales tomando cualquier grupo G y cualquier grupo abeliano A y haciendo que E sea . Este tipo de ejemplo de división corresponde al elemento 0 en la correspondencia anterior. Se da otro ejemplo de división para un subgrupo normal A con E fijado en el producto semidirecto . Se encuentran ejemplos más serios en la teoría de representaciones proyectivas , en casos en los que la representación proyectiva no se puede elevar a una representación lineal ordinaria .

En el caso de grupos perfectos finitos , existe una extensión central perfecta universal .

De manera similar, la extensión central de un álgebra de Lie es una secuencia exacta

tal que está en el centro de .

Existe una teoría general de extensiones centrales en las variedades de Maltsev . [4]

Generalización a extensiones generales

Existe una clasificación similar de todas las extensiones de G por A en términos de homomorfismos de , una condición de existencia tediosa pero explícitamente comprobable que involucra y el grupo de cohomología . [5]

Grupos de mentiras

En la teoría de grupos de Lie , las extensiones centrales surgen en conexión con la topología algebraica . En términos generales, las extensiones centrales de los grupos de Lie por grupos discretos son lo mismo que los grupos de recubrimiento . Más precisamente, un espacio de recubrimiento conexo G de un grupo de Lie conexo G es naturalmente una extensión central de G , de tal manera que la proyección

es un homomorfismo de grupo y sobreyectivo. (La estructura de grupo en G depende de la elección de un elemento identidad que mapee a la identidad en G .) Por ejemplo, cuando G es la cubierta universal de G , el núcleo de π es el grupo fundamental de G , que se sabe que es abeliano (ver H-espacio ). A la inversa, dado un grupo de Lie G y un subgrupo central discreto Z , el cociente G / Z es un grupo de Lie y G es un espacio de cubierta de este.

De manera más general, cuando los grupos A , E y G que aparecen en una extensión central son grupos de Lie, y las funciones entre ellos son homomorfismos de grupos de Lie, entonces si el álgebra de Lie de G es g , la de A es a , y la de E es e , entonces e es una extensión del álgebra de Lie central de g por a . En la terminología de la física teórica , los generadores de a se denominan cargas centrales . Estos generadores están en el centro de e ; por el teorema de Noether , los generadores de grupos de simetría corresponden a cantidades conservadas, denominadas cargas .

Los ejemplos básicos de extensiones centrales como grupos de cobertura son:

El caso de SL 2 ( R ) involucra un grupo fundamental que es cíclico infinito . Aquí la extensión central involucrada es bien conocida en la teoría de formas modulares , en el caso de formas de peso ½ . Una representación proyectiva que corresponde es la representación de Weil , construida a partir de la transformada de Fourier , en este caso sobre la línea real . Los grupos metaplécticos también ocurren en mecánica cuántica .

Véase también

Referencias

  1. ^ grupo+extensión#Definición en el n Observación de laboratorio 2.2.
  2. ^ página n.° 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Álgebra abstracta (tercera edición), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ (2004).
  3. ^ Brown, Ronald ; Porter, Timothy (1996). "Sobre la teoría de Schreier de extensiones no abelianas: generalizaciones y cálculos". Actas de la Real Academia Irlandesa Sect A . 96 (2): 213–227. MR  1641218.
  4. ^ Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "Extensiones centrales en variedades de Malt'sev". Teoría y aplicaciones de categorías . 7 (10): 219–226. MR  1774075.
  5. ^ PJ Morandi, Extensiones de grupo y H3 Archivado el 17 de mayo de 2018 en Wayback Machine . De su colección de notas matemáticas breves.