Triangulo medial

Triángulo definido a partir de los puntos medios de los lados de otro triángulo.

El triángulo rojo es el triángulo medial del negro. Los puntos finales del triángulo rojo coinciden con los puntos medios del triángulo negro.

En geometría euclidiana , el triángulo medial o triángulo de punto medio de un triángulo △ ABC es el triángulo con vértices en los puntos medios de los lados del triángulo AB, AC, BC . Es el caso n = 3 del polígono de punto medio de un polígono de n lados. No es lo mismo el triángulo medial que el triángulo mediano , que es el triángulo cuyos lados tienen las mismas longitudes que las medianas de △ ABC .

Cada lado del triángulo medial se llama segmento medio (o línea media ). En general, un segmento medio de un triángulo es un segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Es paralelo al tercer lado y tiene una longitud igual a la mitad de la longitud del tercer lado.

Propiedades

M : circuncentro de △ ABC , ortocentro de △ DEF
N : incentro de △ ABC , punto de Nagel de △ DEF
S : centroide de △ ABC y △ DEF

El triángulo medial también puede verse como la imagen del triángulo △ ABC transformado por una homotecia centrada en el centroide con una relación -1/2. Por tanto, los lados del triángulo medial son la mitad y paralelos a los lados correspondientes del triángulo ABC. Por lo tanto, el triángulo medial es inversamente similar y comparte el mismo centroide y medianas con el triángulo △ ABC . De esto también se deduce que el perímetro del triángulo medial es igual al semiperímetro del triángulo △ ABC , y que el área es un cuarto del área del triángulo △ ABC . Además, los cuatro triángulos en los que el triángulo medial subdivide el triángulo original son todos mutuamente congruentes por SSS , por lo que sus áreas son iguales y, por lo tanto, el área de cada uno es 1/4 del área del triángulo original. ^{[1] : p.177}

El ortocentro del triángulo medial coincide con el circuncentro del triángulo △ ABC . Este hecho proporciona una herramienta para demostrar la colinealidad del circuncentro, centroide y ortocentro. El triángulo medial es el triángulo pedal del circuncentro. El círculo de nueve puntos circunscribe el triángulo medial, por lo que el centro de nueve puntos es el circuncentro del triángulo medial.

El punto de Nagel del triángulo medial es el incentro de su triángulo de referencia. ^{[2] : p.161, Thm.337}

El triángulo medial de un triángulo de referencia es congruente con el triángulo cuyos vértices son los puntos medios entre el ortocentro del triángulo de referencia y sus vértices. ^{[2] : página 103, n.° 206, página 108, n.° 1}

El incentro de un triángulo se encuentra en su triángulo medial. ^{[3] : p.233, Lema 1}

Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y sólo si el punto se encuentra en el interior del triángulo medial. ^{[4] : p.139}

El triángulo medial es el único triángulo inscrito en el que ninguno de los otros tres triángulos interiores tiene un área menor. ^{[5] : pág. 137}

El triángulo de referencia y su triángulo medial son triángulos ortológicos .

Coordenadas

Sean las longitudes de los lados del triángulo. Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo medial están dadas por ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|}$ ${\displaystyle \triangle ABC.}$ ${\displaystyle \triangle EFD}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}E&={}\,0&&:{\frac {1}{b}}&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]F&={}{\frac {1}{a}}&&:\,0&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]D&={}{\frac {1}{a}}&&:{\frac {1}{b}}&&:\,0.\end{alignedat}}}$

Triángulo anticomplementario

Si es el triángulo medial de entonces es el triángulo anticomplementario o triángulo antimedial de El triángulo anticomplementario de está formado por tres rectas paralelas a los lados de : la paralela a través la paralela a través y la paralela a través ${\displaystyle \triangle EFD}$ ${\displaystyle \triangle ABC,}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle EFD.}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A.}$

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo anticomplementario están dadas por ${\displaystyle \triangle E'F'D'}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}E'&=-{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]F'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:-{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]D'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:-{\frac {1}{c}}.\end{alignedat}}}$

El nombre de "triángulo anticomplementario" corresponde a que sus vértices son los anticomplementos de los vértices del triángulo de referencia. Los vértices del triángulo medial son los complementos de ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle A,B,C.}$

Ver también

• Erizo medio , un concepto análogo para conjuntos convexos más generales

Referencias

1. Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Libros Prometheus, 2012.
2. Altshiller-Court, Nathan. Geometría universitaria . Publicaciones de Dover, 2007.
3. Franzsen, William N.. "La distancia desde el incentro a la línea de Euler", Forum Geométricorum 11 (2011): 231–236.
4. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
5. Torrejón, Ricardo M. "Sobre una desigualdad del triángulo inscrito de Erdos", Forum Geométricorum 5, 2005, 137-141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triángulo medial". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Triángulo anticomplementario". MundoMatemático .