Teorema virial

Teorema de la mecánica estadística

En mecánica estadística , el teorema del virial proporciona una ecuación general que relaciona el promedio en el tiempo de la energía cinética total de un sistema estable de partículas discretas, unidas por una fuerza conservativa (donde el trabajo realizado es independiente de la trayectoria) con la de la energía potencial total del sistema. Matemáticamente, el teorema establece que T es la energía cinética total de las N partículas, F _k representa la fuerza sobre la partícula k ésima, que se encuentra en la posición r _k , y los corchetes angulares representan el promedio en el tiempo de la cantidad encerrada. La palabra virial para el lado derecho de la ecuación deriva de vis , la palabra latina para "fuerza" o "energía", y recibió su definición técnica de Rudolf Clausius en 1870. ^[1] $${\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }}$$

La importancia del teorema virial es que permite calcular la energía cinética total promedio incluso para sistemas muy complicados que desafían una solución exacta, como los considerados en mecánica estadística ; esta energía cinética total promedio está relacionada con la temperatura del sistema por el teorema de equipartición . Sin embargo, el teorema virial no depende de la noción de temperatura y se cumple incluso para sistemas que no están en equilibrio térmico . El teorema virial se ha generalizado de varias maneras, la más notable es la forma tensorial .

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema resulta de una energía potencial V ( r ) = αr ⁿ que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre partículas r , el teorema virial toma la forma simple $${\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .}$$

Por lo tanto, el doble de la energía cinética total promedio ⟨ T ⟩ es igual a n veces la energía potencial total promedio ⟨ V _TOT ⟩ . Mientras que V ( r ) representa la energía potencial entre dos partículas de distancia r , V _TOT representa la energía potencial total del sistema, es decir, la suma de la energía potencial V ( r ) sobre todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de un sistema de este tipo es una estrella que se mantiene unida por su propia gravedad, donde n es igual a −1.

Historia

En 1870, Rudolf Clausius pronunció la conferencia "Sobre un teorema mecánico aplicable al calor" en la Asociación de Ciencias Naturales y Médicas del Bajo Rin, tras un estudio de termodinámica de 20 años. La conferencia afirmó que la vis viva media del sistema es igual a su virial, o que la energía cinética media es igual a ⁠1/2⁠ la energía potencial media. El teorema del virial se puede obtener directamente de la identidad de Lagrange ^{[ ¿ recurso movido? ]} tal como se aplica en la dinámica gravitacional clásica, cuya forma original se incluyó en el "Ensayo sobre el problema de los tres cuerpos" de Lagrange publicado en 1772. La generalización de Karl Jacobi de la identidad a N  cuerpos y a la forma actual de la identidad de Laplace se parece mucho al teorema del virial clásico. Sin embargo, las interpretaciones que llevaron al desarrollo de las ecuaciones fueron muy diferentes, ya que en el momento del desarrollo, la dinámica estadística aún no había unificado los estudios separados de la termodinámica y la dinámica clásica. ^[2] El teorema fue utilizado, popularizado, generalizado y desarrollado posteriormente por James Clerk Maxwell , Lord Rayleigh , Henri Poincaré , Subrahmanyan Chandrasekhar , Enrico Fermi , Paul Ledoux , Richard Bader y Eugene Parker . Fritz Zwicky fue el primero en utilizar el teorema virial para deducir la existencia de materia invisible, que ahora se llama materia oscura . Richard Bader demostró que la distribución de carga de un sistema total se puede dividir en sus energías cinética y potencial que obedecen al teorema virial. ^[3] Como otro ejemplo de sus muchas aplicaciones, el teorema virial se ha utilizado para derivar el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas .

Caso especial ilustrativo

Consideremos N = 2 partículas con igual masa m , sobre las que actúan fuerzas de atracción mutua. Supongamos que las partículas están en puntos diametralmente opuestos de una órbita circular con radio r . Las velocidades son v ₁ ( t ) y v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) , que son normales a las fuerzas F ₁ ( t ) y F ₂ ( t ) = − F ₁ ( t ) . Las magnitudes respectivas están fijadas en v y F . La energía cinética media del sistema en un intervalo de tiempo desde t ₁ hasta t ₂ es

$${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}(t)\right|^{2}dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)dt=mv^{2}.}$$Tomando el centro de masa como origen, las partículas tienen posiciones r ₁ ( t ) y r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t ) con magnitud fija r . Las fuerzas de atracción actúan en direcciones opuestas como posiciones, por lo que F ₁ ( t ) ⋅ r ₁ ( t ) = F ₂ ( t ) ⋅ r ₂ ( t ) = − Fr . Aplicando la fórmula de fuerza centrípeta F = mv ² / r resulta en: como se requiere. Nota: Si el origen está desplazado, obtendríamos el mismo resultado. Esto se debe a que el producto escalar del desplazamiento con fuerzas iguales y opuestas F ₁ ( t ) , F ₂ ( t ) resulta en cancelación neta. $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,}$$

Enunciado y derivación

Aunque el teorema virial depende de promediar las energías cinética y potencial totales, la presentación aquí pospone el promedio hasta el último paso.

Para una colección de N partículas puntuales, el momento de inercia escalar I respecto del origen se define por la ecuación donde m _k y r _k representan la masa y la posición de la partícula k . r _k = | r _k | es la magnitud del vector de posición. El escalar G se define por la ecuación donde p _k es el vector de momento de la partícula k . ^[4] Suponiendo que las masas son constantes, G es la mitad de la derivada temporal de este momento de inercia. A su vez, la derivada temporal de G se puede escribir donde m _k es la masa de la partícula k , F _k = ⁠ $${\displaystyle I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}}$$ $${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\end{aligned}}}$$dpk​_​/es⁠ es la fuerza neta sobre esa partícula, y T es la energía cinética total del sistema según v _k = ⁠D r _k/es⁠ velocidad de cada partícula $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$$

Conexión con la energía potencial entre partículas.

La fuerza total F _k sobre la partícula k es la suma de todas las fuerzas de las otras partículas j en el sistema , donde F _jk es la fuerza aplicada por la partícula j sobre la partícula k . Por lo tanto, el virial puede escribirse $${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.}$$

Como ninguna partícula actúa sobre sí misma (es decir, F _jj = 0 para 1 ≤ j ≤ N ), dividimos la suma en términos por debajo y por encima de esta diagonal y los sumamos en pares: donde hemos asumido que se cumple la tercera ley de movimiento de Newton , es decir, F _jk = − F _kj (reacción igual y opuesta). $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\end{aligned}}}$$

A menudo sucede que las fuerzas se pueden derivar de una energía potencial V _jk que es función únicamente de la distancia r _jk entre las partículas puntuales j y k . Como la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial, en este caso tenemos

$${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),}$$

que es igual y opuesta a F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , la fuerza aplicada por la partícula k sobre la partícula j , como puede confirmarse mediante un cálculo explícito. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}}$$

Así pues, tenemos $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.}$$

Caso especial de fuerzas de ley de potencia

En un caso especial común, la energía potencial V entre dos partículas es proporcional a una potencia n de su distancia r _ij, donde el coeficiente α y el exponente n son constantes. En tales casos, el virial se da mediante la ecuación donde V _TOT es la energía potencial total del sistema. $${\displaystyle V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}\,.}$$

Así pues, tenemos $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.}$$

Para los sistemas gravitacionales, el exponente n es igual a −1, lo que da la identidad de Lagrange que fue derivada por Joseph-Louis Lagrange y ampliada por Carl Jacobi . $${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}}$$

Promedio de tiempo

El promedio de esta derivada a lo largo de un período de tiempo, τ , se define como de donde obtenemos la ecuación exacta $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

El teorema virial establece que si ⟨ ⁠dG/es⁠ ⟩ _τ = 0, entonces $${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$$

Hay muchas razones por las que el promedio de la derivada del tiempo podría desaparecer, ⟨ ⁠dG/es⁠ ⟩ _τ = 0. Una razón que se cita a menudo se aplica a los sistemas establemente ligados, es decir, sistemas que se mantienen unidos para siempre y cuyos parámetros son finitos. En ese caso, las velocidades y las coordenadas de las partículas del sistema tienen límites superior e inferior, de modo que G ^límite está acotado entre dos extremos, G _mín y G _máx , y el promedio tiende a cero en el límite deτ:

$${\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$$

Incluso si el promedio de la derivada temporal de G es sólo aproximadamente cero, el teorema virial se cumple con el mismo grado de aproximación.

Para fuerzas de ley de potencia con un exponente n , la ecuación general es válida:

$${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Para la atracción gravitacional , n es igual a −1 y la energía cinética promedio es igual a la mitad de la energía potencial negativa promedio. $${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.}$$

Este resultado general es útil para sistemas gravitacionales complejos, como los sistemas solares o las galaxias .

Una aplicación sencilla del teorema del virial se refiere a los cúmulos de galaxias . Si una región del espacio está inusualmente llena de galaxias, es seguro asumir que han estado juntas durante mucho tiempo y se puede aplicar el teorema del virial. Las mediciones del efecto Doppler dan límites inferiores para sus velocidades relativas, y el teorema del virial da un límite inferior para la masa total del cúmulo, incluida cualquier materia oscura.

Si la hipótesis ergódica es válida para el sistema en consideración, no es necesario realizar el promedio a lo largo del tiempo; también se puede realizar un promedio de conjunto , con resultados equivalentes.

En mecánica cuántica

Aunque originalmente se derivó para la mecánica clásica, el teorema virial también es válido para la mecánica cuántica, como lo demostró por primera vez Fock ^[5] utilizando el teorema de Ehrenfest .

Evalúe el conmutador del hamiltoniano con el operador de posición X _n y el operador de momento de la partícula n , $${\displaystyle H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}}$$ $${\displaystyle [H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.}$$

Sumando todas las partículas, se obtiene que para el conmutador se obtienen las cantidades de donde es la energía cinética. El lado izquierdo de esta ecuación es simplemente ⁠ $${\displaystyle Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}}$$ $${\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}}$$ ${\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$dQ/es⁠ , según la ecuación de movimiento de Heisenberg. El valor esperado ⟨ ⁠dQ/es⁠ ⟩ de este tiempo la derivada se desvanece en un estado estacionario, lo que conduce al teorema del virial cuántico , $${\displaystyle 2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.}$$

La identidad de Pokhozhaev

En el campo de la mecánica cuántica, existe otra forma del teorema virial, aplicable a soluciones localizadas de la ecuación de Schrödinger no lineal estacionaria o ecuación de Klein-Gordon , es la identidad de Pokhozhaev , ^[6] también conocida como teorema de Derrick .

Sea continua y de valor real, con . ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

Denotemos . Sea una solución de la ecuación en el sentido de distribuciones . Entonces satisface la relación ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ $${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$$ $${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u),}$$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$$

En relatividad especial

Para una sola partícula en relatividad especial, no se da el caso de que T = ⁠1/2⁠ p · v . En cambio, es cierto que T = ( γ − 1) mc ² , donde γ es el factor de Lorentz

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$y β = ⁠en/do⁠ . Tenemos, La última expresión se puede simplificar a . Por lo tanto, en las condiciones descritas en secciones anteriores (incluida la tercera ley de movimiento de Newton , F _jk = − F _kj , a pesar de la relatividad), el promedio temporal para N partículas con un potencial de ley de potencia es En particular, la relación entre la energía cinética y la energía potencial ya no es fija, sino que necesariamente cae en un intervalo: donde los sistemas más relativistas exhiben las relaciones más grandes. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T}$$ $${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,}$$

Ejemplos

El teorema del virial tiene una forma particularmente simple para el movimiento periódico. Puede utilizarse para realizar cálculos perturbativos para osciladores no lineales. ^[7]

También se puede utilizar para estudiar el movimiento en un potencial central . ^[4] Si el potencial central tiene la forma , el teorema virial se simplifica a . ^{[ cita requerida ]} En particular, para la atracción gravitacional o electrostática ( Coulomb ), . ${\displaystyle U\propto r^{n}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle }$ ${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

Oscilador armónico amortiguado accionado

Análisis basado en. ^[7] Para un oscilador unidimensional con masa , posición , fuerza impulsora , constante de resorte y coeficiente de amortiguamiento , la ecuación de movimiento es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F\cos(\omega t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle m\underbrace {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {-kx} _{\text{spring}}\underbrace {-\gamma {\frac {dx}{dt}}} _{\text{friction}}\underbrace {+F\cos(\omega t)} _{\text{external driving}}}$$

Cuando el oscilador ha alcanzado un estado estable, realiza una oscilación estable , donde es la amplitud y es el ángulo de fase. ${\displaystyle x=X\cos(\omega t+\varphi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi }$

Aplicando el teorema virial, tenemos , que se simplifica a , donde es la frecuencia natural del oscilador. ${\displaystyle m\langle {\dot {x}}{\dot {x}}\rangle =k\langle xx\rangle +\gamma \langle x{\dot {x}}\rangle -F\langle \cos(\omega t)x\rangle }$ ${\displaystyle F\cos(\varphi )=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})X}$ ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$

Para resolver las dos incógnitas, necesitamos otra ecuación. En estado estable, la potencia perdida por ciclo es igual a la potencia ganada por ciclo: , que se simplifica a . ${\displaystyle \underbrace {\langle {\dot {x}}\;\gamma {\dot {x}}\rangle } _{\text{power dissipated}}=\underbrace {\langle {\dot {x}}\;F\cos \omega t\rangle } _{\text{power input}}}$ ${\displaystyle \sin \varphi =-{\frac {\gamma X\omega }{F}}}$

Ahora tenemos dos ecuaciones que dan como resultado la solución . ${\displaystyle {\begin{cases}X&={\sqrt {\frac {F^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}+m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}\\\tan \varphi &=-{\frac {\gamma \omega }{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\end{cases}}}$

Ley de los gases ideales

Consideremos un recipiente lleno de un gas ideal que consta de masas puntuales. La fuerza aplicada a las masas puntuales es el negativo de las fuerzas aplicadas a la pared del recipiente, que tiene la forma , donde es el vector normal unitario que apunta hacia afuera. Entonces el teorema del virial establece Por el teorema de divergencia , . Y dado que la energía cinética total promedio , tenemos . ^[8] ${\displaystyle d\mathbf {F} =-\mathbf {\hat {n}} PdA}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}{\Bigg \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Bigg \rangle }={\frac {P}{2}}\int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA}$$ ${\textstyle \int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} dV=3\int dV=3V}$ ${\textstyle \langle T\rangle =N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle =N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$ ${\displaystyle PV=NkT}$

Materia oscura

En 1933, Fritz Zwicky aplicó el teorema del virial para estimar la masa del cúmulo de Coma y descubrió una discrepancia de masa de aproximadamente 450, que explicó como debida a la "materia oscura". ^[9] Refinó el análisis en 1937, encontrando una discrepancia de aproximadamente 500. ^{[10] [11]}

Análisis teórico

Aproximó el cúmulo de Coma como un "gas" esférico de estrellas de masa aproximadamente igual , lo que da . La energía potencial gravitatoria total del cúmulo es , dando . Suponiendo que el movimiento de las estrellas sea el mismo durante un tiempo suficientemente largo ( ergodicidad ), . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}}$ ${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$

Zwicky lo estimó como el potencial gravitatorio de una bola uniforme de densidad constante, dando . ${\displaystyle \langle U\rangle }$ ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$

Entonces, por el teorema virial, la masa total del cúmulo es $${\displaystyle Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}}$$

Datos

Zwicky ^[9] estimó que hay galaxias en el cúmulo, cada una con una masa estelar observada (sugerida por Hubble), y el cúmulo tiene un radio de . También midió las velocidades radiales de las galaxias mediante desplazamientos Doppler en los espectros galácticos, que son . Suponiendo que hay equipartición de la energía cinética, . ${\displaystyle _{1933}}$ ${\displaystyle N=800}$ ${\displaystyle m=10^{9}M_{\odot }}$ ${\displaystyle R=10^{6}{\text{ly}}}$ ${\displaystyle \langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}}$ ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle }$

Según el teorema del virial, la masa total del cúmulo debería ser . Sin embargo, la masa observada es , lo que significa que la masa total es 450 veces la masa observada. ${\displaystyle {\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }}$ ${\displaystyle Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }}$

Generalizaciones

Lord Rayleigh publicó una generalización del teorema virial en 1900 ^[12] que fue parcialmente reimpresa en 1903. ^[13] Henri Poincaré demostró y aplicó una forma del teorema virial en 1911 al problema de la formación del Sistema Solar a partir de una nube protoestelar (entonces conocida como cosmogonía). ^[14] Una forma variacional del teorema virial fue desarrollada en 1945 por Ledoux. ^[15] Una forma tensorial del teorema virial fue desarrollada por Parker, ^[16] Chandrasekhar ^[17] y Fermi. ^[18] La siguiente generalización del teorema virial ha sido establecida por Pollard en 1964 para el caso de la ley del cuadrado inverso: ^{[19] [20] [ verificación fallida ]} De lo contrario se debe agregar un término límite . ^[21] $${\displaystyle 2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.}$$

Inclusión de campos electromagnéticos

El teorema del virial puede extenderse para incluir los campos eléctricos y magnéticos. El resultado es ^[22]

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},}$$

donde I es el momento de inercia , G es la densidad de momento del campo electromagnético , T es la energía cinética del "fluido", U es la energía "térmica" aleatoria de las partículas, W ^E y W ^M son el contenido de energía eléctrica y magnética del volumen considerado. Finalmente, p _ik es el tensor de presión del fluido expresado en el sistema de coordenadas móvil local.

$${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },}$$

y T _ik es el tensor de tensión electromagnética ,

$${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$$

Un plasmoide es una configuración finita de campos magnéticos y plasma. Con el teorema del virial es fácil ver que cualquier configuración de este tipo se expandirá si no está contenida por fuerzas externas. En una configuración finita sin paredes que soporten presión o bobinas magnéticas, la integral de superficie se anulará. Dado que todos los demás términos del lado derecho son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positiva. También es fácil estimar el tiempo de expansión τ . Si una masa total M está confinada dentro de un radio R , entonces el momento de inercia es aproximadamente MR ² , y el lado izquierdo del teorema del virial es ⁠Señor ²/τ2^​⁠ . Los términos del lado derecho suman aproximadamente pR ³ , donde p es el mayor de la presión del plasma o la presión magnética. Igualando estos dos términos y despejando τ , encontramos

$${\displaystyle \tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},}$$

donde c _s es la velocidad de la onda acústica iónica (o la onda de Alfvén , si la presión magnética es mayor que la presión del plasma). Por lo tanto, se espera que la vida útil de un plasmoide sea del orden del tiempo de tránsito acústico (o de Alfvén).

Sistema uniforme relativista

En el caso en que en el sistema físico se tienen en cuenta el campo de presión, los campos electromagnético y gravitacional, así como el campo de aceleración de partículas, el teorema virial se escribe en forma relativista de la siguiente manera: ^[23]

$${\displaystyle \left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,}$$

donde el valor W _k ≈ γ _c T excede la energía cinética de las partículas T por un factor igual al factor de Lorentz γ _c de las partículas en el centro del sistema. En condiciones normales podemos suponer que γ _c ≈ 1 , entonces podemos ver que en el teorema virial la energía cinética está relacionada con la energía potencial no por el coeficiente ⁠1/2⁠ , sino por el coeficiente cercano a 0,6. La diferencia con el caso clásico surge debido a que se considera el campo de presión y el campo de aceleración de las partículas dentro del sistema, mientras que la derivada del escalar G no es igual a cero y debe considerarse como la derivada material .

Un análisis del teorema integral del virial generalizado permite encontrar, a partir de la teoría de campos, una fórmula para la velocidad cuadrática media de partículas típicas de un sistema sin utilizar la noción de temperatura: ^[24]

$${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},}$$

donde es la velocidad de la luz, es la constante del campo de aceleración, es la densidad de masa de las partículas, es el radio actual. ${\displaystyle ~c}$ ${\displaystyle ~\eta }$ ${\displaystyle ~\rho _{0}}$ ${\displaystyle ~r}$

A diferencia del teorema virial para partículas, para el campo electromagnético el teorema virial se escribe de la siguiente manera: ^[25] donde la energía se considera como la energía del campo cinético asociada con cuatro corrientes , y establece la energía del campo potencial encontrada a través de los componentes del tensor electromagnético. $${\displaystyle ~E_{kf}+2W_{f}=0,}$$ ${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$ ${\displaystyle j^{\alpha }}$ $${\displaystyle ~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$$

En astrofísica

El teorema virial se aplica con frecuencia en astrofísica, especialmente para relacionar la energía potencial gravitatoria de un sistema con su energía cinética o térmica . Algunas relaciones viriales comunes son ^{[ cita requerida ]} para una masa M , un radio R , una velocidad v y una temperatura T . Las constantes son la constante de Newton G , la constante de Boltzmann k _B y la masa del protón m _p . Tenga en cuenta que estas relaciones son solo aproximadas y, a menudo, los factores numéricos principales (por ejemplo, ⁠ $${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}}$$ 3/5⁠ o ⁠1/2) se descuidan por completo.

Galaxias y cosmología (masa y radio del virial)

En astronomía , la masa y el tamaño de una galaxia (o sobredensidad general) se definen a menudo en términos de la " masa virial " y el " radio virial ", respectivamente. Debido a que las galaxias y las sobredensidades en fluidos continuos pueden extenderse en gran medida (incluso hasta el infinito en algunos modelos, como una esfera isotérmica ), puede resultar difícil definir medidas específicas y finitas de su masa y tamaño. El teorema del virial y los conceptos relacionados proporcionan un medio a menudo conveniente para cuantificar estas propiedades.

En dinámica de galaxias, la masa de una galaxia se infiere a menudo midiendo la velocidad de rotación de su gas y estrellas, suponiendo órbitas keplerianas circulares . Utilizando el teorema del virial, la dispersión de velocidad σ se puede utilizar de forma similar. Tomando la energía cinética (por partícula) del sistema como T = ⁠1/2⁠ v2 ~ ⁠^​3/2⁠ σ ² , y la energía potencial (por partícula) como U ~ ⁠3/5⁠ ⁠Director General/Rpodemos escribir

$${\displaystyle {\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.}$$

Aquí se muestra el radio en el que se mide la dispersión de velocidad y M es la masa dentro de ese radio. La masa y el radio del virial se definen generalmente para el radio en el que la dispersión de velocidad es máxima, es decir, ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.}$$

Como se han realizado numerosas aproximaciones, además de la naturaleza aproximada de estas definiciones, a menudo se omiten las constantes de proporcionalidad de orden unitario (como en las ecuaciones anteriores). Por lo tanto, estas relaciones solo son precisas en un sentido de orden de magnitud o cuando se utilizan de manera coherente.

En cosmología se suele utilizar una definición alternativa de la masa y el radio del virial, donde se utiliza para referirse al radio de una esfera, centrada en una galaxia o un cúmulo de galaxias , dentro del cual se mantiene el equilibrio virial. Dado que este radio es difícil de determinar observacionalmente, a menudo se aproxima como el radio dentro del cual la densidad promedio es mayor, por un factor específico, que la densidad crítica , donde H es el parámetro de Hubble y G es la constante gravitacional . Una opción común para el factor es 200, que corresponde aproximadamente a la sobredensidad típica en el colapso esférico en forma de sombrero de copa (ver Masa del virial ), en cuyo caso el radio virial se aproxima como La masa del virial se define entonces en relación con este radio como $${\displaystyle \rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$$ $${\displaystyle r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.}$$ $${\displaystyle M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.}$$

Estrellas

El teorema del virial es aplicable a los núcleos de las estrellas, ya que establece una relación entre la energía potencial gravitatoria y la energía cinética térmica (es decir, la temperatura). A medida que las estrellas de la secuencia principal convierten el hidrógeno en helio en sus núcleos, el peso molecular medio del núcleo aumenta y debe contraerse para mantener la presión suficiente para soportar su propio peso. Esta contracción disminuye su energía potencial y, según el teorema del virial, aumenta su energía térmica. La temperatura del núcleo aumenta incluso cuando se pierde energía, lo que en realidad es un calor específico negativo . ^[26] Esto continúa más allá de la secuencia principal, a menos que el núcleo se degenere, ya que eso hace que la presión se vuelva independiente de la temperatura y la relación virial con n igual a −1 ya no se cumple. ^[27]

Véase también

• Coeficiente virial
• Estrés viral
• Masa viral
• Tensor de Chandrasekhar
• Ecuaciones viriales de Chandrasekhar
• Teorema de Derrick
• Teorema de equipartición
• Teorema de Ehrenfest
• La identidad de Pokhozhaev

Referencias

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Lectura adicional

• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Collins, GW (1978). El teorema virial en la astrofísica estelar. Pachart Press. Bibcode :1978vtsa.book.....C. ISBN 978-0-912918-13-6.
• i̇Pekoğlu, Y.; Turgut, S. (2016). "Una derivación elemental del teorema del virial cuántico a partir del teorema de Hellmann-Feynman". Revista Europea de Física . 37 (4): 045405. Bibcode :2016EJPh...37d5405I. doi :10.1088/0143-0807/37/4/045405. S2CID  125030620.

Enlaces externos

• El teorema virial en MathPages
• Contracción gravitacional y formación de estrellas, Universidad Estatal de Georgia