Planos euclidianos en el espacio tridimensional.

Superficie plana

Ecuación plana en forma normal.

En geometría euclidiana , un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente. Los planos euclidianos surgen a menudo como subespacios del espacio tridimensional . Un ejemplo prototípico es el de las paredes de una habitación, infinitamente extendidas y asumidas como infinitamente delgadas. Si bien un par de números reales son suficientes para describir puntos en un plano, la relación con puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su integración en el espacio ambiental . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Conceptos derivados

Un segmento plano (o simplemente "plano", en uso común) es una región de superficie plana ; es análogo a un segmento de línea . Un bivector es un segmento plano orientado , análogo a los segmentos de línea dirigidos . Una cara es un segmento plano que limita un objeto sólido . ^[1] Una losa es una región delimitada por dos planos paralelos. Un paralelepípedo es una región delimitada por tres pares de planos paralelos.

Ocurrencia en la naturaleza

Los frentes de onda de una onda plana que viaja en el espacio tridimensional.

Un avión sirve como modelo matemático para muchos fenómenos físicos, como la reflexión especular en un espejo plano o los frentes de onda en una onda plana viajera . La superficie libre de los líquidos no perturbados tiende a ser casi plana (ver planitud ). La superficie más plana jamás fabricada es un espejo atómico estabilizado cuánticamente. ^[2] En astronomía, se utilizan varios planos de referencia para definir posiciones en órbita. Los planos anatómicos pueden ser laterales ("sagital"), frontales ("coronal") o transversales. En geología, los lechos (capas de sedimentos) suelen ser planos. Los planos participan en diferentes formas de formación de imágenes , como el plano focal , el plano de imagen y el plano de imagen .

Lechos de roca sedimentaria en el Parque Geológico do Varvito, Itu, São Paulo , Brasil

Fondo

Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático: un tratamiento axiomático de la geometría. ^[3] Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes ) y postulados (o axiomas ) que luego utilizó para probar varios enunciados geométricos. Aunque el plano en su sentido moderno no recibe una definición directa en ningún lugar de los Elementos , puede considerarse como parte de las nociones comunes. ^[4] Euclides nunca usó números para medir longitudes, ángulos o áreas. El plano euclidiano dotado de un sistema de coordenadas cartesiano elegido se denomina plano cartesiano ; un plano euclidiano no cartesiano equipado con un sistema de coordenadas polares se llamaría plano polar .

Tres planos paralelos.

Un plano es una superficie reglada .

Plano euclidiano

Sistema de coordenadas cartesiano bidimensional

En matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado o . Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye en particular el concepto de rectas paralelas . También tiene propiedades métricas inducidas por la distancia , lo que permite definir círculos y medir ángulos . ${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesiano elegido se denomina plano cartesiano .

El conjunto de pares ordenados de números reales (el plano de coordenadas reales ), dotado del producto escalar , suele denominarse plano euclidiano , ya que todo plano euclidiano es isomorfo a él. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Representación

Esta sección se ocupa únicamente de los planos incrustados en tres dimensiones: concretamente, en R 3 .

Determinación por puntos y rectas contenidas

En un espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones, un plano está determinado únicamente por cualquiera de los siguientes:

• Tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea).
• Una recta y un punto que no está en esa recta.
• Dos líneas distintas pero que se cruzan.
• Dos líneas distintas pero paralelas .

Propiedades

Las siguientes afirmaciones son válidas en el espacio euclidiano tridimensional pero no en dimensiones superiores, aunque tienen análogos de dimensiones superiores:

• Dos planos distintos son paralelos o se cruzan en una línea .
• Una recta es paralela a un plano, lo corta en un solo punto o está contenida en el plano.
• Dos rectas distintas perpendiculares al mismo plano deben ser paralelas entre sí.
• Dos planos distintos perpendiculares a una misma recta deben ser paralelos entre sí.

Forma puntual normal y forma general de la ecuación de un plano.

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea r ₀ el vector de posición de algún punto P ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) , y sea n = ( a , b , c ) un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto P ₀ y el vector n está formado por aquellos puntos P , con vector de posición r , tales que el vector trazado de P ₀ a P es perpendicular a n . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos r tales que

$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.}$$

producto escalar (escalar)

$${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$

normal puntual^[5]ecuación lineal

$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$

$${\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),}$$

${\displaystyle -{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.}$

En matemáticas es una convención común expresar lo normal como un vector unitario , pero el argumento anterior es válido para un vector normal de cualquier longitud distinta de cero.

Por el contrario, se demuestra fácilmente que si a , b , c y d son constantes y a , b y c no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación

$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$

n = ( a , b , c )^[6]forma general^[7]

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma y = d + ax + cz (con b = −1 ) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describir un plano con un punto y dos vectores sobre él.

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma

$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},}$$

Descripción vectorial de un avión

donde s y t abarcan todos los números reales, a v y w se les dan vectores linealmente independientes que definen el plano, y r ₀ es el vector que representa la posición de un punto arbitrario (pero fijo) en el plano. Los vectores v y w se pueden visualizar como vectores que comienzan en r ₀ y apuntan en diferentes direcciones a lo largo del plano. Los vectores v y w pueden ser perpendiculares , pero no paralelos.

Describir un plano que pasa por tres puntos.

Sean p ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , p ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) y p ₃ = ( x ₃ , y ₃ , z ₃ ) puntos no colineales.

Método 1

El plano que pasa por p ₁ , p ₂ y p ₃ se puede describir como el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) que satisfacen las siguientes ecuaciones determinantes :

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$$

Método 2

Para describir el plano mediante una ecuación de la forma , resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

$${\displaystyle ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}$$

$${\displaystyle ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}$$

$${\displaystyle ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}$$

Este sistema se puede resolver utilizando la regla de Cramer y manipulaciones matriciales básicas. Dejar

$${\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.}$$

Si D es distinto de cero (es decir, para aviones que no pasan por el origen), los valores de a , b y c se pueden calcular de la siguiente manera:

$${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$

Estas ecuaciones son paramétricas en d . Igualar d a cualquier número distinto de cero y sustituirlo en estas ecuaciones producirá un conjunto de soluciones.

Método 3

Este plano también puede describirse mediante la prescripción anterior de " punto y vector normal ". Un vector normal adecuado viene dado por el producto vectorial

$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),}$$

r ₀p ₁p ₂p ₃ ^[8]

Operaciones

Distancia desde un punto a un plano

En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal en el plano, la distancia perpendicular al punto más cercano del plano.

Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para que coincida con el punto dado y luego encontrando el punto en el plano desplazado que está más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas : ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

La distancia entre el origen y el punto es . ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Intersección línea-plano

Las tres posibles relaciones plano-línea en tres dimensiones. (En cada caso se muestra sólo una parte del plano, que se extiende infinitamente).

En geometría analítica , la intersección de una recta y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío , un punto o una recta. Es la recta completa si esa recta está incrustada en el plano, y es el conjunto vacío si la recta es paralela al plano pero está fuera de él. De lo contrario, la línea corta el plano en un solo punto.

Distinguir estos casos y determinar ecuaciones para el punto y la línea en los últimos casos tiene utilidad en gráficos por computadora , planificación de movimiento y detección de colisiones .

Línea de intersección entre dos planos.

Dos planos que se cruzan en un espacio tridimensional.

En geometría analítica , la intersección de dos planos en el espacio tridimensional es una línea .

Intersección esfera-plano

Cuando la intersección de una esfera y un plano no es vacía ni es un solo punto, es un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Sea S una esfera con centro O , P un plano que corta a S. Dibuje OE perpendicular a P y encontrándose con P en E. Sean A y B dos puntos diferentes en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y las hipotenusas AO y BO iguales. Por tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto prueba que todos los puntos de la intersección están a la misma distancia del punto E en el plano P , es decir, todos los puntos de la intersección se encuentran en una circunferencia C con centro E. ^[9] Esto prueba que la intersección de P y S está contenida en C. Tenga en cuenta que OE es el eje del círculo.

Consideremos ahora un punto D del círculo C. Dado que C se encuentra en P , también lo hace D. Por otro lado, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y los catetos EA y ED iguales. Por lo tanto, las hipotenusas AO y DO son iguales e iguales al radio de S , de modo que D se encuentra en S. Esto prueba que C está contenido en la intersección de P y S.

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que se puede trazar a través de tres puntos dados. ^[10]

La prueba se puede ampliar para mostrar que todos los puntos de un círculo están a una distancia angular común de uno de sus polos. ^[11]

Compárese también las secciones cónicas , que pueden producir óvalos .

Ver también

• Plano (geometría)
• Semiplano
• Hiperplano
• Coordenadas del plano
• Plano de incidencia
• Plano de rotación
• Orientación del plano
• Polígono

Notas

1. Diccionario colegiado de Merriam-Webster (undécima ed.). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.
2. Evans, Jon (22 de agosto de 2008). "La superficie más lisa jamás vista es un espejo para los átomos". Científico nuevo . Consultado el 5 de marzo de 2023 .
3. Evas 1963, pag. 19
4. Joyce, DE (1996), Elementos de Euclides, Libro I, Definición 7, Universidad Clark , consultado el 8 de agosto de 2009
5. Antón 1994, pag. 155
6. Antón 1994, pag. 156
7. Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld: un recurso web de Wolfram , consultado el 8 de agosto de 2009
8. Dawkins, Paul, "Ecuaciones de planos", Cálculo III
9. La prueba sigue a Hobbs, Prop. 304
10. Hobbs, Proposición 308
11. Hobbs, Proposición 310

Referencias

• Anton, Howard (1994), Álgebra lineal elemental (7ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Eves, Howard (1963), Un estudio de geometría , vol. Yo, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

enlaces externos

• "Avión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Avión". MundoMatemático .
• "Aliviando la dificultad de la aritmética y la geometría plana" es un manuscrito árabe, del siglo XV, que sirve como tutorial sobre geometría plana y aritmética.