Suma de Kloosterman

En matemáticas , una suma de Kloosterman es un tipo particular de suma exponencial . Llevan el nombre del matemático holandés Hendrik Kloosterman , quien los introdujo en 1926 ^[1] cuando adaptó el método del círculo de Hardy-Littlewood para abordar un problema que involucraba formas cuadráticas diagonales definidas positivas en cuatro variables, fortaleciendo su investigación de tesis de 1924 sobre cinco o más. variables. ^[2]

Sean a , b , m números naturales . Entonces

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}$

Aquí x* es el inverso de x módulo m .

Contexto

Las sumas de Kloosterman son un análogo de anillo finito de las funciones de Bessel . Ocurren (por ejemplo) en la expansión de Fourier de las formas modulares .

Hay aplicaciones a valores medios que involucran la función zeta de Riemann , primos en intervalos cortos, primos en progresiones aritméticas, la teoría espectral de funciones automórficas y temas relacionados.

Propiedades de las sumas de Kloosterman

• Si a = 0 o b = 0 entonces la suma de Kloosterman se reduce a la suma de Ramanujan .
• K ( a , b ; m ) depende sólo de la clase de residuo de a y b módulo m . Además K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) y K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ) si mcd( c , m ) = 1 .
• Sea m = m ₁ m ₂ con m ₁ y m ₂ coprimos. Elija n ₁ y n ₂ tales que n ₁ m ₁ ≡ 1 mod m ₂ y n ₂ m ₂ ≡ 1 mod m ₁ . Entonces

${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$

Esto reduce la evaluación de las sumas de Kloosterman al caso donde m = p ^k para un número primo p y un entero k ≥ 1 .

• El valor de K ( a , b ; m ) es siempre un número real algebraico . De hecho K ( a , b ; m ) es un elemento del subcampo que es el compositum de los campos. ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}$

donde p abarca todos los primos impares tales que p ^α || m y

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}$

para 2 ^α || metro con α > 3 .

• La identidad Selberg:

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}$

Fue afirmado por Atle Selberg y demostrado por primera vez por Kuznetsov utilizando la teoría espectral de formas modulares . Hoy en día se conocen pruebas elementales de esta identidad. ^[3]

• Para p un primo impar, no se conoce una fórmula simple para K ( a , b ; p ) , y la conjetura de Sato-Tate sugiere que no existe ninguna. Sin embargo, las fórmulas de elevación siguientes suelen ser tan buenas como una evaluación explícita. Si mcd( a , p ) = 1 también se tiene la transformación importante:

${\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}$

donde denota el símbolo de Jacobi . ${\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}$

• Sea m = p ^k con k > 1, p primo y supongamos mcd( p , 2 ab ) = 1 . Entonces:

${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde ℓ se elige de modo que ℓ ² ≡ ab mod m y ε _m se define de la siguiente manera (tenga en cuenta que m es impar):

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Esta fórmula fue descubierta por primera vez por Hans Salie ^[4] y existen muchas pruebas sencillas en la literatura. ^[5]

Estimados

Debido a que las sumas de Kloosterman ocurren en la expansión de Fourier de formas modulares, las estimaciones de las sumas de Kloosterman también arrojan estimaciones de los coeficientes de Fourier de formas modulares. La estimación más famosa se debe a André Weil y afirma:

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

Aquí está el número de divisores positivos de m . Debido a las propiedades multiplicativas de las sumas de Kloosterman, estas estimaciones pueden reducirse al caso en el que m es un número primo p . Una técnica fundamental de Weil reduce la estimación. ${\displaystyle \tau (m)}$

${\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}$

cuando ab ≠ 0 a sus resultados en funciones zeta locales . Geométricamente, la suma se toma a lo largo de una 'hipérbola' XY = ab y consideramos que esto define una curva algebraica sobre el campo finito con p elementos. Esta curva tiene una cobertura de Artin-Schreier ramificada C , y Weil demostró que la función zeta local de C tiene una factorización; esta es la teoría de la función L de Artin para el caso de campos globales que son campos funcionales, para la cual Weil da como referencia un artículo de J. Weissinger de 1938 (al año siguiente dio un artículo de Hasse de 1935 como referencia anterior para la idea; dada la observación bastante denigratoria de Weil sobre las capacidades de los teóricos analíticos de números para resolver este ejemplo por sí mismos, en sus Collected Papers , estas ideas eran presumiblemente "folclore" de bastante larga data). Los factores no polares son del tipo 1 − Kt , donde K es una suma de Kloosterman. La estimación se deriva entonces del trabajo básico de Weil de 1940.

De hecho, esta técnica muestra de manera mucho más general que sumas exponenciales completas 'a lo largo de' variedades algebraicas tienen buenas estimaciones, dependiendo de las conjeturas de Weil en dimensión > 1. Pierre Deligne , Gérard Laumon y Nicholas Katz la han llevado mucho más lejos .

Sumas cortas de Kloosterman

Las sumas cortas de Kloosterman se definen como sumas trigonométricas de la forma

${\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}$

donde n recorre un conjunto A de números, coprimo de m , cuyo número de elementos es esencialmente menor que m , y el símbolo denota la clase de congruencia, inversa a n módulo m : ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle n^{*}}$ ${\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.}$

Hasta principios de la década de 1990, las estimaciones para sumas de este tipo se conocían principalmente en el caso en que el número de sumandos era mayor que √ m . Estas estimaciones se deben a HD Kloosterman , IM Vinogradov , H. Salie, L. Carlitz , S. Uchiyama y A. Weil . Las únicas excepciones fueron los módulos especiales de la forma m = p ^α , donde p es un número primo fijo y el exponente α aumenta hasta el infinito (este caso fue estudiado por AG Postnikov mediante el método de Ivan Matveyevich Vinogradov ).

En la década de 1990, Anatolii Alexeevitch Karatsuba desarrolló ^{[6] [7] [8]} un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman. El método de Karatsuba permite estimar las sumas de Kloosterman, cuyo número de sumandos no supera , y en algunos casos incluso , donde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El último artículo de AA Karatsuba sobre este tema ^[9] se publicó después de su muerte. ${\displaystyle m^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Varios aspectos del método de Karatsuba encontraron aplicaciones para resolver los siguientes problemas de la teoría analítica de números:

• encontrar asintóticas de las sumas de partes fraccionarias de la forma:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}$

donde n recorre, uno tras otro, los números enteros que satisfacen la condición , y p recorre los números primos que no dividen el módulo m (AAKaratsuba); ${\displaystyle (n,m)=1}$

• encontrar el límite inferior para el número de soluciones de las desigualdades de la forma:

${\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }$

en los números enteros n , 1 ≤ n ≤ x , coprimo de m , (AA Karatsuba); ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• la precisión de aproximación de un número real arbitrario en el segmento [0, 1] por partes fraccionarias de la forma:

${\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}$

donde (AA Karatsuba); ${\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}$

• una constante c más precisa en el teorema de Brun-Titchmarsh  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$

donde es el número de números primos p , que no excede a x y que pertenecen a la progresión aritmética ( J. Friedlander , H. Iwaniec ); ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$ ${\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}$

• un límite inferior para el máximo divisor primo del producto de números de la forma: n ³ + 2, N < n ≤ 2 N .( DR Heath-Brown );
• demostrando que hay infinitos números primos de la forma: a ² + b ⁴ .( J. Friedlander , H. Iwaniec );
• propiedades combinatorias del conjunto de números (AAGlibichuk):

${\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}$

Levantamiento de las sumas de Kloosterman

Aunque es posible que las sumas de Kloosterman no se calculen en general, se pueden "elevar" a campos de números algebraicos, lo que a menudo produce fórmulas más convenientes. Sea un entero libre de cuadrados con Supongamos que para cualquier factor primo p de m tenemos ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \gcd(\tau ,m)=1.}$

${\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}$

Entonces, para todos los números enteros a , b coprimos con respecto a m tenemos

${\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}$

Aquí Ω( m ) es el número de factores primos de m contando la multiplicidad. La suma de la derecha se puede reinterpretar como una suma de enteros algebraicos en el campo. Esta fórmula se debe a Yangbo Ye, inspirada en Don Zagier y ampliando el trabajo de Hervé Jacquet y Ye sobre la fórmula de traza relativa para GL(2) . ^[10] De hecho, se pueden obtener sumas exponenciales mucho más generales. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).}$

Fórmula de traza de Kuznetsov

La fórmula de Kuznetsov o de traza relativa conecta a un nivel profundo las sumas de Kloosterman con la teoría espectral de las formas automórficas . Originalmente esto podría haberse expresado de la siguiente manera. Sea una función suficientemente " bien comportada ". Luego se llaman identidades del siguiente tipo fórmula de rastreo de Kuznetsov : ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.}$

La parte de transformación integral es alguna transformada integral de g y la parte espectral es una suma de coeficientes de Fourier, tomados de espacios de formas modulares holomorfas y no holomorfas retorcidas con alguna transformada integral de g . Kuznetsov encontró la fórmula de trazas de Kuznetsov mientras estudiaba el crecimiento de funciones automórficas de peso cero. ^[12] Utilizando estimaciones de sumas de Kloosterman, pudo derivar estimaciones de coeficientes de Fourier de formas modulares en los casos en que la prueba de Pierre Deligne de las conjeturas de Weil no era aplicable.

Posteriormente Jacquet lo tradujo a un marco teórico de representación . Sea G un grupo reductivo sobre un campo numérico F y sea un subgrupo. Mientras que la fórmula de traza habitual estudia el análisis armónico en G , la fórmula de traza relativa es una herramienta para estudiar el análisis armónico en el espacio simétrico G / H . Para obtener una descripción general y numerosas aplicaciones, consulte las referencias. ^[13] ${\displaystyle H\subset G}$

Historia

La estimación de Weil ahora se puede estudiar en WM Schmidt, Equations over finite campos: un enfoque elemental , 2ª ed. (Prensa Kendrick, 2004). Las ideas subyacentes aquí se deben a S. Stepanov y se inspiran en el trabajo de Axel Thue en aproximación diofántica .

Existen muchas conexiones entre las sumas de Kloosterman y las formas modulares . De hecho, las sumas aparecieron por primera vez (menos el nombre) en un artículo de 1912 de Henri Poincaré sobre formas modulares. Hans Salié introdujo una forma de suma de Kloosterman que está distorsionada por un carácter de Dirichlet : ^[14] Estas sumas de Salié tienen una evaluación elemental. ^[4]

Después del descubrimiento de fórmulas importantes que conectaban las sumas de Kloosterman con formas modulares no holomorfas por Kuznetsov en 1979, que contenían algunos "ahorros en promedio" sobre la estimación de la raíz cuadrada, Iwaniec y Deshouillers desarrollaron más en un artículo fundamental en Inventiones Mathematicae ( mil novecientos ochenta y dos). Varios autores desarrollaron aplicaciones posteriores a la teoría analítica de números, en particular Bombieri , Fouvry, Friedlander e Iwaniec.

El campo sigue siendo algo inaccesible. Se ofrece una introducción detallada a la teoría espectral necesaria para comprender las fórmulas de Kuznetsov en RC Baker, Kloosterman Sums and Maass Forms , vol. Yo (Prensa Kendrick, 2003). También es relevante para estudiantes e investigadores interesados ​​en este campo Iwaniec y Kowalski (2004).

Yitang Zhang utilizó sumas de Kloosterman en su prueba de espacios acotados entre números primos. ^[15]

Ver también

• Hasse está obligado

Notas

1. Kloosterman, HD Sobre la representación de números en la forma ax ² + by ² + cz ² + dt ² , Acta Mathematica 49 (1926), págs.
2. Kloosterman, HD Over het splitsen van geheele positieve getallen in een some van kwadraten , Tesis (1924) Universiteit Leiden
3. Matthes, R. Una prueba elemental de una fórmula de Kuznecov para sumas de Kloosterman , Resultate Math. 18 (1-2), páginas: 120-124, (1990).
4. Hans Salie, Uber die Kloostermanschen Summen S (u, v; q) , Matemáticas. Tiempo. 34 (1931–32) págs. 91–109.
5. Williams, Kenneth S. Nota sobre la suma de Kloosterman , Transactions of the American Mathematical Society 30(1), páginas: 61–62, (1971).
6. Karatsuba, AA (1995). "Análogos de las sumas de Kloostermans". Izv. Ross. Akád. Nauk, ser. Matemáticas. (59:5): 93–102.
7. Karatsuba, AA (1997). "Análogos de sumas incompletas de Kloosterman y sus aplicaciones". Matemáticas de las montañas Tatra. Publ. (11): 89-120.
8. Karatsuba, AA (1999). "Kloosterman sumas dobles". Estera. Zametki (66:5): 682–687.
9. Karatsuba, AA (2010). "Nuevas estimaciones de sumas cortas de Kloosterman". Estera. Zametki (88:3–4): 347–359.
10. Ye, Y. El levantamiento de las sumas de Kloosterman , Journal of Number Theory 51, páginas: 275-287, (1995).
11. Ye, Y. El levantamiento de una suma exponencial a un campo numérico algebraico cíclico de grado primo , Transactions of the American Mathematical Society 350 (12), páginas: 5003-5015, (1998).
12. NV Kuznecov, la conjetura de Petersson para formas de peso cero y la conjetura de Linnik. Sumas de sumas de Kloosterman , Matemáticas de la URSS-Sbornik 39(3), (1981).
13. Cogdell, JW e I. Piatetski-Shapiro, El análisis aritmético y espectral de la serie de Poincaré , volumen 13 de Perspectivas en matemáticas . Academic Press Inc., Boston, MA, (1990).
14. Lidl y Niederreiter (1997) p.253
15. Zhang, Yitang (1 de mayo de 2014). "Brechas acotadas entre números primos" (PDF) . Anales de Matemáticas . 179 (3): 1121-1174. doi : 10.4007/annals.2014.179.3.7. Archivado desde el original (PDF) el 9 de julio de 2020 . Consultado el 17 de noviembre de 2022 .

Referencias

• Arkhipov, GI; Chubarikov, VN; Karatsuba, AA (2004). Sumas trigonométricas en teoría y análisis de números . Exposiciones de Gruyter en Matemáticas. vol. 39. Berlín-Nueva York: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-016266-0. Zbl  1074.11043.
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del Coloquio. vol. 53. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3633-1. Zbl  1059.11001.
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Campos finitos . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 20 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.
• Weil, André (1948). "Sobre algunas sumas exponenciales". Proc. Nacional. Acad. Ciencia . 34 : 204-207. Zbl  0032.26102.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La suma de Kloosterman". MundoMatemático .
• "Suma de Kloosterman". PlanetMath .
• "Encuadernado con Bomberi-Weil - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org .