Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano)

Sistema de coordenadas en un entorno acelerado y "en reposo"

Un sistema de referencia adecuado en la teoría de la relatividad es una forma particular de sistema de referencia acelerado , es decir, un sistema de referencia en el que se puede considerar que un observador acelerado está en reposo. Puede describir fenómenos en el espacio-tiempo curvo , así como en el espacio-tiempo "plano" de Minkowski en el que se puede ignorar la curvatura del espacio-tiempo causada por el tensor de energía-momento . Dado que este artículo considera sólo el espaciotiempo plano (y utiliza la definición de que la relatividad especial es la teoría del espaciotiempo plano mientras que la relatividad general es una teoría de la gravitación en términos de espaciotiempo curvo), en consecuencia se ocupa de los marcos acelerados en la relatividad especial. ^{[1] [2] [3]} (Para la representación de aceleraciones en marcos inerciales, consulte el artículo Aceleración (relatividad especial) , donde se definen y definen conceptos como tres aceleraciones, cuatro aceleraciones , aceleración propia , movimiento hiperbólico, etc. relacionados entre sí.)

Una propiedad fundamental de tal marco es el empleo del tiempo propio del observador acelerado como el tiempo del propio marco. Esto está relacionado con la hipótesis del reloj (confirmada experimentalmente ), según la cual el tiempo exacto de un reloj acelerado no se ve afectado por la aceleración, por lo que la dilatación del tiempo medida del reloj sólo depende de su velocidad relativa momentánea. Los marcos de referencia propios relacionados se construyen utilizando conceptos como tétradas ortonormales comoving , que pueden formularse en términos de fórmulas espaciotemporales de Frenet-Serret , o alternativamente utilizando el transporte de Fermi-Walker como estándar de no rotación. Si las coordenadas están relacionadas con el transporte de Fermi-Walker, a veces se utiliza el término coordenadas de Fermi , o coordenadas propias en el caso general cuando también están involucradas rotaciones. Una clase especial de observadores acelerados sigue líneas de mundo cuyas tres curvaturas son constantes. Estos movimientos pertenecen a la clase de movimientos rígidos de Born , es decir, los movimientos en los que la distancia mutua de los constituyentes de un cuerpo acelerado o congruencia permanece sin cambios en su marco adecuado. Dos ejemplos son las coordenadas de Rindler o las coordenadas de Kottler-Møller para el sistema de referencia adecuado del movimiento hiperbólico , y las coordenadas de Born o Langevin en el caso del movimiento circular uniforme .

A continuación, los índices griegos superan 0,1,2,3, los índices latinos superan 1,2,3 y los índices entre corchetes están relacionados con campos vectoriales de tétrada. La firma del tensor métrico es (-1,1,1,1).

Historia

Albert Einstein (1907) ^{[H 1]} anticipó algunas propiedades de las coordenadas de Kottler-Møller o Rindler cuando analizó el sistema de referencia uniformemente acelerado. Al introducir el concepto de rigidez de Born, Max Born (1909) ^{[H 2]} reconoció que las fórmulas para la línea mundial del movimiento hiperbólico pueden reinterpretarse como transformaciones en un "sistema de referencia hiperbólicamente acelerado". El propio Born, así como Arnold Sommerfeld (1910) ^{[H 3]} y Max von Laue (1911) ^{[H 4]} utilizaron este marco para calcular las propiedades de las partículas cargadas y sus campos (ver Aceleración (relatividad especial)#Historia y Rindler coordenadas#Historia ). Además, Gustav Herglotz (1909) ^{[H 5]} dio una clasificación de todos los movimientos rígidos de Born, incluida la rotación uniforme y las líneas de mundo de curvaturas constantes. Friedrich Kottler (1912, 1914) ^{[H 6]} introdujo la "transformación de Lorentz generalizada" para marcos de referencia adecuados o coordenadas adecuadas ( alemán : Eigensystem, Eigenkoordinaten ) mediante el uso de tétradas comoving Frenet-Serret, y aplicó este formalismo a las líneas mundiales de constante de Herglotz. curvaturas, particularmente al movimiento hiperbólico y al movimiento circular uniforme. Las fórmulas de Herglotz también fueron simplificadas y ampliadas por Georges Lemaître (1924). ^{[H 7]} Las líneas de mundo de curvaturas constantes fueron redescubiertas por varios autores, por ejemplo, por Vladimír Petrův (1964), ^[4] como "hélices temporales" de John Lighton Synge (1967) ^[5] o como "líneas de mundo estacionarias" de Letaw (1981). ^[6] El concepto de marco de referencia adecuado fue posteriormente reintroducido y desarrollado en relación con el transporte de Fermi-Walker en los libros de texto de Christian Møller (1952) ^[7] o Synge (1960). ^{[8] Romain (1963), [9]} ofreció una descripción general de las transformaciones y alternativas del tiempo adecuado, citando las contribuciones de Kottler. En particular, Misner & Thorne & Wheeler (1973) ^[10] combinaron el transporte de Fermi-Walker con la rotación, lo que influyó en muchos autores posteriores. Bahram Mashhoon (1990, 2003) ^[11] analizó la hipótesis de localidad y movimiento acelerado. Iyer y CV Vishveshwara (1993) analizaron las relaciones entre las fórmulas espacio-temporales de Frenet-Serret y el transporte de Fermi-Walker ^.Johns (2005) ^[13] o Bini et al. (2008) ^[14] y otros. Gourgoulhon (2013) dio una representación detallada de la "relatividad especial en marcos generales". ^[15]

Tetradas comoving

Ecuaciones de Frenet-Serret en el espacio-tiempo

Para la investigación de movimientos acelerados y líneas de mundo curvas, se pueden utilizar algunos resultados de la geometría diferencial . Por ejemplo, las fórmulas de Frenet-Serret para curvas en el espacio euclidiano ya se ampliaron a dimensiones arbitrarias en el siglo XIX y también pueden adaptarse al espacio-tiempo de Minkowski. Describen el transporte de una base ortonormal unida a una línea de mundo curva, por lo que en cuatro dimensiones esta base puede denominarse tétrada comoving o vierbein (también llamado vielbein, marco móvil , campo de marco , marco local, repère mobile en dimensiones arbitrarias): ^{[ 16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$

Aquí, está el tiempo adecuado a lo largo de la línea del mundo, el campo temporal se llama tangente que corresponde a las cuatro velocidades , los tres campos espaciales son ortogonales y se llaman normal principal , binormal y trinormal . La primera curvatura corresponde a la magnitud de cuatro aceleraciones (es decir, aceleración propia ), las otras curvaturas también se denominan torsión e hipertorsión. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$

Transporte Fermi–Walker y transporte adecuado

Si bien la tétrada Frenet-Serret puede girar o no, es útil introducir otro formalismo en el que se separan las partes rotativas y no rotacionales. Esto se puede hacer usando la siguiente ecuación para el transporte adecuado ^[20] o el transporte generalizado de Fermi ^[21] de tétrada , es decir, ^{[10] [12] [22] [21] [20] [23]} ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$

dónde

${\displaystyle \vartheta ^{\mu \nu }={\underset {\text{Fermi–Walker}}{\underbrace {A^{\mu }U^{\nu }-A^{\nu }U^{\mu }} }}+{\underset {\mathrm {\text{spatial rotation}} }{\underbrace {U_{\alpha }\omega _{\beta }\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }} }}}$

o juntos en forma simplificada:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{(\eta )}}{d\tau }}=-\left[(\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}+\mathbf {R} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right]}$

con cuatro velocidades y cuatro aceleraciones , y " " indica el producto escalar y " " el producto de cuña . La primera parte representa el transporte de Fermi-Walker, ^[13] que se realiza físicamente cuando los tres campos de tétrada espaciales no cambian su orientación con respecto al movimiento de un sistema de tres giroscopios . Por tanto, el transporte de Fermi-Walker puede verse como un estándar de no rotación. La segunda parte consta de un tensor antisimétrico de segundo rango con cuatro vectores de velocidad angular y el símbolo de Levi-Civita . Resulta que esta matriz de rotación solo afecta a los tres campos de tétrada espacial, por lo que puede interpretarse como la rotación espacial de los campos espaciales de una tétrada giratoria (como una tétrada de Frenet-Serret) con respecto a los campos espaciales no giratorios. de una tétrada Fermi-Walker a lo largo de la misma línea mundial. ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle (\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}=\mathbf {A} \left(\mathbf {U} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)-\mathbf {U} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$

Derivando las tétradas de Fermi-Walker a partir de las tétradas de Frenet-Serret

Dado que y en la misma línea mundial están conectados por una matriz de rotación, es posible construir tétradas de Fermi-Walker no giratorias utilizando tétradas giratorias de Frenet-Serret, ^{[24] [25]} que no solo funcionan en espacio-tiempo plano sino también para espacios-tiempo arbitrarios como bueno, aunque la realización práctica puede ser difícil de lograr. ^[26] Por ejemplo, el vector de velocidad angular entre los respectivos campos de tétrada espaciales y se puede dar en términos de torsiones y : ^{[12] [13] [27] [28]} ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$

Suponiendo que las curvaturas son constantes (que es el caso del movimiento helicoidal en el espacio-tiempo plano, o en el caso de los espacio-tiempos axisimétricos estacionarios ), se procede entonces a alinear los vectores espaciales de Frenet-Serret en el plano mediante una rotación constante en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces el marco espacial intermedio resultante gira constantemente alrededor del eje mediante el ángulo , lo que finalmente da el marco espacial de Fermi-Walker (tenga en cuenta que el campo temporal sigue siendo el mismo): ^[25] ${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}-\mathbf {e} _{(3)}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{(3)}}$ ${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau }$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$

Para el caso especial y , se sigue y y , por lo tanto ( 3b ) se reduce a una única rotación constante alrededor del eje: ^{[29] [30] [31] [24]} ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}=[0,0,0,1]}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\ \kappa _{2}\right]}$ ${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\kappa _{2}\tau }$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}=\mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$

Coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi

En el espacio-tiempo plano, un objeto acelerado está en cualquier momento en reposo en un marco inercial momentáneo , y la secuencia de dichos marcos momentáneos que atraviesa corresponde a una aplicación sucesiva de transformaciones de Lorentz , donde hay un marco inercial externo y la matriz de transformación de Lorentz. Esta matriz puede ser reemplazada por las tétradas dependientes del tiempo definidas anteriormente, y si la trayectoria temporal de la partícula indica su posición, la transformación dice: ^[32] ${\displaystyle \mathbf {x} '=[x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}]}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\nu )}(\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } (\tau )}$

Entonces hay que poner por cuál se reemplaza por y el campo temporal desaparece, por lo tanto sólo quedan presentes los campos espaciales. Posteriormente, el tiempo en el cuadro acelerado se identifica con el tiempo propio del observador acelerado mediante . La transformación final tiene la forma ^{[33] [34] [35] [36]} ${\displaystyle x^{\prime 0}=t'=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},x^{2},x^{3}]}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle x^{0}=t=\tau }$

A veces se les llama coordenadas propias y el sistema correspondiente es el sistema de referencia adecuado. ^[20] También se denominan coordenadas de Fermi en el caso del transporte Fermi-Walker ^[37] (aunque algunos autores utilizan este término también en el caso rotacional ^[38] ). La métrica correspondiente tiene la forma en el espacio-tiempo de Minkowski (sin términos de Riemann): ^{[39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46]}

Sin embargo, estas coordenadas no son válidas globalmente, sino que están restringidas a ^[43]

Marcos de referencia adecuados para hélices temporales

En caso de que las tres curvaturas de Frenet-Serret sean constantes, las líneas de mundo correspondientes son idénticas a las que se derivan de los movimientos Killing en el espacio-tiempo plano. Son de particular interés ya que los marcos y congruencias propios correspondientes satisfacen la condición de rigidez de Born , es decir, la distancia espacio-temporal de dos líneas de mundo vecinas es constante. ^{[47] [48]} Estos movimientos corresponden a "hélices temporales" o "líneas de mundo estacionarias", y se pueden clasificar en seis tipos principales: dos con torsiones cero (traslación uniforme, movimiento hiperbólico) y cuatro con torsiones distintas de cero (rotación uniforme , catenaria, parábola semicúbica, caso general): ^{[49] [50] [4] [5] [6] [51] [52] [53] [54]}

El caso produce una traducción uniforme sin aceleración. Por tanto, el marco de referencia propio correspondiente viene dado por transformaciones de Lorentz ordinarias. Los otros cinco tipos son: ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$

movimiento hiperbólico

Las curvaturas , donde es la aceleración propia constante en la dirección del movimiento, producen movimiento hiperbólico porque la línea de mundo en el diagrama de Minkowski es una hipérbola: ^{[55] [56] [57] [58] [59] [60]} ${\displaystyle \kappa _{1}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

La tétrada ortonormal correspondiente es idéntica a una matriz de transformación de Lorentz invertida con funciones hiperbólicas como factor de Lorentz y como velocidad y rapidez propias (dado que las torsiones y son cero, las fórmulas de Frenet-Serret y Fermi-Walker producen la misma tétrada): ^{[ 56] [61] [62] [63] [64] [65] [66]} ${\displaystyle \gamma =\cosh \eta }$ ${\displaystyle v\gamma =\sinh \eta }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} v=\alpha \tau }$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$

Insertado en las transformaciones ( 4b ) y usando la línea de mundo ( 5a ) para , el observador acelerado siempre está ubicado en el origen, por lo que las coordenadas de Kottler-Møller siguen ^{[67] [68] [62] [69] [70]} ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha \tau )\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha \tau )-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

que son válidos dentro de , con la métrica ${\displaystyle -1/\alpha <X<\infty }$

${\displaystyle ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$.

Alternativamente, al establecer el observador acelerado se ubica en el tiempo , por lo tanto, las coordenadas de Rindler se derivan de ( 4b ) y ( 5a , 5b ): ^{[71] [72] [73]} ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } =0}$ ${\displaystyle X=1/\alpha }$ ${\displaystyle \tau =T=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha \tau )\\X&=x\cosh(\alpha \tau )\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

que son válidos dentro de , con la métrica ${\displaystyle 0<X<\infty }$

${\displaystyle ds^{2}=-\alpha ^{2}x^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Movimiento circular uniforme

Las curvaturas , producen un movimiento circular uniforme , con la línea de mundo ^{[74] [75] [76] [77] [78] [79] [80]} ${\displaystyle \kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}>0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

dónde

con radio orbital, velocidad angular coordenada, velocidad angular propia, velocidad tangencial , velocidad propia, factor de Lorentz y ángulo de rotación. La tétrada se puede derivar de las ecuaciones de Frenet-Serret ( 1 ), ^{[74] [76] [77] [80]} o más simplemente obtenerse mediante una transformación de Lorentz de la tétrada de coordenadas giratorias ordinarias : ^{[81] [82]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{(\nu )}}$

La correspondiente tétrada de Fermi-Walker no giratoria en la misma línea mundial se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^{[83] [84]} Alternativamente, se puede usar ( 6b ) junto con ( 3a ), lo que da ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\gamma ^{2}p\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=\gamma ^{2}p,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\gamma ^{2}p_{0}\tau =\gamma p\tau =\gamma \theta }$

El ángulo de rotación resultante junto con ( 6c ) ahora se puede insertar en ( 3c ), por lo que sigue la tétrada de Fermi-Walker ^{[31] [24]} ${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\gamma (1,\ -v\sin \theta ,\ v\cos \theta ,\ 0)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(-\gamma v\sin \Theta ,\ \cos \theta \cos \Theta +\gamma \sin \theta \sin \Theta ,\ \sin \theta \cos \Theta -\gamma \cos \theta \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\gamma v\cos \Theta ,\ \cos \theta \sin \Theta -\gamma \sin \theta \cos \Theta ,\ \sin \theta \sin \Theta +\gamma \cos \theta \cos \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{alignedat}}}$

A continuación, se utiliza la tétrada Frenet-Serret para formular la transformación. Insertando ( 6c ) en las transformaciones ( 4b ) y usando la línea mundial ( 6a ) para se obtienen las coordenadas ^{[74] [76] [85] [86] [87] [38]} ${\displaystyle \mathbf {q} }$

que son válidos dentro de , con la métrica ${\displaystyle (X+h)^{2}+(\gamma Y)^{2}\leqq 1/p_{0}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\gamma ^{2}\left[1-(x+h)^{2}p_{0}^{2}-\gamma ^{2}p_{0}^{2}y^{2}\right]d\tau ^{2}+2\gamma ^{2}p_{0}(x\ dy-y\ dx)d\tau +dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Si se elige un observador que descansa en el centro del sistema giratorio con , las ecuaciones se reducen a la transformación rotacional ordinaria ^{[88] [89] [90]} ${\displaystyle h=0}$

que son válidos dentro de , y la métrica ${\displaystyle 0<{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}<1/p_{0}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left[1-p_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dt^{2}+2p_{0}(-y\ dx+x\ dy)dt+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$.

Las últimas ecuaciones también se pueden escribir en coordenadas cilíndricas giratorias ( coordenadas de Born ): ^{[91] [92] [93] [94] [95]}

que son válidos dentro de , y la métrica ${\displaystyle 0<r<1/p_{0}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-p_{0}^{2}r^{2}\right)dt^{2}+2p_{0}r^{2}dt\ d\phi +dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+dz^{2}}$

Los cuadros ( 6d , 6e , 6f ) se pueden utilizar para describir la geometría de plataformas giratorias, incluida la paradoja de Ehrenfest y el efecto Sagnac .

De cadena

Las curvaturas producen un movimiento catenario, es decir, hiperbólico combinado con una traslación espacial ^{[96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]} ${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}>0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

dónde

donde está la velocidad, la velocidad propia, como rapidez, es el factor de Lorentz. La tétrada Frenet-Serret correspondiente es: ^{[97] [99]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\sinh \eta ,\ \cosh \eta ,\ 0,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ -\gamma ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

La correspondiente tétrada de Fermi-Walker no giratoria en la misma línea mundial se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^[102] El mismo resultado se desprende de ( 3a ), que da ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,na\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=na,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =na\tau }$

que junto con ( 7a ) ahora se puede insertar en ( 3c ), lo que da como resultado la tétrada de Fermi-Walker

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\sinh \eta \cos \Theta +n\cosh \eta \sin \Theta ,\ \cosh \eta \cos \Theta +n\sinh \eta \sin \Theta ,\ \gamma \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\sinh \eta \sin \Theta -n\cosh \eta \cos \Theta ,\ \cosh \eta \sin \Theta -n\sinh \eta \cos \Theta ,\ -\gamma \cos \Theta \ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi siguen insertando o en ( 4b ). ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

Parábola semicúbica

Las curvaturas producen una parábola semicúbica o movimiento en cúspide ^{[103] [104] [105] [106] [107] [108] [109]} ${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}=0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

La tétrada Frenet-Serret correspondiente es: ^{[104] [106]} ${\displaystyle \theta =a\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\theta ,\ 1,\ \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ -\theta ,\ 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

La correspondiente tétrada de Fermi-Walker no giratoria en la misma línea mundial se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^[109] El mismo resultado se desprende de ( 3a ), que da ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,a\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=a,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =a\tau =\theta }$

que junto con ( 8 ) ahora se puede insertar en ( 3c ), dando como resultado la tétrada de Fermi-Walker (tenga en cuenta que en este caso): ${\displaystyle \Theta =\theta }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\theta \cos \theta +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\sin \theta ,\ \cos \theta +\theta \sin \theta ,\ \theta \cos \theta +\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\sin \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\theta \sin \theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\cos \theta ,\ \sin \theta -\theta \cos \theta ,\ \theta \sin \theta -\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\cos \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi siguen insertando o en ( 4b ). ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

Caso general

Las curvaturas , producen un movimiento hiperbólico combinado con un movimiento circular uniforme. La línea mundial está dada por ^{[110] [111] [112] [113] [114] [115] [116]} ${\displaystyle \kappa _{1}\neq 0}$ ${\displaystyle \kappa _{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}\neq 0}$

dónde

con como velocidad tangencial, como velocidad tangencial propia, como rapidez, como radio orbital, como velocidad angular coordinada, como velocidad angular propia, como ángulo de rotación, es el factor de Lorentz. La tétrada Frenet-Serret es ^{[111] [113]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ -n\sin \theta ,\ -n\cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(1)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(\gamma a\sinh \eta ,\ \gamma a\cosh \eta ,\ -np\cos \theta ,\ -np\sin \theta \right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ \gamma \sin \theta ,\ -\gamma \cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(3)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(np\sinh \eta ,\ np\cosh \eta ,\ \gamma a\cos \theta ,\ \gamma a\sin \theta \right)\end{aligned}}}$

La tétrada Fermi-Walker no giratoria correspondiente en la misma línea mundial es la siguiente: primero, al insertar ( 9b ) en ( 3a ) se obtiene la velocidad angular, que junto con ( 9a ) ahora se puede insertar en ( 3b , izquierda), y finalmente insertado en ( 3b , derecha) produce la tétrada de Fermi-Walker. Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi siguen insertando o en ( 4b ) (las expresiones resultantes no se indican aquí debido a su longitud). ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

Resumen de fórmulas históricas

Además de lo descrito en la sección anterior de #Historia, se describen con más detalle las aportaciones de Herglotz, Kottler y Møller, ya que estos autores dieron clasificaciones extensas del movimiento acelerado en el espaciotiempo plano.

Herglotz

Herglotz (1909) ^{[H 5]} argumentó que la métrica

${\displaystyle ds^{2}=d\sigma ^{2}+{\frac {1}{A_{44}}}(d\nu )^{2}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}d\nu &=A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}+A_{44}d\xi _{4}\\d\sigma ^{2}&=\sum _{1}^{3}ij\ A_{ij}d\xi _{i}d\xi _{j}-{\frac {1}{A_{44}}}\left(A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$

Satisface la condición de rigidez de Born cuando . Señaló que el movimiento de un cuerpo rígido de Born está determinado en general por el movimiento de uno de sus puntos (clase A), con excepción de aquellas líneas de mundo cuyas tres curvaturas son constantes, representando así una hélice (clase B). Para este último, Herglotz dio la siguiente transformación de coordenadas correspondiente a las trayectorias de una familia de movimientos: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}d\sigma ^{2}=0}$

(H1) , ${\displaystyle x_{i}=a_{i}+\sum _{1}^{4}a_{ij}x_{j}^{\prime },\qquad i=1,2,3,4}$

donde y son funciones del tiempo propio . Por derivación con respecto a , y asumiendo como constante, obtuvo ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle x_{i}}$

(H2) ${\displaystyle {\frac {dx_{i}^{\prime }}{d\vartheta }}+q_{i}+\sum _{1}^{4}p_{ij}x_{j}^{\prime }=0}$

Aquí, representa las cuatro velocidades del origen de , y es un vector de seis (es decir, un tensor de cuatro antisimétrico de segundo orden , o bivector , que tiene seis componentes independientes) que representa la velocidad angular de alrededor . Como cualquier seis vectores, tiene dos invariantes: ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle -p_{ij}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle O'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=p_{23}p_{14}+p_{31}p_{24}+p_{12}p_{34},\\\Delta &=p_{23}^{2}+p_{31}^{2}+p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+p_{24}^{2}+p_{34}^{2},\end{aligned}}}$

Cuando es constante y es variable, cualquier familia de movimientos descritos por (H1) forma un grupo y es equivalente a una familia equidistante de curvas , satisfaciendo así la rigidez de Born porque están conectadas rígidamente con . Para derivar tal grupo de movimiento, (H2) se puede integrar con valores constantes arbitrarios de y . Para los movimientos de rotación, esto da como resultado cuatro grupos dependiendo de si las invariantes son cero o no . Estos grupos corresponden a cuatro grupos de un parámetro de transformaciones de Lorentz, que Herglotz ya derivó en una sección anterior bajo el supuesto de que las transformaciones de Lorentz (que son rotaciones en ) corresponden a movimientos hiperbólicos en . Estos últimos fueron estudiados en el siglo XIX y Felix Klein los clasificó en movimientos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos (ver también grupo de Möbius ). ${\displaystyle x_{j}^{\prime }}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{ij}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R_{4}}$ ${\displaystyle R_{3}}$

Kottler

Friedrich Kottler (1912) ^{[H 6]} siguió a Herglotz y derivó las mismas líneas de mundo de curvaturas constantes utilizando las siguientes fórmulas de Frenet-Serret en cuatro dimensiones, con una tétrada comoving de la línea de mundo y como las tres curvaturas. ${\displaystyle c^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}},\ {\frac {1}{R_{2}}},\ {\frac {1}{R_{3}}}}$

${\displaystyle {{\begin{matrix}{\frac {dc_{1}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{2}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{3}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{4}^{(\alpha )}}{ds}}=\end{matrix}}\left.{\begin{matrix}*&{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&*\\-{\frac {c_{1}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*\\*&-{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*&{\frac {c_{4}^{(\alpha )}}{R_{3}}}\\*&*&-{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{3}}}&*\end{matrix}}\alpha =1,2,3,4\right\}}}$

correspondiente a ( 1 ). Kottler señaló que la tétrada puede verse como un marco de referencia para tales líneas de mundo. Luego dio la transformación para las trayectorias.

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$(con ) ${\displaystyle {h=1,2,3,4}}$

de acuerdo con ( 4a ). Kottler también definió una tétrada cuyos vectores base están fijos en el espacio normal y, por tanto, no comparten ninguna rotación. Este caso se diferenció aún más en dos casos: si el campo de tétrada tangente (es decir, el campo de tétrada temporal) es constante, entonces los campos de tétradas de tipo espacial pueden ser reemplazados por quienes están conectados "rígidamente" con la tangente, por lo tanto ${\displaystyle {c_{2}^{(h)},c_{3}^{(h)},c_{4}^{(h)}}}$ ${\displaystyle {b_{2}^{(h)},b_{3}^{(h)},b_{4}^{(h)}}}$

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(1)}c_{1}+\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$

El segundo caso es un vector "fijado" en el espacio normal estableciendo . Kottler señaló que esto corresponde a la clase B dada por Herglotz (que Kottler llama "cuerpo de segundo tipo de Born") ${\displaystyle {\eta ^{(1)}=0}}$

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$,

y la clase (A) de Herglotz (que Kottler llama "cuerpo de primer tipo de Born") está dada por

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}}$

los cuales corresponden a la fórmula ( 4b ).

---

En (1914a), ^{[H 6]} Kottler demostró que la transformación

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$,

describe las coordenadas no simultáneas de los puntos de un cuerpo, mientras que la transformación con ${\displaystyle \Gamma ^{(1)}=0}$

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$,

Describe las coordenadas simultáneas de los puntos de un cuerpo. Estas fórmulas se convierten en "transformaciones de Lorentz generalizadas" al insertar

${\displaystyle \Gamma ^{(3)}=X',\quad \Gamma ^{(4)}=Y',\quad \Gamma ^{(2)}=Z',\quad \Gamma ^{(1)}=ic(T'-\tau )}$

de este modo

${\displaystyle X-x=ic(T'-\tau )c_{1}+Z'c_{2}+X'c_{3}+Y'c_{4}}$

de acuerdo con ( 4b ). Introdujo los términos "coordenadas propias" y "marco propio" ( en alemán : Eigenkoordinaten, Eigensystem ) para un sistema cuyo eje temporal coincide con la respectiva tangente de la línea del mundo. También demostró que el cuerpo rígido nacido de segundo tipo, cuyas líneas de mundo están definidas por

${\displaystyle {\mathfrak {X}}=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}}$,

Es particularmente adecuado para definir un marco adecuado. Utilizando esta fórmula, definió los marcos adecuados para el movimiento hiperbólico (caída libre) y para el movimiento circular uniforme:

En (1916a), Kottler dio la métrica general para los movimientos relativos a la aceleración basada en las tres curvaturas.

${\displaystyle {\begin{aligned}dS^{2}=&d\xi ^{\prime 2}+d\eta ^{\prime 2}+d\zeta ^{\prime 2}-2c\ d\tau 'd\xi '\cdot \eta 'i/R_{2}+2c\ d\tau 'd\eta '\cdot \left(\xi 'i/R_{2}-\zeta 'i/R_{3}\right)+c\ d\tau 'd\zeta '\cdot \eta 'i/R_{3}\\&-c^{2}d\tau ^{\prime 2}\left[\left(1-\xi '/R_{1}\right)^{2}+\eta ^{\prime 2}/R_{2}^{2}+\eta ^{\prime }/R_{3}^{2}+\left(\xi '/R_{2}-\zeta '/R_{3}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

En (1916b) le dio la forma:

${\displaystyle {ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+2g_{14}dx\ dit+2g_{24}dy\ dit+2g_{34}dz\ dit+g_{44}(dit)^{2}}}$

donde están libres de , y , y , y lineales en . ${\displaystyle {g_{14}g_{24}g_{34}g_{44}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}={\text{const.}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle xyz}$

Moller

Møller (1952) ^[7] definió la siguiente ecuación de transporte

${\displaystyle {\frac {de_{i}}{d\tau }}={\frac {\left(e_{l}{\dot {U}}_{l}\right)U_{i}-{\dot {U}}_{i}\left(i_{l}U_{l}\right)}{c^{2}}}}$

de acuerdo con el transporte Fermi-Walker por ( 2 , sin rotación). La transformación de Lorentz en un marco inercial momentáneo fue dada por él como

${\displaystyle x_{i}=f_{i}(\tau )+x_{k}^{\prime }\alpha _{ki}(\tau )}$

de acuerdo con ( 4a ). Al establecer , y , obtuvo la transformación en el "análogo relativista de un marco de referencia rígido". ${\displaystyle x^{i}=x_{l}^{\prime }}$ ${\displaystyle x_{4}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle t=\tau }$

${\displaystyle X_{i}=f_{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )}$

de acuerdo con las coordenadas de Fermi ( 4b ), y la métrica

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$

de acuerdo con la métrica de Fermi ( 4c ) sin rotación. Obtuvo las tétradas de Fermi-Walker y los marcos de Fermi de movimiento hiperbólico y movimiento circular uniforme (algunas fórmulas para el movimiento hiperbólico ya fueron derivadas por él en 1943):

Líneas de mundo de curvaturas constantes por Herglotz y Kottler

Referencias

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2. Koks (2006), pág. 234. "A veces se dice que para describir la física adecuadamente en un sistema acelerado, la relatividad especial es insuficiente y que se necesita toda la maquinaria de la relatividad general para el trabajo. Esto es bastante erróneo. La relatividad especial es completamente suficiente para derivar la física de un cuadro acelerado."
3. En algunos libros de texto, las mismas fórmulas y resultados para el espacio-tiempo plano se analizan en el marco de GR, utilizando la definición histórica de que SR está restringido a marcos inerciales , mientras que los marcos acelerados pertenecen al marco de GR. Sin embargo, dado que los resultados son los mismos en términos de espacio-tiempo plano, no afecta el contenido de este artículo. Por ejemplo, Møller (1952) analiza las sucesivas transformaciones de Lorentz, los sucesivos marcos inerciales y el transporte tétrada (ahora llamado transporte de Fermi-Walker) en los §§ 46, 47 relacionados con la relatividad especial, mientras que los marcos de referencia rígidos se analizan en la sección §§ 90. 96 relacionados con la relatividad general.
4. Petruv (1964)
5. Synge (1967)
6. Letaw (1981)
7. Møller (1952), §§ 46, 47, 90, 96
8. Synge (1960), §§ 3, 4
9. Romain (1963), en particular la sección VI para el "enfoque del tiempo adecuado"
10. Misner & Thorne & Wheeler (1973), sección 6.8
11. Mashoon (1990), (2003)
12. Iyer y Vishveshwara (1993), sección 2.2
13. Johns (2005), sección 18.18
14. Bini & Cherubini & Geralico & Jantzen (2008), sección 3
15. Gourgoulhon (2013)
16. Synge (1960), § 3
17. Iyer y Vishveshwara (1993), sección 2.1
18. Formiga y Romero (2006), sección 2
19. Gourgoulhon (2013), sección 2.7.3
20. Kajari & Buser & Feiler & Schleich (2009), sección 3
21. Hehl & Lemke & Mielke (1990), sección I.6
22. Padmanabhan (2010), sección 4.9
23. Gourgoulhon (2013), sección 3.5.3
24. Johns (2005), sección 18.19
25. Bini & Cherubini & Geralico & Jantzen (2008), sección 3.2
26. Maluf y Faria (2008)
27. Bini & Cherubini & Geralico & Jantzen (2008), sección 3.1
28. Gourgoulhon (2013), ecuación. 3.58
29. Irvine (1964), sección VII, ec. 41
30. Bini y Jantzen (2003), Apéndice A
31. Mashhoon (2003), sección 3, ec. 1.17, 1.18
32. Møller (1952), § 46
33. Møller (1952), § 96
34. Hehl, Lemke y Mielke (1990), sección I.8
35. Mashhoon y Muench (2002), sección 2
36. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan (2011), sección 2.6
37. Synge (1960), § 10
38. Bini & Lusanna & Mashhoon (2005), Apéndice A
39. Ni & Zimmermann (1978), incluidos términos riemannianos
40. Hehl & Lemke & Mielke (1990), sección I.8, sin términos riemannianos
41. Marzlin (1994), sección 2, incluidos términos riemannianos
42. Nikolić (1999), sección 2, sin términos riemannianos
43. Mashhoon & Münch (2002), sección 2, sin términos riemannianos
44. Bini y Jantzen (2002), sección 2, incluidos términos riemannianos
45. Voytik (2011), sección 2, sin términos riemannianos
46. Misner & Thorne & Wheeler (1973), sección 13.6, dio la aproximación de primer orden a esta métrica, sin términos de Riemann
47. Bel (1995), teorema 2
48. Giulini (2008), Teorema 18
49. Herglotz (1909), secciones 3-4, que se centra en los cuatro movimientos de rotación además del movimiento hiperbólico.
50. Kottler (1912), § 6; (1914a), tablas I y II
51. Letaw y Pfautsch (1982)
52. Pauri y Vallisneri (2001), Apéndice A
53. Rosu (2000), sección 0.2.3
54. Louko y Satz (2006), sección 5.2
55. Herglotz (1909), pág. 408
56. Kottler (1914a), tabla I (IIIb); Kottler (1914b), págs. 488-489, 492-493
57. Petruv (1964), ecuación. 22
58. Synge (1967), sección 9
59. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 19
60. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 2
61. Møller (1952) ecuación. 160
62. Synge (1967) pág. 35, tipo III
63. Misner & Thorne & Wheeler (1973), sección 6.4
64. Louko y Satz (2006), sección 5.2.2
65. Gron (2006), sección 5.5
66. Formiga (2012), sección Va
67. Kottler (1914b), págs. 488-489, 492-493
68. Møller (1952), ecuación. 154
69. Misner & Thorne & Wheeler (1973), sección 6.6
70. Muñoz y Jones (2010), ecuación. 37, 38
71. Pauli (1921), sección 32-y
72. Rindler (1966), pág. 1177
73. Koks (2006), sección 7.2
74. Kottler (1914a), tabla I (IIb) y § 6 sección 3
75. Petruv (1964), ecuación. 54
76. Nožička (1964), ejemplo 1
77. Synge (1967), sección 8
78. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 20
79. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 3
80. Formiga (2012), sección Vb
81. Hauck y Mashhoon (2003), sección 1
82. Mashhoon (2003), sección 3
83. Møller (1952), § 47, ec. 164
84. Louko y Satz (2006), sección 5.2.3
85. Mashhoon (1990), ecuación. 10-13
86. Nikolic (1999), ecuación. 17 (Obtuvo estas fórmulas utilizando la transformación de Nelson).
87. Mashhoon (2003), ecuación. 1,22-1,25
88. Herglotz (1909), pág. 412, "grupo elíptico"
89. Eddington (1920), pág. 22.
90. de Felice (2003), sección 2
91. de Sitter (1916a), pág. 178
92. von Laue (1921), pág. 162
93. Gron (2006), sección 5.1
94. Rizzi y Ruggiero (2002), pág. sección 5
95. Ashby (2003), sección 2
96. Herglotz (1909), págs. 408 y 413, "grupo hiperbólico"
97. Kottler (1914a), tabla I (IIIa)
98. Petruv (1964), ecuación. 67
99. Synge (1967), sección 6
100. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 22
101. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 5
102. Louko y Satz (2006), sección 5.2.5
103. Herglotz (1909), págs. 413-414, "grupo parabólico"
104. Kottler (1914a), tabla I (IV)
105. Petruv (1964), ecuación. 40
106. Synge (1967), sección 7
107. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 21
108. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 4
109. Louko y Satz (2006), sección 5.2.4
110. Herglotz (1909), págs. 411-412, "grupo parabólico"
111. Kottler (1914a), tabla I (caso I)
112. Petruv (1964), ecuación. 88
113. Synge (1967), sección 4
114. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 23, 24
115. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 6
116. Louko y Satz (2006), sección 5.2.6

Bibliografía

Libros de texto

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enlaces externos

• Preguntas frecuentes sobre física: aceleración en la relatividad especial
• Eric Gourgoulhon (2010): Relatividad especial desde la perspectiva del observador acelerado