11 (número)

numero natural

11 ( once ) es el número natural que sigue al 10 y precede al 12 . Es el primer repdígito . En inglés, es el número entero positivo más pequeño cuyo nombre tiene tres sílabas.

Nombre

"Once" deriva del inglés antiguo ęndleofon , que se atestigua por primera vez en la Historia eclesiástica del pueblo inglés de Beda de finales del siglo IX . ^{[2] [3]} Tiene cognados en todas las lenguas germánicas (por ejemplo, elfo alemán ), cuyo ancestro protogermánico ha sido reconstruido como * ainalifa- , ^[4] del prefijo * aina- (adjetivo " uno ") y sufijo * -lifa- , de significado incierto. ^[3] A veces se compara con la vienúolika lituana , aunque -lika se utiliza como sufijo para todos los números del 11 al 19 (de forma análoga a "-teen"). ^[3]

La forma del inglés antiguo tiene cognados más cercanos en el frisón antiguo , el sajón y el nórdico , cuyo antepasado ha sido reconstruido como * ainlifun . Anteriormente se pensaba que esto se derivaba del protogermánico * tehun (" diez "); ^{[3] [5]} ahora a veces se conecta con * leikʷ- o * leip- ("izquierda; restante"), con el significado implícito de que "queda uno" después de contar hasta diez. ^[3]

en idiomas

Si bien el 11 tiene nombre propio en lenguas germánicas como el inglés, el alemán o el sueco, y en algunas lenguas de base latina como el español, el portugués y el francés, es el primer número compuesto en muchos otros idiomas: chino十一 shí yī , Coreano 열하나 yeol hana o 십일 ship il .

Matemáticas

11 es el quinto número primo y el tercer superprimo . 11 forma un primo gemelo con 13 , ^[6] y un par sexy con 5 y 17. Es el primer miembro del segundo cuatrillizo primo (11, 13, 17, 19). ^[7]

Propiedades aritméticas y algebraicas que surgen del número o su uso.

El primer exponente primo que no produce un número primo de Mersenne es 11, donde está , que es el primer número compuesto generalizado de Mersenne . 11 es el primer primo fuerte , ^[8] tal que para un primo hay , y también es el segundo primo bueno , cuyo cuadrado es mayor que el producto de dos números primos cualesquiera en el mismo número de posiciones antes y después de él en la secuencia de números primos. ^[9] ${\displaystyle 2^{11}-1=2047}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}>{\tfrac {(prime_{(n-1)}+prime_{(n+1)})}{2}}}$

11 es el segundo miembro del segundo par (5, 11) de números marrones . Sólo se conocen tres de estos pares de números y dónde ; el par más grande (7, 71) satisface . En este último par, el factorial de 7 = 5040 es divisible por todos los números enteros menores de 13 , a excepción de 11. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ ${\displaystyle 5041=7!+1}$

Más importante aún, 5 es el quinto número de Heegner , lo que significa que el anillo de números enteros del campo tiene la propiedad de factorización única y número de clase 1 . En álgebra abstracta , 11 es el quinto primo supersingular consecutivo que divide el orden del grupo esporádico más grande . ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-11}})}$

Las filas del triángulo de Pascal pueden verse como representaciones de potencias de 11. ^[11]

En relaciones y conceptos geométricos.

Grabado en cobre de un endecágono , de Anton Ernst Burkhard von Birckenstein (1698)

Un polígono de 11 lados se llama endecágono o undecágono . La gráfica completa tiene un total de 55 aristas, que en conjunto representan las diagonales y los lados de un endecágono. Un endecágono regular no se puede construir solo con compás y regla , ya que 11 no es producto de números primos de Fermat distintos , y también es el primer polígono que no se puede construir con la ayuda de un trisector de ángulos . ^[12] ${\displaystyle K_{11}}$

11 de 35 hexominós se pueden plegar en una red para formar un cubo , mientras que 11 de 66 octiamondes se pueden plegar en un octaedro regular . 11 aparece como recuentos de teselados uniformes en varias dimensiones y espacios . Hay 11 mosaicos uniformes convexos regulares y semirregulares en el plano euclidiano , que son duales a los 11 mosaicos de Laves . ^[13] 11 es también el número de apeirogons complejos regulares , que son mosaicos con polígonos que tienen un número contablemente infinito de lados. ^[14] Mientras tanto, también hay 11 panales hiperbólicos paracompactos regulares con infinitas facetas y figuras de vértices en la tercera dimensión. ^[15] Fuera de la geometría euclidiana, 11 es el número total de panales hiperbólicos regulares en la cuarta dimensión : 9 soluciones compactas se generan a partir de 4 politopos regulares y 4 politopos regulares en estrella , junto con 2 soluciones paracompactas . ^[15]

En geometría diferencial, hay 11 sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales (dentro de una simetría conforme) en los que la ecuación de Helmholtz de 3 variables se puede resolver utilizando la técnica de separación de variables .

Usar dentro del álgebra abstracta

El grupo de Mathieu es el más pequeño de veintiséis grupos esporádicos , una estructura algebraica definida como un grupo de permutación claramente transitivo de 4 en once objetos . Tiene orden , con 11 como su factor primo más grande, y una representación compleja mínima fiel en diez dimensiones. Su acción grupal es el grupo de automorfismos del sistema Steiner , con una acción inducida sobre pares de puntos desordenados que otorga una acción de rango 3 sobre 55 puntos. El grupo de Mathieu , por otro lado, se mantiene como un subgrupo máximo , con un orden igual a , donde 11 es también su factor primo más grande. Centraliza un elemento de orden 11 en el grupo esporádico más grande . sostiene una representación compleja, fiel e irreductible en once dimensiones. ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle 7920=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11=8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}$ ${\displaystyle \operatorname {S} (4,5,11)}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{12}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{11}}$ ${\displaystyle 95040=2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11=8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{12}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{12}}$

Lista de cálculos básicos.

Como un número entero en decimal

11 es el número palindrómico más pequeño y más concretamente repunit , así como el primer número primo de dos cifras, lo que lo convierte en el único primo palindrómico y repunit de dos cifras ; todos los demás palíndromos de dos dígitos son múltiplos de 11 ( 00 , 11 , 22 , 33 , 44 , etc.; por esta razón, los primos palindrómicos más allá de 3 dígitos saltan a 5 dígitos, luego a 7 dígitos, hasta el infinito ). ^[16] En la pantalla de siete segmentos de una calculadora, 11 es a la vez un primo estrobogramático y un primo diédrico . ^[17] Las primeras cuatro potencias de 11 también producen números palindrómicos: 11 ¹ = 11, 11 ² = 121, 11 ³ = 1331 y 11 ⁴ = 14641.

11 es el segundo primo único en base diez. ^[18]

Pruebas de divisibilidad de base 10

Si un número es divisible por 11, invertir sus dígitos dará como resultado otro múltiplo de 11. Siempre que no haya dos dígitos adyacentes de un número sumados que excedan 9, entonces multiplicar el número por 11, invertir los dígitos del producto y dividir ese nuevo número por 11 producirá un número que es el reverso del número original; como en:

142,312 × 11 = 1,565,432 → 2,345,651 ÷ 11 = 213,241.

Una prueba sencilla para determinar si un número entero es divisible por 11 es tomar cada dígito del número en una posición impar y sumarlos, luego tomar los dígitos restantes y sumarlos. Si la diferencia entre las dos sumas es múltiplo de 11, incluido 0, entonces el número es divisible por 11. ^[19] Por ejemplo, con el número 65,637:

(6 + 6 + 7) - (5 + 3) = 19 - 8 = 11, entonces 65,637 es divisible por 11.

Esta técnica también funciona con grupos de dígitos en lugar de dígitos individuales, siempre que el número de dígitos de cada grupo sea impar, aunque no todos los grupos tienen que tener el mismo número de dígitos. Si se utilizan tres dígitos en cada grupo, se obtiene a partir de 65.637 el cálculo,

(065) - 637 = -572, que es divisible por 11.

Otra prueba de divisibilidad es separar un número en grupos de dos dígitos consecutivos (agregando un cero a la izquierda si hay un número impar de dígitos) y luego sumar los números así formados; si el resultado es divisible por 11, el número es divisible por 11:

06 + 56 + 37 = 99, que es divisible por 11.

Esto también funciona agregando un cero al final en lugar de uno al principio, y con grupos de dígitos más grandes, siempre que cada grupo tenga un número par de dígitos (no todos los grupos tienen que tener el mismo número de dígitos):

65 + 63 + 70 = 198, que es divisible por 11.

Multiplicando por 11

Una forma sencilla de multiplicar números por 11 en base 10 es:

Si el número tiene:

• 1 dígito, replica el dígito: 2 × 11 se convierte en 22.
• 2 dígitos, suma los 2 dígitos y coloca el resultado en el medio: 47 × 11 se convierte en 4 (11) 7 o 4 (10+1) 7 o (4+1) 1 7 o 517.
• 3 dígitos, mantenga el primer dígito en su lugar para el primer dígito del resultado, agregue el primer y segundo dígito para formar el segundo dígito del resultado, agregue el segundo y tercer dígito para formar el tercer dígito del resultado y mantenga el tercer dígito como resultado cuarto dígito. Para cualquier número resultante mayor que 9, lleve el 1 a la izquierda.
  123 × 11 se convierte en 1 (1+2) (2+3) 3 o 1353.
  481 × 11 se convierte en 4 (4+8) (8+1) 1 o 4 (10+2) 9 1 o (4+1) 2 9 1 o 5291.
• 4 o más dígitos, siga el mismo patrón que para 3 dígitos.

Ciencia

En química, el grupo 11 de la tabla periódica de los elementos ( numeración IUPAC ) está formado por los tres metales acuñados cobre , plata y oro conocidos desde la antigüedad, y el roentgenio , un elemento superpesado recientemente sintetizado. 11 es el número de dimensiones del espacio-tiempo en la teoría M.

En astronomía

El Apolo 11 fue la primera nave espacial tripulada que aterrizó en la Luna . En nuestro sistema solar, el Sol tiene una periodicidad del ciclo de manchas solares de aproximadamente 11 años.

Música

El intervalo de una octava más una cuarta es un undécimo. Un acorde 11 completo tiene casi todas las notas de una escala diatónica . En cuanto a los instrumentos musicales , en un fagot existen 11 teclas de pulgar , sin contar la tecla de susurro. (Algunos fagotes tienen una tecla de duodécimo pulgar).

deportes y juegos

En los deportes, hay 11 jugadores en un equipo de fútbol americano (soccer), 11 jugadores en un equipo de fútbol americano durante el juego, 11 jugadores en un equipo de cricket en el campo y 11 jugadores en un equipo de hockey sobre césped . En el juego de blackjack , un as puede contar como uno o como 11, lo que sea más ventajoso para el jugador.

Referencias culturales

En Canadá

La estilizada hoja de arce de la bandera de Canadá tiene 11 puntos. El dólar canadiense de un dólar canadiense tiene la forma de un endecágono de 11 lados , y los relojes representados en la moneda canadiense , como el billete canadiense de 50 dólares , marcan las 11:00.

"Undécima hora"

Al ser una hora antes de las 12:00, la hora undécima significa el último momento posible para ocuparse de algo, y muchas veces implica una situación de peligro o emergencia urgente (ver Reloj del Juicio Final ).

Misticismo

El número 11 (junto con sus múltiplos 22 y 33) son números maestros en numerología , especialmente en la New Age . ^[20]

Referencias

1. Beda , Ecl. Historia. , BK. V, cap. xviii.
2. Específicamente, en la línea jjvjv ðæt rice hæfde endleofan wintra. ^[1]
3. Diccionario de ingles Oxford abcde , 1ª ed. "once, adj. y n. " Oxford University Press (Oxford), 1891.
4. Kroonen, Guus (2013). Diccionario etimológico del protogermánico . Leiden: Genial. pag. 11f. ISBN 978-90-04-18340-7.
5. Dantzig, Tobias (1930), Número: El lenguaje de la ciencia.
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7. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A136162 (Lista de cuatrillizos primos {p, p+2, p+6, p+8}.)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 2 de marzo de 2023 .
8. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A051634 (primos fuertes: primo (n) > (primo (n-1) + primo (n + 1))/2)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 10 de agosto de 2022 .
9. "Sloane's A028388: buenos números primos". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 1 de junio de 2016 .
10. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A002267 (Los 15 primos supersingulares: orden de división de los primos del grupo simple Monster)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 22 de enero de 2023 .
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19. Higgins, Peter (2008). Historia numérica: del conteo a la criptografía . Nueva York: Copérnico. pag. 47.ISBN​ 978-1-84800-000-1.
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Enlaces externos

Grimes, James. "Once". Numéfilo . Brady Harán . Archivado desde el original el 15 de octubre de 2017 . Consultado el 3 de enero de 2016 .