Grupo modular

Grupo de clases de mapeo que preserva la orientación del toro

En matemáticas , el grupo modular es el grupo lineal especial proyectivo de matrices de 2 × 2 con coeficientes enteros y determinante 1. Se identifican las matrices A y − A. El grupo modular actúa sobre la mitad superior del plano complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias , y el nombre "grupo modular" proviene de la relación con los espacios de módulos y no de la aritmética modular . ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

Definición

El grupo modular Γ es el grupo de transformaciones fraccionarias lineales de la mitad superior del plano complejo , que tienen la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números enteros y ad − bc = 1. La operación de grupo es la composición de funciones .

Este grupo de transformaciones es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL(2, Z ) , que es el cociente del grupo lineal especial bidimensional SL(2, Z ) sobre los números enteros por su centro { I , − I } . En otras palabras, PSL(2, Z ) consta de todas las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

donde a , b , c , d son números enteros, ad − bc = 1 y los pares de matrices A y − A se consideran idénticos. La operación de grupo es la multiplicación habitual de matrices .

Algunos autores definen el grupo modular como PSL(2, Z ) , y otros definen el grupo modular como el grupo más grande SL(2, Z ) .

Algunas relaciones matemáticas requieren la consideración del grupo GL(2, Z ) de matrices con determinante más o menos uno. ( SL(2, Z ) es un subgrupo de este grupo.) De manera similar, PGL(2, Z ) es el grupo cociente GL(2, Z )/{ I , − I } . Una matriz 2 × 2 con determinante unitario es una matriz simpléctica y, por lo tanto, SL(2, Z ) = Sp(2, Z ) , el grupo simpléctico de matrices 2 × 2 .

Encontrar elementos

Para encontrar una matriz explícita

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}}}$

En SL(2, Z ) , comenzamos con dos números enteros coprimos y resolvemos la ecuación determinante. ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle ay-bx=1.}$

(Obsérvese que la ecuación determinante obliga a ser coprimo, ya que de lo contrario habría un factor tal que , , por lo tanto ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle ca'=a}$ ${\displaystyle cb'=b}$

${\displaystyle c(a'y-b'x)=1}$

no tendría soluciones enteras). Por ejemplo, si entonces la ecuación determinante se lee ${\displaystyle a=7,{\text{ }}b=6}$

${\displaystyle 7y-6x=1}$

luego toma y da , por lo tanto ${\displaystyle y=-5}$ ${\displaystyle x=-6}$ ${\displaystyle -35-(-36)=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}7&-6\\6&-5\end{pmatrix}}}$

es una matriz. Luego, utilizando la proyección, estas matrices definen elementos en PSL(2, Z ) .

Propiedades de la teoría de números

El determinante unitario de

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

implica que las _{fraccionesa/b⁠} , _⁠a/do⁠ , _⁠do/d⁠ , _⁠b/d⁠ son todos irreducibles, es decir, no tienen factores comunes (siempre que los denominadores no sean cero, por supuesto). De manera más general, si⁠pag/q⁠ es una fracción irreducible, entonces

${\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}$

también es irreducible (de nuevo, siempre que el denominador no sea cero). Cualquier par de fracciones irreducibles se puede conectar de esta manera; es decir, para cualquier par ⁠pag/q⁠ y ⁠a/sDe fracciones irreducibles existen elementos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

de tal manera que

${\displaystyle r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.}$

Los elementos del grupo modular proporcionan una simetría en la red bidimensional . Sean ω ₁ y ω ₂ dos números complejos cuya razón no es real. Entonces el conjunto de puntos

${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una red de paralelogramos en el plano. Un par diferente de vectores α ₁ y α ₂ generará exactamente la misma red si y solo si

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

para alguna matriz en GL(2, Z ) . Es por esta razón que las funciones doblemente periódicas , como las funciones elípticas , poseen una simetría de grupo modular.

La acción del grupo modular sobre los números racionales se puede entender más fácilmente imaginando una cuadrícula cuadrada, con el punto de cuadrícula ( p , q ) correspondiente a la fracción ⁠pag/q⁠ (ver El huerto de Euclides ). Una fracción irreducible es aquella que es visible desde el origen; la acción del grupo modular sobre una fracción nunca lleva de una visible (irreducible) a una oculta (reducible), y viceversa.

Nótese que cualquier miembro del grupo modular mapea la línea real extendida proyectivamente uno a uno consigo mismo, y además mapea biyectivamente la línea racional extendida proyectivamente (los racionales con infinito) consigo mismo, los irracionales a los irracionales, los números trascendentales a los números trascendentales, los números no reales a los números no reales, el semiplano superior al semiplano superior, etcétera.

Si ⁠pn _{- 1}/qn _{− 1}⁠ y ⁠pn_​/qn_​⁠ son dos convergentes sucesivos de una fracción continua , entonces la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

pertenece a GL(2, Z ) . En particular, si bc − ad = 1 para enteros positivos a , b , c , d con a < b y c < d entonces ⁠a/b⁠ y ⁠do/d⁠ serán vecinos en la secuencia de Farey de orden max( b , d ) . Los casos especiales importantes de fracciones continuas convergentes incluyen los números de Fibonacci y las soluciones de la ecuación de Pell . En ambos casos, los números se pueden organizar para formar un subconjunto de semigrupo del grupo modular.

Propiedades de la teoría de grupos

Presentación

Se puede demostrar que el grupo modular se genera mediante las dos transformaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}}\\T&:z\mapsto z+1\end{aligned}}}$

de modo que cada elemento del grupo modular puede representarse (de manera no única) por la composición de potencias de S y T. Geométricamente, S representa la inversión en el círculo unitario seguida de una reflexión con respecto al eje imaginario, mientras que T representa una traslación unitaria hacia la derecha.

Los generadores S y T obedecen a las relaciones S ² = 1 y ( ST ) ³ = 1 . Se puede demostrar ^[1] que se trata de un conjunto completo de relaciones, por lo que el grupo modular tiene la presentación :

${\displaystyle \Gamma \cong \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\rangle }$

Esta presentación describe el grupo modular como el grupo triangular rotacional D(2, 3, ∞) (infinito ya que no hay relación en T ), y por lo tanto se asigna a todos los grupos triangulares (2, 3, n ) agregando la relación T ⁿ = 1 , lo que ocurre por ejemplo en el subgrupo de congruencia Γ( n ) .

Usando los generadores S y ST en lugar de S y T , esto demuestra que el grupo modular es isomorfo al producto libre de los grupos cíclicos C ₂ y C ₃ :

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3}}$

• 
  La acción de T  : z ↦ z + 1 sobre H
• 
  La acción de S  : z ↦ − ⁠1/el⁠ en H

Grupo de trenzas

El grupo trenzado B ₃ es la extensión central universal del grupo modular.

El grupo trenzado B ₃ es la extensión central universal del grupo modular, y estos se encuentran como retículos dentro del grupo de recubrimiento universal (topológico) SL ₂ ( R ) → PSL ₂ ( R ) . Además, el grupo modular tiene un centro trivial y, por lo tanto, el grupo modular es isomorfo al grupo cociente de B ₃ módulo su centro ; equivalentemente, al grupo de automorfismos internos de B ₃ .

El grupo de trenza _B3 a su vez es isomorfo al grupo de nudos del nudo trilobulado .

Cocientes

Los cocientes por subgrupos de congruencia son de gran interés.

Otros cocientes importantes son los grupos de triángulos (2, 3, n ) , que corresponden geométricamente a descender a un cilindro, cocienteando la coordenada x módulo n , como T ⁿ = ( z ↦ z  +  n ) . (2, 3, 5) es el grupo de simetría icosaédrica , y el grupo de triángulos (2, 3, 7) (y teselación asociada) es la cubierta para todas las superficies de Hurwitz .

Presentando como grupo matriz

El grupo puede ser generado por las dos matrices ^[2] ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\text{ }}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

desde

${\displaystyle S^{2}=-I_{2},{\text{ }}(ST)^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}^{3}=-I_{2}}$

La proyección convierte estas matrices en generadores de , con relaciones similares a la presentación del grupo. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

Relación con la geometría hiperbólica

El grupo modular es importante porque forma un subgrupo del grupo de isometrías del plano hiperbólico . Si consideramos el modelo del semiplano superior H de la geometría del plano hiperbólico, entonces el grupo de todas las isometrías de H que preservan la orientación consiste en todas las transformaciones de Möbius de la forma

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

donde a , b , c , d son números reales . En términos de coordenadas proyectivas , el grupo PSL(2, R ) actúa sobre el semiplano superior H por proyectividad:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

Esta acción es fiel . Dado que PSL(2, Z ) es un subgrupo de PSL(2, R ) , el grupo modular es un subgrupo del grupo de isometrías de H que preservan la orientación . ^[3]

Teselación del plano hiperbólico

Un dominio fundamental típico para la acción de Γ en el semiplano superior.

El grupo modular Γ actúa como un subgrupo discreto de , es decir, para cada z en podemos encontrar un entorno de z que no contenga ningún otro elemento de la órbita de z . Esto también significa que podemos construir dominios fundamentales , que (aproximadamente) contienen exactamente un representante de la órbita de cada z en H . (Es necesario tener cuidado con el límite del dominio). ${\textstyle \mathbb {H} }$ ${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \mathbb {H} }$

Hay muchas maneras de construir un dominio fundamental, pero una opción común es la región

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}}$

delimitada por las líneas verticales Re( z ) = ⁠1/2⁠ y Re( z ) = − ⁠1/2⁠ , y el círculo | z | = 1 . Esta región es un triángulo hiperbólico. Tiene vértices en ⁠1/2+ yo​​√ 3/2⁠ y − ⁠1/2+ yo​​√ 3/2⁠ , donde el ángulo entre sus lados es ⁠π/3⁠ , y un tercer vértice en el infinito, donde el ángulo entre sus lados es 0.

Existe una fuerte conexión entre el grupo modular y las curvas elípticas . Cada punto en el semiplano superior da una curva elíptica, es decir, el cociente de por la red generada por 1 y . Dos puntos en el semiplano superior dan curvas elípticas isomorfas si y solo si están relacionados por una transformación en el grupo modular. Por lo tanto, el cociente del semiplano superior por la acción del grupo modular es el llamado espacio de módulos de curvas elípticas: un espacio cuyos puntos describen clases de isomorfismo de curvas elípticas. Esto a menudo se visualiza como el dominio fundamental descrito anteriormente, con algunos puntos en su límite identificados. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$

El grupo modular y sus subgrupos también son una fuente de interesantes teselados del plano hiperbólico. Al transformar este dominio fundamental por turnos mediante cada uno de los elementos del grupo modular, se crea un teselado regular del plano hiperbólico mediante triángulos hiperbólicos congruentes conocido como teselado triangular de orden infinito V6.6.∞ . Nótese que cada uno de estos triángulos tiene un vértice en el infinito o en el eje real Im( z ) = 0 .

Este teselado se puede extender al disco de Poincaré , donde cada triángulo hiperbólico tiene un vértice en el límite del disco. El teselado del disco de Poincaré está dado de manera natural por el J -invariante , que es invariante bajo el grupo modular, y alcanza cada número complejo una vez en cada triángulo de estas regiones.

Esta teselación se puede refinar ligeramente, dividiendo cada región en dos mitades (convencionalmente coloreadas en blanco y negro), agregando un mapa de inversión de orientación; los colores corresponden entonces a la orientación del dominio. Agregando ( x , y ) ↦ (− x , y ) y tomando la mitad derecha de la región R (donde Re( z ) ≥ 0 ) se obtiene la teselación habitual. Esta teselación aparece impresa por primera vez en (Klein & 1878/79a), ^[4] donde se le atribuye a Richard Dedekind , en referencia a (Dedekind 1877). ^{[4] [5]}

Visualización del mapa (2, 3, ∞) → (2, 3, 7) mediante la transformación de los mosaicos asociados. ^[6]

El mapa de grupos (2, 3, ∞) → (2, 3, n ) (del grupo modular al grupo triangular) se puede visualizar en términos de este teselado (lo que produce un teselado en la curva modular), como se muestra en el video de la derecha.

Subgrupos de congruencia

Los subgrupos importantes del grupo modular Γ , llamados subgrupos de congruencia , se dan imponiendo relaciones de congruencia en las matrices asociadas.

Existe un homomorfismo natural SL(2, Z ) → SL(2, Z / N Z ) dado por la reducción de las entradas módulo N . Esto induce un homomorfismo en el grupo modular PSL(2, Z ) → PSL(2, Z / N Z ) . El núcleo de este homomorfismo se denomina subgrupo de congruencia principal de nivel N , denotado Γ( N ) . Tenemos la siguiente sucesión exacta corta :

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.}$

Al ser el núcleo de un homomorfismo, Γ( N ) es un subgrupo normal del grupo modular Γ . El grupo Γ( N ) se da como el conjunto de todas las transformaciones modulares

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

para el cual a ≡ d ≡ ±1 (mod N ) y b ≡ c ≡ 0 (mod N ) .

Es fácil demostrar que la traza de una matriz que representa un elemento de Γ( N ) no puede ser −1, 0 o 1, por lo que estos subgrupos son grupos libres de torsión . (Existen otros subgrupos libres de torsión).

El subgrupo de congruencia principal de nivel 2, Γ(2) , también se denomina grupo modular Λ . Dado que PSL(2, Z /2 Z ) es isomorfo a S 3 , Λ es un subgrupo de índice 6. El grupo Λ consta de todas las transformaciones modulares para las que a y d son impares y b y c son pares.

Otra familia importante de subgrupos de congruencia es el grupo modular Γ ₀ ( N ) definido como el conjunto de todas las transformaciones modulares para las cuales c ≡ 0 (mod N ) , o equivalentemente, como el subgrupo cuyas matrices se vuelven triangulares superiores al reducirse módulo N . Nótese que Γ( N ) es un subgrupo de Γ ₀ ( N ) . Las curvas modulares asociadas con estos grupos son un aspecto de la monstruosa luz de la luna – para un número primo p , la curva modular del normalizador es género cero si y solo si p divide el orden del grupo monstruo , o equivalentemente, si p es un primo supersingular .

Monoide diádico

Un subconjunto importante del grupo modular es el monoide diádico , que es el monoide de todas las cadenas de la forma ST ^k ST ^m ST ⁿ ... para números enteros positivos k , m , n ,... . Este monoide se presenta de forma natural en el estudio de las curvas fractales y describe las simetrías de autosimilitud de la función de Cantor , la función del signo de interrogación de Minkowski y el copo de nieve de Koch , cada una de las cuales es un caso especial de la curva general de De Rham . El monoide también tiene representaciones lineales de dimensiones superiores; por ejemplo, la representación N = 3 puede entenderse como una descripción de la autosimetría de la curva del manjar blanco .

Mapas del toro

El grupo GL(2, Z ) son las aplicaciones lineales que preservan la red estándar Z ² , y SL(2, Z ) son las aplicaciones que preservan la orientación que preservan esta red; por lo tanto, descienden a autohomeomorfismos del toro (aplicación SL a aplicaciones que preservan la orientación) y, de hecho, se asignan isomorfamente al grupo de clases de aplicaciones (extendidas) del toro, lo que significa que cada autohomeomorfismo del toro es isotópico a una aplicación de esta forma. Las propiedades algebraicas de una matriz como elemento de GL(2, Z ) corresponden a la dinámica de la aplicación inducida del toro.

Grupos de Hecke

El grupo modular se puede generalizar a los grupos de Hecke , llamados así por Erich Hecke , y definidos de la siguiente manera. ^[7]

El grupo de Hecke H _q con q ≥ 3 , es el grupo discreto generado por

${\displaystyle {\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}}$

donde λ _q = 2 cos ⁠π/q⁠ . Para valores pequeños de q ≥ 3 , se tiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}$

El grupo modular Γ es isomorfo a H ₃ y comparten propiedades y aplicaciones; por ejemplo, así como se tiene el producto libre de grupos cíclicos.

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}$

de manera más general, uno tiene

${\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q},}$

que corresponde al grupo de triángulos (2, q , ∞) . De manera similar, existe una noción de subgrupos de congruencia principal asociados a ideales principales en Z [ λ ] .

Historia

El grupo modular y sus subgrupos fueron estudiados en detalle por primera vez por Richard Dedekind y por Felix Klein como parte de su programa de Erlangen en la década de 1870. Sin embargo, las funciones elípticas estrechamente relacionadas fueron estudiadas por Joseph Louis Lagrange en 1785, y Carl Gustav Jakob Jacobi y Niels Henrik Abel publicaron resultados adicionales sobre funciones elípticas en 1827.

Véase también

• Grupo Bianchi
• Curva modular clásica
• Grupo fucsia
• J- invariante
• Grupo kleiniano
• Grupo de clases de mapeo
• Función de signo de interrogación de Minkowski
• Transformación de Möbius
• Curva modular
• Forma modular
• Kuttaka
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Teselación uniforme en el plano hiperbólico

Referencias

1. Alperin, Roger C. (abril de 1993). " PSL ₂ ( Z ) = Z ₂ ∗ Z ₃ ". Amer. Math. Monthly . 100 (4): 385–386. doi :10.2307/2324963. JSTOR  2324963.
2. Conrad, Keith. "SL(2,Z)" (PDF) .
3. McCreary, Paul R.; Murphy, Teri Jo; Carter, Christian. "El grupo modular" (PDF) . The Mathematica Journal . 9 (3).
4. Le Bruyn, Lieven (22 de abril de 2008), ¿Dedekind o Klein?
5. Stillwell, John (enero de 2001). "Modular Miracles". The American Mathematical Monthly . 108 (1): 70–76. doi :10.2307/2695682. ISSN  0002-9890. JSTOR  2695682.
6. Westendorp, Gerard. "Teselaciones platónicas de superficies de Riemann". westy31.nl .
7. Rosenberger, Gerhard; Fine, Benjamin; Gaglione, Anthony M.; Spellman, Dennis (2006). Teoría de grupos combinatorios, grupos discretos y teoría de números. p. 65. ISBN 9780821839850.

• Apostol, Tom M. (1990). Funciones modulares y series de Dirichlet en la teoría de números (2.ª ed.). Nueva York: Springer. cap. 2. ISBN 0-387-97127-0.
• Klein, Felix (1878–1879), "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (Sobre la transformación de funciones elípticas y...)", Math. Annalen , 14 : 13–75, doi :10.1007/BF02297507, S2CID  121056952, archivado desde el original el 19 de julio de 2011 , consultado el 3 de junio de 2010
• Dedekind, Richard (septiembre de 1877), "Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptische Modul-Functionen", Crelle's Journal , 83 : 265–292.