Racional diádico

Fracción con denominador potencia de dos

Racionales diádicos en el intervalo de 0 a 1

En matemáticas, un racional diádico o racional binario es un número que se puede expresar como una fracción cuyo denominador es una potencia de dos . Por ejemplo, 1/2, 3/2 y 3/8 son racionales diádicos, pero 1/3 no lo es. Estos números son importantes en informática porque son los únicos con representaciones binarias finitas . Los racionales diádicos también tienen aplicaciones en pesos y medidas, firmas de tiempo musicales y educación matemática temprana. Pueden aproximarse con precisión a cualquier número real .

La suma, diferencia o producto de dos números racionales diádicos cualesquiera es otro número racional diádico, dado por una fórmula simple. Sin embargo, la división de un número racional diádico por otro no siempre produce un resultado racional diádico. Matemáticamente, esto significa que los números racionales diádicos forman un anillo , que se encuentra entre el anillo de los números enteros y el campo de los números racionales . Este anillo puede denotarse como . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

En matemáticas avanzadas, los números racionales diádicos son fundamentales para la construcción del solenoide diádico , la función de signo de interrogación de Minkowski , las wavelets de Daubechies , el grupo de Thompson , el grupo de 2 de Prüfer , los números surrealistas y los números fusibles . Estos números son isomorfos en orden a los números racionales; forman un subsistema de los números 2-ádicos así como de los reales, y pueden representar las partes fraccionarias de los números 2-ádicos. Las funciones de los números naturales a los racionales diádicos se han utilizado para formalizar el análisis matemático en matemáticas inversas .

Aplicaciones

En medición

Muchos sistemas tradicionales de pesos y medidas se basan en la idea de dividir por la mitad repetidamente, lo que produce racionales diádicos al medir cantidades fraccionarias de unidades. La pulgada se suele subdividir en racionales diádicos en lugar de utilizar una subdivisión decimal. ^[1] Las divisiones habituales del galón en medios galones, cuartos de galón , pintas y tazas también son diádicas. ^[2] Los antiguos egipcios utilizaban racionales diádicos en la medición, con denominadores de hasta 64. ^[3] De manera similar, los sistemas de pesas de la civilización del valle del Indo se basan en su mayor parte en la división por la mitad repetida; la antropóloga Heather M.-L. Miller escribe que "dividir por la mitad es una operación relativamente sencilla con balanzas de viga, lo que probablemente explica por qué tantos sistemas de pesas de este período de tiempo utilizaban sistemas binarios". ^[4]

En informática

Los racionales diádicos son fundamentales para la informática como un tipo de número fraccionario que muchas computadoras pueden manipular directamente. ^[5] En particular, como un tipo de datos utilizado por las computadoras, los números de punto flotante a menudo se definen como números enteros multiplicados por potencias positivas o negativas de dos. Los números que se pueden representar con precisión en un formato de punto flotante, como los tipos de datos de punto flotante IEEE , se denominan números representables. Para la mayoría de las representaciones de punto flotante, los números representables son un subconjunto de los racionales diádicos. ^[6] Lo mismo es cierto para los tipos de datos de punto fijo , que también utilizan potencias de dos implícitamente en la mayoría de los casos. ^[7] Debido a la simplicidad de la computación con racionales diádicos, también se utilizan para la computación real exacta utilizando aritmética de intervalos , ^[8] y son fundamentales para algunos modelos teóricos de números computables . ^{[9] [10] [11]}

La generación de una variable aleatoria a partir de bits aleatorios, en un tiempo fijo, sólo es posible cuando la variable tiene un número finito de resultados cuyas probabilidades son todos números racionales diádicos. Para las variables aleatorias cuyas probabilidades no son diádicas, es necesario aproximar sus probabilidades mediante números racionales diádicos o utilizar un proceso de generación aleatoria cuyo tiempo sea en sí mismo aleatorio e ilimitado. ^[12]

En la música

Cinco compases de La consagración de la primavera de Igor Stravinski que muestran firmas de tiempo
³
₁₆,²
₁₆,³
₁₆, y²
₈

Los compases en la notación musical occidental se escriben tradicionalmente en una forma similar a las fracciones (por ejemplo:²
₂,⁴
₄, o⁶
₈), ^[13] aunque la línea horizontal del pentagrama musical que separa el número superior del inferior suele omitirse cuando se escribe la firma por separado de su pentagrama. Como fracciones son generalmente diádicas, ^[14] aunque también se han utilizado firmas de tiempo no diádicas . ^[15] El valor numérico de la firma, interpretado como fracción, describe la longitud de un compás como una fracción de una nota entera . Su numerador describe el número de pulsos por compás, y el denominador describe la longitud de cada pulso. ^{[13] [14]}

En la educación matemática

En las teorías del desarrollo infantil del concepto de fracción basadas en el trabajo de Jean Piaget , los números fraccionarios que surgen de la división a la mitad y de la división a la mitad repetida se encuentran entre las primeras formas de fracciones que se desarrollan. ^[16] Esta etapa del desarrollo del concepto de fracciones se ha denominado "división a la mitad algorítmica". ^[17] La ​​suma y la resta de estos números se pueden realizar en pasos que solo implican duplicar, dividir a la mitad, sumar y restar números enteros. Por el contrario, la suma y la resta de fracciones más generales implica la multiplicación y factorización de números enteros para llegar a un denominador común. Por lo tanto, las fracciones diádicas pueden ser más fáciles de calcular para los estudiantes que las fracciones más generales. ^[18]

Definiciones y aritmética

Los números diádicos son los números racionales que resultan de dividir un número entero por una potencia de dos . ^[9] Un número racional en términos más simples es un racional diádico cuando es una potencia de dos. ^[19] Otra forma equivalente de definir los racionales diádicos es que son los números reales que tienen una representación binaria terminal . ^[9] ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle q}$

La suma , resta y multiplicación de dos racionales diádicos cualesquiera produce otro racional diádico, de acuerdo con las siguientes fórmulas: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}$

Sin embargo, el resultado de dividir un racional diádico por otro no es necesariamente un racional diádico. ^[21] Por ejemplo, 1 y 3 son ambos números racionales diádicos, pero 1/3 no lo es.

Propiedades adicionales

Aproximaciones racionales diádicas a la raíz cuadrada de 2 ( ), que se encuentran redondeando al múltiplo entero más pequeño más cercano de para La altura de la región rosa sobre cada aproximación es su error. ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$

Números reales sin aproximaciones racionales diádicas inusualmente precisas. Los círculos rojos rodean los números que se aproximan dentro de un margen de error de . Para los números del conjunto fractal de Cantor que se encuentran fuera de los círculos, todas las aproximaciones racionales diádicas tienen errores mayores. ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}/2^{i}}$ ${\displaystyle n/2^{i}}$

Todo entero, y todo semientero , es un racional diádico. ^[22] Ambos cumplen la definición de ser un entero dividido por una potencia de dos: todo entero es un entero dividido por uno (la potencia cero de dos), y todo semientero es un entero dividido por dos.

Cada número real puede ser arbitrariamente aproximado mediante racionales diádicos. En particular, para un número real , considere los racionales diádicos de la forma , donde puede ser cualquier entero y denota la función de piso que redondea su argumento hacia abajo a un entero. Estos números se aproximan desde abajo a dentro de un error de , que puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo que sea arbitrariamente grande. Para un subconjunto fractal de los números reales, este límite de error está dentro de un factor constante de óptimo: para estos números, no hay aproximación con error menor que una constante por . ^{[23] [24]} La existencia de aproximaciones diádicas precisas puede expresarse diciendo que el conjunto de todos los racionales diádicos es denso en la línea real . ^[22] Más fuertemente, este conjunto es uniformemente denso, en el sentido de que los racionales diádicos con denominador están espaciados uniformemente en la línea real. ^[9] ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n/2^{i}}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

Los racionales diádicos son precisamente aquellos números que poseen expansiones binarias finitas . ^[9] Sus expansiones binarias no son únicas; hay una representación finita y una infinita de cada racional diádico distinta de 0 (ignorando los 0 terminales). Por ejemplo, 0,11 ₂ = 0,10111... ₂ , lo que da dos representaciones diferentes para 3/4. ^{[9] [25]} Los racionales diádicos son los únicos números cuyas expansiones binarias no son únicas. ^[9]

En matemáticas avanzadas

Estructura algebraica

Debido a que están cerrados bajo la suma, resta y multiplicación, pero no bajo la división, los racionales diádicos son un anillo pero no un cuerpo . ^[26] El anillo de racionales diádicos puede denotarse , lo que significa que puede generarse evaluando polinomios con coeficientes enteros, en el argumento 1/2. ^[27] Como anillo, los racionales diádicos son un subanillo de los números racionales y un anular de los enteros. ^[28] Algebraicamente, este anillo es la localización de los enteros con respecto al conjunto de potencias de dos . ^[29] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

Además de formar un subanillo de los números reales , los números racionales diádicos forman un subanillo de los números 2-ádicos , un sistema de números que se puede definir a partir de representaciones binarias que son finitas a la derecha del punto binario pero que pueden extenderse infinitamente hacia la izquierda. Los números 2-ádicos incluyen todos los números racionales, no solo los racionales diádicos. Incorporar los racionales diádicos en los números 2-ádicos no cambia la aritmética de los racionales diádicos, pero les da una estructura topológica diferente de la que tienen como subanillo de los números reales. Como lo hacen en los reales, los racionales diádicos forman un subconjunto denso de los números 2-ádicos, ^[30] y son el conjunto de números 2-ádicos con expansiones binarias finitas. Cada número 2-ádico se puede descomponer en la suma de un entero 2-ádico y un racional diádico; En este sentido, los racionales diádicos pueden representar las partes fraccionarias de números 2-ádicos, pero esta descomposición no es única. ^[31]

La suma de racionales diádicos módulo 1 (el grupo cociente de los racionales diádicos por los enteros) forma el grupo 2 de Prüfer . ^[32] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$

Solenoide diádico

Considerando únicamente las operaciones de suma y resta de los racionales diádicos se obtiene la estructura de un grupo abeliano aditivo . La dualidad de Pontryagin es un método para entender los grupos abelianos mediante la construcción de grupos duales, cuyos elementos son caracteres del grupo original, homomorfismos de grupo al grupo multiplicativo de los números complejos , con la multiplicación puntual como operación de grupo dual. El grupo dual de los racionales diádicos aditivos, construido de esta manera, también puede verse como un grupo topológico . Se denomina solenoide diádico y es isomorfo al producto topológico de los números reales y los números 2-ádicos, cociente por la incrustación diagonal de los racionales diádicos en este producto. ^[30] Es un ejemplo de un protoro , un solenoide y un continuo indescomponible . ^[33]

Funciones con racionales diádicos como puntos distinguidos

Como son un subconjunto denso de los números reales, los racionales diádicos, con su ordenamiento numérico, forman un orden denso . Como sucede con dos órdenes lineales densos contables no acotados, según el teorema de isomorfismo de Cantor , ^[34] los racionales diádicos son isomorfos en orden a los números racionales. En este caso, la función de signo de interrogación de Minkowski proporciona una biyección que preserva el orden entre el conjunto de todos los números racionales y el conjunto de racionales diádicos. ^[35]

Los racionales diádicos juegan un papel clave en el análisis de wavelets de Daubechies , como el conjunto de puntos donde la función de escala de estos wavelets no es suave. ^[26] De manera similar, los racionales diádicos parametrizan las discontinuidades en el límite entre puntos estables e inestables en el espacio de parámetros del mapa de Hénon . ^[36]

El conjunto de homeomorfismos lineales por partes desde el intervalo unitario hasta sí mismo que tienen pendientes de potencia de 2 y puntos de corte racionales diádicos forman un grupo bajo la operación de composición de funciones . Este es el grupo de Thompson , el primer ejemplo conocido de un grupo simple infinito pero finitamente presentado . ^[37] El mismo grupo también puede representarse mediante una acción sobre árboles binarios enraizados, ^[38] o mediante una acción sobre los racionales diádicos dentro del intervalo unitario. ^[32]

Otras construcciones relacionadas

En las matemáticas inversas , una forma de construir los números reales es representarlos como funciones que van desde números unarios hasta racionales diádicos, donde el valor de una de estas funciones para el argumento es un racional diádico con denominador que se aproxima al número real dado. Definir los números reales de esta manera permite demostrar muchos de los resultados básicos del análisis matemático dentro de una teoría restringida de la aritmética de segundo orden llamada "análisis factible" (BTFA). ^[39] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

Los números surrealistas se generan mediante un principio de construcción iterado que comienza generando todos los racionales diádicos finitos y luego continúa creando nuevos y extraños tipos de números infinitos, infinitesimales y otros. ^[40] Este sistema numérico es fundamental para la teoría de juegos combinatorios , y los racionales diádicos surgen naturalmente en esta teoría como el conjunto de valores de ciertos juegos combinatorios. ^{[41] [42] [19]}

Los números fusibles son un subconjunto de los racionales diádicos, la clausura del conjunto bajo la operación , restringida a pares con . Están bien ordenados , con tipo de orden igual al número épsilon . Para cada entero el número fusible más pequeño que es mayor que tiene la forma . La existencia de para cada no puede probarse en la aritmética de Peano , ^[43] y crece tan rápidamente como una función de que para es (en la notación de flecha hacia arriba de Knuth para números grandes) ya mayor que . ^[44] ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle |x-y|<1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1/2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$

La prueba habitual del lema de Urysohn utiliza las fracciones diádicas para construir la función separadora del lema.

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23. Más precisamente, para valores positivos pequeños de , el conjunto de números reales que no tienen aproximación con error menor que una constante multiplicada por , forma un conjunto de Cantor cuya dimensión de Hausdorff , en función de , tiende a uno cuando tiende a cero. La ilustración muestra este conjunto para . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n/2^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon /2^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{6}}}$
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