El problema de la meseta

Para encontrar la superficie mínima con un límite dado

Una pompa de jabón en forma de catenoide.

En matemáticas , el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie mínima con un límite dado, problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, lleva el nombre de Joseph Plateau que experimentó con películas de jabón . El problema se considera parte del cálculo de variaciones . Los problemas de existencia y regularidad forman parte de la teoría de la medida geométrica .

Historia

Se resolvieron varias formas especializadas del problema, pero no fue hasta 1930 que Jesse Douglas y Tibor Radó encontraron soluciones generales en el contexto de mapeos (inmersiones) de forma independiente . Sus métodos eran bastante diferentes; El trabajo de Radó se basó en el trabajo anterior de René Garnier y se mantuvo solo para curvas cerradas simples rectificables , mientras que Douglas usó ideas completamente nuevas y su resultado se mantuvo para una curva cerrada simple arbitraria. Ambos se basaron en plantear problemas de minimización; Douglas minimizó la ahora llamada integral de Douglas mientras que Radó minimizó la "energía". Douglas recibió la medalla Fields en 1936 por sus esfuerzos.

En dimensiones superiores

La extensión del problema a dimensiones superiores (es decir, para superficies de dimensiones en un espacio de dimensiones) resulta mucho más difícil de estudiar. Además, si bien las soluciones al problema original son siempre regulares, resulta que las soluciones al problema extendido pueden tener singularidades si . En el caso de hipersuperficie donde , las singularidades ocurren solo para . Un ejemplo de una solución tan singular al problema de Plateau es el cono de Simons, un cono que fue descrito por primera vez por Jim Simons y que Bombieri , De Giorgi y Giusti demostraron que era un minimizador de área . ^[1] Para resolver el problema extendido en ciertos casos especiales, se ha desarrollado la teoría de perímetros ( De Giorgi ) para la codimensión 1 y la teoría de corrientes rectificables ( Federer y Fleming) para la codimensión superior. La teoría garantiza la existencia de soluciones de codimensión 1 que se alejan suavemente de un conjunto cerrado de dimensión de Hausdorff . En el caso de una codimensión superior, Almgren demostró la existencia de soluciones con un conjunto singular de dimensión como máximo en su teorema de regularidad . SX Chang, un estudiante de Almgren, se basó en el trabajo de Almgren para demostrar que las singularidades del área bidimensional que minimizan las corrientes integrales (en codimensión arbitraria) forman un conjunto discreto finito. ^{[2] [3]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\leq n-2}$ ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle n\geq 8}$ ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle n-8}$ ${\displaystyle k-2}$

El enfoque axiomático de Jenny Harrison y Harrison Pugh ^[4] trata una amplia variedad de casos especiales. En particular, resuelven el problema de la meseta anisotrópica en dimensión y codimensión arbitrarias para cualquier colección de conjuntos rectificables que satisfagan una combinación de condiciones generales homológicas, cohomológicas u homotópicas. Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin y Francesco Maggi obtuvieron una prueba diferente de los resultados de Harrison-Pugh . ^[5]

Aplicaciones físicas

Las películas físicas de jabón se modelan con mayor precisión mediante los conjuntos mínimos de Frederick Almgren , pero la falta de un teorema de compacidad hace que sea difícil demostrar la existencia de un minimizador de área. En este contexto, una pregunta abierta persistente ha sido la existencia de una película de jabón de área mínima. Ernst Robert Reifenberg resolvió este "problema de meseta universal" para límites que son homeomórficos con respecto a esferas incrustadas individuales. ${\displaystyle (M,0,\Delta )}$

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Conjetura de la doble burbuja
• principio de dirichlet
• leyes de meseta
• Método de cuadrícula estirada
• El problema de Bernstein

Referencias

1. Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, Enrico (1969), "Los conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 (3): 243–268, Bibcode :1969InMat...7..243B, doi :10.1007/BF01404309, S2CID  59816096
2. Chang, Sheldon Xu-Dong (1988), "El área bidimensional que minimiza las corrientes integrales son superficies mínimas clásicas", Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 699–778, doi :10.2307/1990991, JSTOR  1990991
3. De Lellis, Camillo (2016), "Corrientes bidimensionales que minimizan casi el área" (PDF) , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , 9 (1): 3–67, doi :10.1007/s40574-016-0057-1, Señor  3470822
4. Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2017), "Métodos generales de minimización elíptica", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 56 (1), arXiv : 1603.04492 , doi :10.1007/s00526-017-1217-6, S2CID  119704344
5. De Lellis, Camillo; Ghiraldin, Francisco; Maggi, Francesco (2017), "Una aproximación directa al problema de Plateau" (PDF) , Revista de la Sociedad Matemática Europea , 19 (8): 2219–2240, doi :10.4171/JEMS/716, S2CID  29820759

• Douglas, Jesse (1931). "Solución del problema de Plateau". Trans. América. Matemáticas. Soc . 33 (1): 263–321. doi : 10.2307/1989472 . JSTOR  1989472.
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Solución del problema {Plateau} para superficies m-dimensionales de diferente tipo topológico". Acta Matemática . 104 (2): 1–92. doi : 10.1007/bf02547186 .
• Fomenko, AT (1989). El problema de la meseta: estudio histórico . Williston, VT: Gordon y Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes . Prensa académica. ISBN 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Radó, Tibor (1930). "Sobre el problema de Plateau". Ana. de Matemáticas . 2. 31 (3): 457–469. Código bibliográfico : 1930AnMat..31..457R. doi :10.2307/1968237. JSTOR  1968237.
• Struwe, Michael (1989). El problema de Plateau y el cálculo de variaciones . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Federico (1966). El problema de Plateau, una invitación a la geometría variada . Nueva York-Ámsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). Problemas abiertos en matemáticas (Problema de Plateau) . Saltador. arXiv : 1506.05408 . doi :10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN 978-3-319-32160-8.

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