Catenoide

Superficie de revolución de una catenaria

Un catenoide

Un catenoide obtenido a partir de la rotación de una catenaria.

En geometría , un catenoide es un tipo de superficie que surge al rotar una curva catenaria alrededor de un eje (una superficie de revolución ). ^[1] Es una superficie mínima , lo que significa que ocupa el área más pequeña cuando está limitada por un espacio cerrado. ^[2] Fue descrita formalmente en 1744 por el matemático Leonhard Euler .

La película de jabón unida a anillos circulares gemelos tomará la forma de un catenoide. ^[2] Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, un catenoide se puede doblar en una porción de un helicoide , y viceversa.

Geometría

La catenoide fue la primera superficie mínima no trivial en el espacio euclidiano tridimensional que se descubrió aparte del plano . La catenoide se obtiene al rotar una catenaria alrededor de su directriz . ^[2] Leonhard Euler la descubrió y demostró que era mínima en 1744. ^{[3] [4]}

Los primeros trabajos sobre el tema fueron publicados también por Jean Baptiste Meusnier . ^{[5] [4] : 11106} Sólo hay dos superficies mínimas de revolución ( superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y el catenoide. ^[6]

El catenoide puede definirse mediante las siguientes ecuaciones paramétricas: donde y y es una constante real distinta de cero. $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u\\y&=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u\\z&=v\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle u\in [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c}$

En coordenadas cilíndricas: donde es una constante real. $${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}},}$$ ${\displaystyle c}$

Se puede formar un modelo físico de un catenoide sumergiendo dos anillos circulares en una solución jabonosa y separando lentamente los círculos.

El catenoide también puede definirse aproximadamente mediante el método de cuadrícula estirada como un modelo 3D de facetas.

Transformación helicoidal

Deformación de un helicoide en un catenoide

Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, se puede doblar un catenoide en una porción de un helicoide sin estirarlo. En otras palabras, se puede hacer una deformación (casi) continua e isométrica de un catenoide en una porción del helicoide de manera que cada miembro de la familia de deformación sea mínimo (que tenga una curvatura media de cero). Una parametrización de tal deformación viene dada por el sistema para , con parámetro de deformación , donde: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u\\y(u,v)&=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u\\z(u,v)&=u\cos \theta +v\sin \theta \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

• ${\displaystyle \theta =\pi }$corresponde a un helicoide dextrógiro,
• ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$corresponde a un catenoide, y
• ${\displaystyle \theta =0}$corresponde a un helicoide zurdo.

Referencias

1. Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich (2010). Superficies mínimas. Springer Science & Business Media . pág. 141. ISBN 9783642116988.
2. Gullberg, Jan (1997). Matemáticas: desde el nacimiento de los números . WW Norton & Company . pág. 538. ISBN. 9780393040029.
3. Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [reimpresión de la edición de 1744]. Carathëodory Constantin (ed.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu Accepti (en latín). Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 3-76431-424-9.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Colding, TH; Minicozzi, WP (17 de julio de 2006). "Formas de superficies mínimas embebidas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 103 (30): 11106–11111. Bibcode :2006PNAS..10311106C. doi : 10.1073/pnas.0510379103 . PMC 1544050 . PMID  16847265. 
5. Meusnier, JB (1881). Mémoire sur la courbure des Surfaces [ Memoria sobre la curvatura de las superficies. ] (PDF) (en francés). Bruselas: F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. págs. 477–510. ISBN 9781147341744.
6. "Catenoide". Wolfram MathWorld . Consultado el 15 de enero de 2017 .

Lectura adicional

• Krivoshapko, Sergey; Ivanov, VN (2015). "Superficies mínimas". Enciclopedia de superficies analíticas . Springer. ISBN 9783319117737.

Enlaces externos

• "Catenoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Catenoid – modelo WebGL
• Texto de Euler que describe el catenoide en la Universidad Carnegie Mellon
• Calcular el área superficial de un catenoide
• Superficie mínima de revolución