Método de cuadrícula estirada

técnica numérica

El método de cuadrícula estirada ( SGM ) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas de diversos problemas matemáticos y de ingeniería que pueden relacionarse con el comportamiento de una cuadrícula elástica. En particular, los meteorólogos utilizan el método de rejilla estirada para la predicción del tiempo ^[1] y los ingenieros utilizan el método de rejilla estirada para diseñar tiendas de campaña y otras estructuras tensadas .

Refinamiento de malla FEM y BEM

En las últimas décadas, los métodos de elementos finitos y elementos de frontera (FEM y BEM) se han convertido en un pilar del diseño y análisis de ingeniería industrial. Se simulan diseños cada vez más grandes y complejos utilizando FEM o BEM. Sin embargo, algunos problemas del análisis de ingeniería FEM y BEM todavía están a la vanguardia. El primer problema es la confiabilidad del análisis de ingeniería que depende en gran medida de la calidad de los datos iniciales generados en la etapa de preprocesamiento. Se sabe que las técnicas de generación automática de mallas de elementos en esta etapa se han convertido en herramientas comúnmente utilizadas para el análisis de modelos complejos del mundo real. ^[2] Con la creciente popularidad de FEM y BEM, surge el incentivo para mejorar los algoritmos de mallado automático. Sin embargo, todos estos algoritmos pueden crear elementos de cuadrícula distorsionados e incluso inutilizables. Existen varias técnicas que pueden tomar una malla existente y mejorar su calidad. Por ejemplo, el suavizado (también conocido como refinamiento de malla ) es uno de esos métodos, que reposiciona las ubicaciones de los nodos para minimizar la distorsión del elemento. El Método de Cuadrícula Estirada (SGM) permite la obtención de mallas pseudo-regulares de manera muy fácil y rápida en una solución de un solo paso (ver ^[3] ).

Supongamos que hay una cuadrícula triangular arbitraria incrustada en un contorno plano poligonal unicoherente y producida mediante un procedimiento de mallado automático (ver figura 1). Se puede suponer además que la cuadrícula considerada como un sistema nodal físico está distorsionada por una serie de distorsiones. Se supone que la energía potencial total de este sistema es proporcional a la longitud de algún vector de dimensión con todos los segmentos de la red como componentes. ${\displaystyle \ n}$

Fig. 1 Una cuadrícula triangular delimitada por un contorno poligonal plano y coherente

Por tanto, la energía potencial toma la siguiente forma

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2}}$

dónde

• ${\displaystyle \ n}$- número total de segmentos en la red,
• ${\displaystyle \ R_{j}}$- La longitud del número de segmento , ${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ D}$- una constante arbitraria.

La longitud del número de segmento se puede expresar mediante dos coordenadas nodales como ${\displaystyle \ j}$

${\displaystyle \ R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}}}}$

También se puede suponer que el vector de coordenadas de todos los nodos está asociado con la red no distorsionada y el vector de coordenadas está asociado con la red distorsionada. La expresión para vector se puede escribir como ${\displaystyle \{\ X\}}$ ${\displaystyle \{\ X'\}}$ ${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ X\}=\{\ X'\}+\{\Delta \ X\}}$

La determinación del vector está relacionada con la minimización de la forma cuadrática mediante un vector incremental , es decir ${\displaystyle \{\ X\}}$ ${\displaystyle \ \Pi }$ ${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

dónde

• ${\displaystyle \ l}$- es el número del nodo interior del área,
• ${\displaystyle \ k}$- el número de coordenadas

Después de todas las transformaciones podemos escribir los siguientes dos sistemas independientes de ecuaciones algebraicas lineales

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}}$

dónde

• ${\displaystyle [\ A]}$- matriz simétrica en forma de bandas similar a la matriz de rigidez global del ensamblaje FEM,
• ${\displaystyle \{\Delta \ X_{1}\}}$y - vectores incrementales de coordenadas de todos los nodos en los ejes 1, 2, ${\displaystyle \{\Delta \ X_{2}\}}$
• ${\displaystyle \{\ B_{1}\}}$y - los vectores de la parte derecha que se combinan mediante coordenadas de todos los nodos en los ejes 1, 2. ${\displaystyle \{\ B_{2}\}}$

Fig. 2 Izquierda: cuadrícula 2D distorsionada, derecha: cuadrícula corregida

La solución de ambos sistemas, manteniendo conservadores todos los nodos de contorno, obtiene nuevas posiciones de nodos interiores correspondientes a una malla no distorsionada con elementos pseudo-regulares. Por ejemplo, la Fig. 2 presenta el área rectangular cubierta por una malla triangular. La malla automática inicial posee algunos triángulos degenerativos (malla izquierda). La malla final (malla derecha) producida por el procedimiento SGM es pseudoregular sin ningún elemento distorsionado.

Como los sistemas anteriores son lineales, el procedimiento pasa muy rápidamente a una solución de un solo paso. Además, cada posición final del nodo interior cumple con el requisito de la media aritmética de coordenadas de los nodos que lo rodean y también cumple con los criterios de Delaunay . Por lo tanto, el SGM tiene todos los valores positivos propios del laplaciano y otros tipos de enfoques de suavizado, pero mucho más fácil y confiable debido a la representación de matrices finales con valores enteros. Finalmente, el SGM descrito anteriormente es perfectamente aplicable no sólo a mallas 2D sino también a mallas 3D que constan de celdas uniformes, así como a mallas mixtas o transitorias.

Solución del problema de superficie mínima

Matemáticamente, la superficie incrustada en una curva cerrada no plana se llama mínima si su área es mínima entre todas las superficies que pasan por esta curva. La muestra de superficie mínima más conocida es una película de jabón unida por una estructura de alambre. Generalmente, para crear una superficie mínima, se utiliza una ley constitutiva ficticia, que mantiene un pretensado constante, independientemente de cualquier cambio en la deformación. ^[4] El enfoque alternativo aproximado para la solución del problema de superficie mínima se basa en SGM. Esta formulación permite minimizar la superficie incrustada en contornos cerrados planos y no planos.

Fig 3. Superficie catenoidal

La idea es aproximar una parte de la superficie incrustada en un contorno 3D no plano mediante una cuadrícula triangular arbitraria. Para hacer converger dicha cuadrícula triangular en una cuadrícula con un área mínima, se deben resolver los mismos dos sistemas descritos anteriormente. Los incrementos de las coordenadas del tercer nodo se pueden determinar adicionalmente mediante un sistema similar en el eje 3 de la siguiente manera

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{3}\}=\{\ B_{3}\}}$

Resolviendo los tres sistemas simultáneamente se puede obtener una nueva cuadrícula que será la superficie mínima aproximada incrustada en una curva cerrada no plana debido al mínimo de la función donde parámetro . ${\displaystyle \ \Pi }$ ${\displaystyle \ j=1,2,3}$

Como ejemplo, en la figura 3 se presenta la superficie de la catenoide calculada mediante el método descrito anteriormente. Los radios de los anillos y la altura de la catenoide son iguales a 1,0. El área numérica de la superficie catenoidal determinada por SGM es igual a 2,9967189 (el valor exacto es 2,992).

Estructuras textiles tensadas forman hallazgo

Fig.4 Hypar (paraboloide hiperbólico)

Fig. 5 Toldo tipo silla de montar

Para el análisis estructural, la configuración de la estructura generalmente se conoce a priori. Este no es el caso de estructuras tensadas como las estructuras de tejido tensado . Dado que la membrana en una estructura traccionada no posee rigidez a la flexión, su forma o configuración depende del pretensado inicial y de las cargas a las que está sometida. Por lo tanto, el comportamiento de carga y la forma de la membrana no pueden separarse y no pueden describirse en general únicamente mediante modelos geométricos simples. La forma de la membrana, las cargas sobre la estructura y las tensiones internas interactúan de forma no lineal para satisfacer las ecuaciones de equilibrio.

Fig. 6 Modelo de rejilla para cubrir la pista de baile

Fig. 7 Render de la cubierta de la pista de baile.

Fig.8 Cubierta de pista de baile real

El diseño preliminar de estructuras tensadas implica la determinación de una configuración inicial denominada búsqueda de forma. Además de satisfacer las condiciones de equilibrio, la configuración inicial debe adaptarse a los requisitos arquitectónicos (estética) y estructurales (resistencia y estabilidad). Además, se deben cumplir los requisitos de espacio y espacio libre, las tensiones principales de la membrana deben ser de tracción para evitar arrugas y los radios de la superficie de doble curvatura deben ser lo suficientemente pequeños para resistir cargas fuera del plano y asegurar la estabilidad estructural. trabajo ^[5] ). Se han desarrollado varias variaciones de los enfoques de búsqueda de forma basados ​​en FEM para ayudar a los ingenieros en el diseño de estructuras de tejido tensado. Todos ellos se basan en el mismo supuesto utilizado para analizar el comportamiento de las estructuras tensadas bajo diversas cargas. Sin embargo, como señalan algunos investigadores, a veces puede ser preferible utilizar las llamadas " superficies mínimas " en el diseño de estructuras tensadas.

El significado físico de SGM consiste en la convergencia de la energía de una estructura de cuadrícula arbitraria incrustada en un contorno 3D rígido (o elástico) al mínimo que equivale a la suma mínima de distancias entre pares arbitrarios de nodos de cuadrícula. Permite la solución del problema de energía superficial mínima sustituyendo el hallazgo del mínimo de energía de la suma de la estructura de la red que proporciona un sistema de ecuaciones algebraicas finales mucho más sencillo que la formulación FEM habitual. La formulación generalizada de SGM presupone la posibilidad de aplicar un conjunto de fuerzas externas y restricciones rígidas o elásticas a los nodos de la estructura de la red que permite modelar varios efectos externos. Podemos obtener la siguiente expresión para dicha formulación SGM

${\displaystyle \Pi =\sum _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)}$

dónde

• ${\displaystyle \ n}$- número total de segmentos de cuadrícula,
• ${\displaystyle \ m}$- número total de nodos,
• ${\displaystyle \ R_{j}}$ - longitud del número de segmento , ${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ D_{j}}$- rigidez del número de segmento , ${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ \Delta X_{ik}}$- incremento de coordenadas del nodo en el eje , ${\displaystyle \ k}$ ${\displaystyle \ i}$
• ${\displaystyle \ C_{ik}}$- rigidez de una restricción elástica en el nodo en el eje , ${\displaystyle \ k}$ ${\displaystyle \ i}$
• ${\displaystyle \ P_{ik}}$- fuerza exterior en el nodo en el eje . ${\displaystyle \ k}$ ${\displaystyle \ i}$

Problema de despliegue y generación de patrones de corte.

Una vez que se ha encontrado una forma satisfactoria, se puede generar un patrón de corte. Las estructuras tensadas varían mucho en tamaño, curvatura y rigidez del material. La aproximación del patrón de corte está fuertemente relacionada con cada uno de estos factores. Es esencial que un método de generación de patrones de corte minimice la posible aproximación y produzca datos de tela plana confiables.

El objetivo es desarrollar las formas descritas por estos datos, lo más cerca posible de las tiras doblemente curvadas ideales. En general, la generación de patrones de corte implica dos pasos. En primer lugar, la superficie global de una estructura tensada se divide en telas individuales. El patrón de corte correspondiente en el segundo paso se puede encontrar simplemente tomando cada tira de tela y desplegándola en un área plana. En el caso de la superficie ideal de membrana con doble curvatura, la subsuperficie no se puede simplemente desplegar, sino que se debe aplanar. Por ejemplo, en ^{[6] [7]} se ha utilizado SGM para la solución del problema de aplanamiento.

El problema de generación de patrones de corte en realidad se subdivide en dos formulaciones independientes. Se trata de la generación de una forma plana sin distorsiones que despliega cada tira de tela y aplana superficies de doble curvatura que no se pueden desplegar simplemente. Estudiando el problema detenidamente se puede observar que desde la posición de la geometría diferencial ambas formulaciones son iguales. Podemos considerarlo como un mapeo isométrico de una superficie en el área plana que será un mapeo conforme y un mapeo equiareal simultáneamente debido a los ángulos invariantes entre cualquier curva y la invariancia de cualquier área. En el caso de una superficie de curva única que se puede desplegar, el mapeo equi-área preciso permite obtener un patrón de corte para la estructura del tejido sin distorsiones. El segundo tipo de superficies se puede mapear en áreas equiáreas sólo aproximadamente con algunas distorsiones de los elementos de superficie lineales limitadas por las propiedades de la tela. Supongamos que dos superficies están parametrizadas de modo que sus primeras formas cuadráticas puedan escribirse de la siguiente manera

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{1}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

La condición de mapeo conforme para dos superficies tal como se formula en geometría diferencial requiere que

${\displaystyle {\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}}}$

donde es la relación de la distorsión de la superficie debido al mapeo conforme. ${\displaystyle \ \lambda }$

Se sabe que la primera forma cuadrática refleja la distancia entre dos puntos de la superficie y . Cuando -ratio es cercano a 1, la ecuación anterior converge a la condición de mapeo isométrico y a mapeo equi-área respectivamente debido a los ángulos invariantes entre cualquier curva y la invariancia de cualquier área. Recordando que la primera etapa de búsqueda de forma se basa en la malla triangular de una superficie y utilizando el método de residuos ponderados para la descripción del mapeo isométrico y equi-área de la superficie mínima en un área plana, podemos escribir la siguiente función que está definida por la suma de integrales a lo largo de segmentos de triángulos curvos ${\displaystyle \ (u,v)}$ ${\displaystyle \ (u+\operatorname {d} u,v+\operatorname {d} v)}$ ${\displaystyle \ \lambda }$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

dónde

• ${\displaystyle \ n}$- número total de celdas de la cuadrícula,
• ${\displaystyle \ w_{j}}$- relaciones de peso,
• ${\displaystyle \ \Pi }$ - el residuo total del mapeo,
• ${\displaystyle \ D}$- la constante que no influye en el resultado final y puede utilizarse como relación de escala.

Considerando otras proporciones de peso, podemos transformar la ecuación. en una suma finita aproximada que es una combinación de distancias lineales entre nodos de la cuadrícula de superficie y escriba la condición básica del mapeo de superficies equi-áreas como mínimo de la siguiente función no lineal ${\displaystyle \ w_{j}=1}$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

dónde

• ${\displaystyle \ R_{j}}$- longitud inicial del número de segmento lineal , ${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ L_{j}}$- longitud final del número de segmento , ${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ \lambda }$- relación de distorsión cercana a 1 y puede ser diferente para cada segmento.

Las longitudes inicial y final del número de segmento se pueden expresar como de costumbre mediante dos coordenadas nodales como ${\displaystyle \ j}$

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}}$

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \ X_{ik}}$- coordenadas de nodos del segmento inicial,
• ${\displaystyle \ x_{ik}}$- coordenadas de nodos del segmento final.

Según el supuesto inicial, podemos escribir para el mapeo de superficies planas. La expresión para vectores y con uso de términos con incrementos de coordenadas se puede escribir como ${\displaystyle \ x_{32}=x_{31}=0}$ ${\displaystyle \{\ x\}}$ ${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ x\}=\{\ X\}+\{\Delta \ X\}}$

Fig. 9 Recorte del toldo de dos picos

Fig. 10 Forma inicial del parche.

Fig. 11 Patrón de parche plano

La definición del vector se hace como anteriormente. ${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

Después de las transformaciones podemos escribir los siguientes dos sistemas independientes de ecuaciones algebraicas no lineales.

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}+\{\Delta P_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}+\{\Delta P_{2}\}}$

donde todas las partes del sistema se pueden expresar como anteriormente y y son vectores de pseudotensiones en los ejes 1, 2 que tiene la siguiente forma ${\displaystyle \{\ \Delta P_{1}\}}$ ${\displaystyle \{\ \Delta P_{2}\}}$

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\sum _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\}}$

dónde

• ${\displaystyle \ N}$- número total de nodos que rodean el número de nodo , ${\displaystyle \ t}$
• ${\displaystyle \ l}$- el número de ejes globales.

El enfoque anterior es otra forma de SGM y permite la obtención de dos sistemas independientes de ecuaciones algebraicas no lineales que pueden resolverse mediante cualquier procedimiento de iteración estándar. Cuanto menor sea la curvatura gaussiana de la superficie, mayor será la precisión del mapeo del plano. Como regla general, el mapeo plano permite obtener un patrón con dimensiones lineales entre 1 y 2% menos que las líneas espaciales correspondientes de la superficie final. Por eso es necesario proporcionar los márgenes adecuados al crear el patrón.

La muestra típica de recorte, también llamada recorte, sangre (segmento) o parche, se presenta en las Figs. 9, 10, 11.

Ver también

• Generación de malla
• Tipos de malla

Referencias

1. QIAN Jian-hua. "Aplicación de una Grilla Estirada de Resolución Variable a un Modelo Atmosférico Regional con Parametrización Física"
2. Zienkiewicz OC, Kelly DW, Bettes P. El acoplamiento del método de elementos finitos y el procedimiento de solución de límites. // Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería, vol. 11, N 12, 1977. págs. 355–375.
3. Popov EV, Sobre algunas formulaciones variantes para una superficie mínima. Transacciones de la Sociedad Canadiense de Mecánica para Ingeniería, Univ. de Alberta, vol.20, N 4, 1997, págs. 391–400.
4. Tabarrok, Y. Xiong. Algunas formulaciones variacionales para superficie mínima. Acta Mechanica, vol. 89/1–4, 1991, págs. 33–43.
5. B. Tabarrok, Z. Qin. Búsqueda de formas y generación de patrones de corte para estructuras de tensión de telas, -Microcomputers in Civil Engineering J., № 8, 1993, págs. 377–384).
6. Modelado geométrico de Popov EV de estructuras de tela para tiendas de campaña con el método de cuadrícula estirada. (escrito en ruso) Actas de la 11ª Conferencia Internacional sobre Gráficos por Computadora y Visión GRAPHICON'2001, UNN, Nizhny Novgorod, 2001. págs.
7. Popov, EV Generación de patrones de corte para estructuras tipo tienda de campaña representadas por superficies mínimas. Las Transacciones de la Sociedad Canadiense de Ingeniería Mecánica, Univ. de Alberta, vol. 22, N 4A, 1999, págs. 369–377.

enlaces externos

• Sistema K3-Tent para estructuras de tejido tensado, búsqueda de forma y corte de patrones
• corporación kubantent