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Mapa equiáreo

En geometría diferencial , un mapa equiáreo , a veces llamado mapa autálico , es un mapa suave de una superficie a otra que preserva las áreas de las figuras.

Propiedades

Si M y N son dos superficies riemannianas (o pseudo-riemannianas ), entonces una función equiárea f de M a N puede caracterizarse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

donde denota el producto de cuña euclidiana de vectores y df denota el empuje hacia adelante a lo largo de f .

Ejemplo

Un ejemplo de un mapa equiáreo, debido a Arquímedes de Siracusa , es la proyección desde la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1 al cilindro unitario x 2 + y 2 = 1 hacia afuera desde su eje común. Una fórmula explícita es

para ( x , y , z ) un punto en la esfera unitaria.

Transformaciones lineales

Toda isometría euclidiana del plano euclidiano es equiárea, pero la inversa no es cierta. De hecho, la aplicación de corte y la aplicación de compresión son contraejemplos de la inversa.

La aplicación de corte convierte un rectángulo en un paralelogramo de la misma área. Escrito en forma matricial, una aplicación de corte a lo largo del eje x es

El mapeo de compresión alarga y contrae los lados de un rectángulo de manera recíproca de modo que se conserva el área. Escrito en forma de matriz, con λ > 1, la compresión se lee

Una transformación lineal multiplica áreas por el valor absoluto de su determinante | adbc | .

La eliminación gaussiana muestra que toda transformación lineal equiárea ( rotaciones incluidas) puede obtenerse componiendo como máximo dos cizalladuras a lo largo de los ejes, un apretón y (si el determinante es negativo), una reflexión .

En proyecciones de mapas

En el contexto de los mapas geográficos , una proyección de mapa se denomina de áreas iguales , equivalente , auténtica , equiárea o que preserva el área , si las áreas se preservan hasta un factor constante; al incrustar el mapa de destino, generalmente considerado un subconjunto de R 2 , de la manera obvia en R 3 , el requisito anterior se debilita a:

para algunos κ > 0 que no dependen de y . Para ejemplos de tales proyecciones, véase proyección de mapa de áreas iguales .

Véase también

Referencias