En geometría diferencial , un mapa equiareal , a veces llamado mapa autálico , es un mapa suave de una superficie a otra que preserva las áreas de las figuras.
Si M y N son dos superficies riemannianas (o pseudoriemannianas ), entonces una aplicación equiareal f de M a N puede caracterizarse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
donde denota el producto de cuña euclidiana de vectores y df denota el avance a lo largo de f .
Un ejemplo de mapa equiareal, debido a Arquímedes de Siracusa , es la proyección desde la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1 al cilindro unitario x 2 + y 2 = 1 hacia afuera desde su eje común. Una fórmula explícita es
para ( x , y , z ) un punto en la esfera unitaria.
Toda isometría euclidiana del plano euclidiano es equiárea, pero lo contrario no es cierto. De hecho, el mapeo de corte y el mapeo de compresión son contraejemplos de lo contrario.
El mapeo de corte lleva un rectángulo a un paralelogramo de la misma área. Escrito en forma matricial, un mapeo de corte a lo largo del eje x es
El mapeo comprimido alarga y contrae los lados de un rectángulo de manera recíproca para preservar el área. Escrito en forma matricial, con λ > 1 se lee la compresión
Una transformación lineal multiplica áreas por el valor absoluto de su determinante | anuncio – antes de Cristo | .
La eliminación gaussiana muestra que cada transformación lineal equiareal ( rotaciones incluidas) se puede obtener componiendo como máximo dos cortes a lo largo de los ejes, una compresión y (si el determinante es negativo), una reflexión .
En el contexto de los mapas geográficos , una proyección cartográfica se denomina área igual , equivalente , autálica , equiárea o preservadora de área , si las áreas se conservan hasta un factor constante; Al incorporar el mapa objetivo, generalmente considerado un subconjunto de R 2 , de la manera obvia en R 3 , el requisito anterior se debilita a:
para algunos κ > 0 no dependiendo de y . Para ver ejemplos de este tipo de proyecciones, consulte proyección cartográfica de áreas iguales .