Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales.

Interacción física en la física posclásica.

Los campos de fuerza estática son campos, como campos eléctricos , magnéticos o gravitacionales simples , que existen sin excitaciones. El método de aproximación más común que utilizan los físicos para los cálculos de dispersión puede interpretarse como fuerzas estáticas que surgen de las interacciones entre dos cuerpos mediadas por partículas virtuales , partículas que existen sólo durante un corto tiempo determinado por el principio de incertidumbre . ^[1] Las partículas virtuales, también conocidas como portadoras de fuerzas , son bosones , con diferentes bosones asociados a cada fuerza. ^{[2] : 16–37}

La descripción de fuerzas estáticas en partículas virtuales es capaz de identificar la forma espacial de las fuerzas, como el comportamiento del cuadrado inverso en la ley de gravitación universal de Newton y en la ley de Coulomb . También es capaz de predecir si las fuerzas son atractivas o repulsivas para cuerpos similares.

La formulación de integral de trayectoria es el lenguaje natural para describir a los portadores de fuerzas. Este artículo utiliza la formulación de integral de trayectoria para describir los portadores de fuerza para los campos de espín 0, 1 y 2. Los piones , los fotones y los gravitones se incluyen en estas categorías respectivas.

Existen límites a la validez de la imagen de partículas virtuales. La formulación de partículas virtuales se deriva de un método conocido como teoría de la perturbación , que es una aproximación que supone que las interacciones no son demasiado fuertes y estaba destinada a problemas de dispersión, no a estados unidos como los átomos. Para la fuerza fuerte que une los quarks a los nucleones a bajas energías, nunca se ha demostrado que la teoría de la perturbación produzca resultados acordes con los experimentos, ^[3] por lo que la validez de la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas" es cuestionable. De manera similar, para estados ligados el método falla. ^[4] En estos casos, la interpretación física debe ser reexaminada. Por ejemplo, los cálculos de la estructura atómica en la física atómica o de la estructura molecular en la química cuántica no podrían repetirse fácilmente, si es que lo hacen, utilizando la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas". ^{[ cita necesaria ]}

El uso de la imagen de la "partícula mediadora de fuerzas" (FMPP) es innecesario en la mecánica cuántica no relativista , y la ley de Coulomb se utiliza tal como se indica en la física atómica y la química cuántica para calcular tanto los estados ligados como los de dispersión. Se puede lograr una teoría cuántica relativista no perturbativa , en la que se conserva la invariancia de Lorentz, evaluando la ley de Coulomb como una interacción de 4 espacios utilizando el vector de posición de 3 espacios de un electrón de referencia que obedece a la ecuación de Dirac y la trayectoria cuántica de un segundo electrón que Depende sólo del tiempo escalado. La trayectoria cuántica de cada electrón en un conjunto se infiere a partir de la corriente de Dirac para cada electrón igualándola a un campo de velocidad multiplicado por una densidad cuántica, calculando un campo de posición a partir de la integral de tiempo del campo de velocidad y, finalmente, calculando una trayectoria cuántica. del valor esperado del campo de posición. Las trayectorias cuánticas, por supuesto, dependen del espín, y la teoría puede validarse comprobando que se obedece el principio de exclusión de Pauli para una colección de fermiones .

Fuerzas clásicas

La fuerza ejercida por una masa sobre otra y la fuerza ejercida por una carga sobre otra son sorprendentemente similares. Ambos caen como el cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Ambos son proporcionales al producto de las propiedades de los cuerpos, la masa en el caso de la gravitación y la carga en el caso de la electrostática.

También tienen una diferencia sorprendente. Dos masas se atraen, mientras que dos cargas iguales se repelen.

En ambos casos, los cuerpos parecen actuar unos sobre otros a distancia. El concepto de campo fue inventado para mediar en la interacción entre cuerpos eliminando así la necesidad de acción a distancia . La fuerza gravitacional está mediada por el campo gravitacional y la fuerza de Coulomb está mediada por el campo electromagnético .

Fuerza gravitacional

La fuerza gravitacional sobre una masa ejercida por otra masa es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {mM}{r^{2}}}\,{\hat {\mathbf {r} }}=m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$

Gconstante gravitacionalrvector unitario ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$

La fuerza también se puede escribir

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right),}$$

campo gravitacional ${\displaystyle \mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right)}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m},}$$

densidad de masa ${\displaystyle \rho _{m}}$

fuerza de culombio

La fuerza electrostática de Coulomb sobre una carga ejercida por una carga es ( unidades SI ) ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$

permitividad del vacíovector unitario ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$

La fuerza de Coulomb también se puede escribir en términos de un campo electrostático :

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right),}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{q}}{\varepsilon _{0}}};}$$

${\displaystyle \rho _{q}}$densidad de carga

Intercambio de partículas virtuales

En la teoría de la perturbación, las fuerzas se generan por el intercambio de partículas virtuales . La mecánica del intercambio de partículas virtuales se describe mejor con la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica. Sin embargo, hay ideas que se pueden obtener sin entrar en la maquinaria de las integrales de trayectoria, como por qué las fuerzas gravitacionales y electrostáticas clásicas disminuyen como el cuadrado inverso de la distancia entre los cuerpos.

Formulación integral de ruta del intercambio de partículas virtuales.

Una partícula virtual se crea por una perturbación del estado de vacío , y la partícula virtual se destruye cuando otra perturbación la absorbe nuevamente al estado de vacío. Se supone que las perturbaciones se deben a cuerpos que interactúan con el campo de la partícula virtual.

La amplitud de probabilidad

Usando unidades naturales , la amplitud de probabilidad para la creación, propagación y destrucción de una partícula virtual está dada, en la formulación integral de trayectoria por ${\displaystyle \hbar =c=1}$

$${\displaystyle Z\equiv \langle 0|\exp \left(-i{\hat {H}}T\right)|0\rangle =\exp \left(-iET\right)=\int D\varphi \;\exp \left(i{\mathcal {S}}[\varphi ]\right)\;=\exp \left(iW\right)}$$

operador hamiltonianoacción ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle W=-ET}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\;{{\mathcal {L}}[\varphi (x)]\,}}$$

lagrangiana ? ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]}$

Aquí, la métrica del espacio-tiempo está dada por

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$

La integral de ruta a menudo se puede convertir a la forma

$${\displaystyle Z=\int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi {\hat {O}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi }$$

espacio-tiempo ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle J}$

La integral se puede escribir (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integrales con operadores diferenciales en el argumento )

$${\displaystyle Z\propto \exp \left(iW\left(J\right)\right)}$$

$${\displaystyle W\left(J\right)=-{\frac {1}{2}}\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J\left(x\right)D\left(x-y\right)J\left(y\right)}$$

propagador ${\displaystyle D\left(x-y\right)}$

$${\displaystyle {\hat {O}}D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

Energía de interacción

Suponemos que hay dos perturbaciones puntuales que representan dos cuerpos y que las perturbaciones son inmóviles y constantes en el tiempo. Las perturbaciones se pueden escribir.

$${\displaystyle J(x)=\left(J_{1}+J_{2},0,0,0\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=a_{1}\delta ^{3}\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}\right)\\J_{2}&=a_{2}\delta ^{3}\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{2}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Si descuidamos las autointeracciones de las perturbaciones, entonces W se convierte en

$${\displaystyle W\left(J\right)=-\iint d^{4}x\;d^{4}y\;J_{1}\left(x\right){\frac {1}{2}}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right]J_{2}\left(y\right),}$$

que se puede escribir

$${\displaystyle W\left(J\right)=-Ta_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

Aquí está la transformada de Fourier de ${\displaystyle D\left(k\right)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[D\left(x-y\right)+D\left(y-x\right)\right].}$$

Finalmente, el cambio de energía debido a las perturbaciones estáticas del vacío es

$${\displaystyle E=-{\frac {W}{T}}=a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

Si esta cantidad es negativa, la fuerza es atractiva. Si es positiva, la fuerza es repulsiva.

Ejemplos de corrientes estáticas, inmóviles e interactivas son el potencial de Yukawa, el potencial de Coulomb en el vacío y el potencial de Coulomb en un plasma simple o gas de electrones.

La expresión para la energía de interacción se puede generalizar a la situación en la que las partículas puntuales se mueven, pero el movimiento es lento en comparación con la velocidad de la luz. Algunos ejemplos son la interacción de Darwin en el vacío y en el plasma.

Finalmente, la expresión de la energía de interacción se puede generalizar a situaciones en las que las perturbaciones no son partículas puntuales, sino posiblemente cargas lineales, tubos de cargas o vórtices de corriente. Los ejemplos incluyen: dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones, el potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético y la interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones. Como se ve en el ejemplo de interacción de Coulomb entre tubos de carga, que se muestra a continuación, estas geometrías más complicadas pueden conducir a fenómenos tan exóticos como los números cuánticos fraccionarios .

Ejemplos seleccionados

El potencial de Yukawa: la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico

Considere la densidad lagrangiana de espín -0 ^{[2] : 21–29}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right].}$$

La ecuación de movimiento para este lagrangiano es la ecuación de Klein-Gordon.

$${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +m^{2}\varphi =0.}$$

Si agregamos una perturbación, la amplitud de probabilidad se vuelve

$${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}\mathbf {x} \;\left[{\frac {1}{2}}\left(\left(\partial \varphi \right)^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)+J\varphi \right]\right\}.}$$

Si integramos por partes y descuidamos los términos límite en el infinito, la amplitud de probabilidad se convierte en

$${\displaystyle Z=\int D\varphi \;\exp \left\{i\int d^{4}x\;\left[-{\frac {1}{2}}\varphi \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi +J\varphi \right]\right\}.}$$

Con la amplitud en esta forma se puede ver que el propagador es la solución de

$${\displaystyle -\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D\left(x-y\right)=\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

De esto se puede ver que

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}.}$$

La energía debida a las perturbaciones estáticas se vuelve (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial de Yukawa: el potencial de Coulomb con masa )

$${\displaystyle E=-{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right)}$$

$${\displaystyle r^{2}=\left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)^{2}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{m}}.}$$

Yukawa propuso que este campo describe la fuerza entre dos nucleones en un núcleo atómico. Le permitió predecir tanto el alcance como la masa de la partícula, ahora conocida como pión , asociada a este campo.

Electrostática

El potencial de Coulomb en el vacío.

Considere el giro -1 Proca Lagrangiano con una perturbación ^{[2] : 30–31}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi (x)]=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }A^{\mu }+A_{\mu }J^{\mu }}$$

$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },}$$

$${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0,}$$

ancho de Lorenz

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$

Además, suponemos que la perturbación sólo tiene un componente temporal . En lenguaje corriente, esto significa que hay carga en los puntos de perturbación, pero no hay corrientes eléctricas. ${\displaystyle J^{0}}$

Si seguimos el mismo procedimiento que hicimos con el potencial de Yukawa encontramos que

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{4}}\int d^{4}xF_{\mu \nu }F^{\mu \nu }&=-{\frac {1}{4}}\int d^{4}x\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A_{\nu }\left(\partial ^{2}A^{\nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\mu }A^{\mu }\right)\\&={\frac {1}{2}}\int d^{4}x\;A^{\mu }\left(\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}\right)A^{\nu },\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right)}$$

$${\displaystyle D_{\mu \nu }\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;\eta _{\mu \nu }{\frac {1}{-k^{2}+m^{2}}}.}$$

Esto produce

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$$

temporal

$${\displaystyle E=+{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right)}$$

En el límite de masa fotónica cero , el lagrangiano se reduce al lagrangiano para el electromagnetismo

$${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}.}$$

Por lo tanto, la energía se reduce a la energía potencial para la fuerza de Coulomb y los coeficientes son proporcionales a la carga eléctrica. A diferencia del caso Yukawa, en este caso electrostático los cuerpos similares se repelen entre sí. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Potencial de Coulomb en un plasma simple o gas de electrones.

Ondas de plasma

La relación de dispersión de las ondas de plasma es ^{[5] : 75–82}

$${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){\frac {T_{e}}{m}}\mathbf {k} ^{2}.}$$

${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$

frecuencia del plasmacarga del electrónmasa del electróntemperaturaconstante de Boltzmannproceso adiabáticoproceso isotérmicoLos efectos de retardo ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{e}}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$ ${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$

Para bajas frecuencias, la relación de dispersión se vuelve

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}+\mathbf {k} _{D}^{2}=0}$$

$${\displaystyle k_{D}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{T_{e}}}}$$

longitud de Debye

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{k^{2}+k_{D}^{2}}}.}$$

De hecho, si no se desprecian los efectos de retardo, entonces la relación de dispersión es

$${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+k_{D}^{2}-{\frac {m}{T_{e}}}k_{0}^{2}=0,}$$

$${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{D}r\right).}$$

Plasmones

En un gas de electrones cuánticos , las ondas de plasma se conocen como plasmones . La detección de Debye se reemplaza con la detección de Thomas-Fermi para producir ^[6]

$${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{s}r\right)}$$

$${\displaystyle k_{s}^{2}={\frac {6\pi ne^{2}}{\varepsilon _{F}}}}$$

energía de Fermi ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ ${\textstyle \varepsilon _{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}.}$

Esta expresión se puede derivar del potencial químico de un gas de electrones y de la ecuación de Poisson . El potencial químico de un gas de electrones cerca del equilibrio es constante y está dado por

$${\displaystyle \mu =-e\varphi +\varepsilon _{F}}$$

potencial eléctricoonda de plasma ${\displaystyle \varphi }$

Dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones.

Consideremos una línea de carga con eje en la dirección z incrustada en un gas de electrones.

$${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{B}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$

xyfunción delta de Dirac ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{B}}$

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$

de Debye-Hückelde detección inversa de Thomas-Fermi ? ${\displaystyle k_{Ds}}$

La energía de interacción es

$${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$

funciones de BesselIntegrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración del propagador cilíndrico con masa ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$ ${\displaystyle K_{0}(x)}$ ${\displaystyle r_{12}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr)=K_{0}(mr).}$$

Para , tenemos ${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$

$${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\to -\ln \left({\frac {k_{Ds}r_{12}}{2}}\right)+0.5772.}$$

Potencial de Coulomb entre dos bucles de corriente incrustados en un campo magnético

Energía de interacción para vórtices.

Consideremos una densidad de carga en un tubo con eje a lo largo de un campo magnético incrustado en un gas de electrones.

$${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$

centro guía ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L_{B}}$

$${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$

frecuencia del ciclotrónunidades gaussianas

$${\displaystyle \omega _{c}={\frac {a_{1}B}{{\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}}$$

$${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2\hbar \omega _{c}}{m_{1}}}}}$$

los niveles de Landau

En esta geometría, la energía de interacción se puede escribir

$${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

función de Bessel ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)={\mathcal {J}}_{0}(p).}$$

Campo eléctrico debido a una perturbación de densidad.

El potencial químico cerca del equilibrio está dado por

$${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$$

energía potencialpotencial eléctrico ${\displaystyle -e\varphi }$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle N}$

La fluctuación de densidad es entonces

$${\displaystyle \delta n={\frac {e\varphi }{\hbar \omega _{c}A_{M}L_{B}}}}$$

${\displaystyle A_{M}}$

La ecuación de Poisson produce

$${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$$

$${\displaystyle k_{B}^{2}={\frac {4\pi e^{2}}{\hbar \omega _{c}A_{M}L_{B}}}.}$$

El propagador es entonces

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={\frac {1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$

$${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}$$

unidades gaussianas

En analogía con los plasmones , el portador de fuerza es la versión cuántica de la oscilación híbrida superior , que es una onda de plasma longitudinal que se propaga perpendicular al campo magnético.

Corrientes con momento angular.

Corrientes de función delta

Figura 1. Energía de interacción versus r para estados de momento angular de valor uno. Las curvas son idénticas a éstas para cualquier valor de . Las longitudes están en unidades en y la energía está en unidades de . Aquí . Tenga en cuenta que existen mínimos locales para valores grandes de . ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle r_{\ell }}$ ${\textstyle {\frac {e^{2}}{L_{B}}}}$ ${\displaystyle r=r_{12}}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Figura 2. Energía de interacción versus r para estados de momento angular de valor uno y cinco.

Figura 3. Energía de interacción versus r para varios valores de theta. La energía más baja es para o . La energía más alta representada es para . Las longitudes están en unidades de . ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}=1}$ ${\textstyle \theta =0.90{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$

Figura 4. Energías del estado fundamental para valores pares e impares de momentos angulares. La energía se representa en el eje vertical y r en el horizontal. Cuando el momento angular total es par, el mínimo de energía ocurre cuando o . Cuando el momento angular total es impar, no hay valores enteros de momentos angulares que se encuentren en el mínimo de energía. Por lo tanto, hay dos estados que se encuentran a cada lado del mínimo. Porque , la energía total es mayor que en el caso de un valor dado de . ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\textstyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \ell \neq \ell '}$ ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$

A diferencia de las corrientes clásicas, los bucles de corriente cuántica pueden tener varios valores del radio de Larmor para una energía determinada. ^{[7] : 187-190} niveles de Landau , los estados de energía de una partícula cargada en presencia de un campo magnético, son múltiplesmente degenerados . Los bucles de corriente corresponden a estados de momento angular de la partícula cargada que pueden tener la misma energía. Específicamente, la densidad de carga alcanza su máximo alrededor de radios de

$${\displaystyle r_{\ell }={\sqrt {\ell }}\;r_{B}\;\;\;\ell =0,1,2,\ldots }$$

número cuánticoradio de Larmor ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle \ell >0}$ ${\displaystyle \ell '\geq \ell }$ ${\displaystyle r_{\ell }}$

$${\displaystyle E=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{\ell }^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {\frac {\ell '}{\ell }}}\;k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{\ell }}}\right).}$$

La energía de interacción para se da en la Figura 1 para varios valores de . La energía para dos valores diferentes se da en la Figura 2. ${\displaystyle \ell =\ell '}$ ${\displaystyle k_{B}r_{\ell }}$

Cuasipartículas

Para valores grandes de momento angular, la energía puede tener mínimos locales a distancias distintas de cero e infinito. Se puede verificar numéricamente que los mínimos ocurren en

$${\displaystyle r_{12}=r_{\ell \ell '}={\sqrt {\ell +\ell '}}\;r_{B}.}$$

Esto sugiere que el par de partículas que están unidas y separadas por una distancia actúan como una única cuasipartícula con momento angular . ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$ ${\displaystyle \ell +\ell '}$

Si escalamos las longitudes como , entonces la energía de interacción se vuelve ${\displaystyle r_{\ell \ell '}}$

$${\displaystyle E={\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{\ell \ell '}^{2}}}\;{\mathcal {J}}_{0}\left(\cos \theta \,k\right)\;{\mathcal {J}}_{0}(\sin \theta \,k)\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{\ell \ell '}}}\right)}}$$

$${\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {\frac {\ell }{\ell '}}}.}$$

El valor de en el cual la energía es mínima, es independiente de la relación . Sin embargo, el valor de la energía mínima depende de la relación. El mínimo de energía más bajo ocurre cuando ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle r_{12}=r_{\ell \ell '}}$ ${\textstyle \tan \theta ={\sqrt {{\ell }/{\ell '}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}=1.}$$

Cuando la relación difiere de 1, entonces el mínimo de energía es mayor (Figura 3). Por lo tanto, para valores pares de impulso total, la energía más baja ocurre cuando (Figura 4)

$${\displaystyle \ell =\ell '=1}$$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{2}}}$$

$${\displaystyle \ell ^{*}=\ell +\ell '.}$$

Cuando el momento angular total es impar, los mínimos no pueden ocurrir. Los estados de energía más bajos para el momento angular total impar ocurren cuando ${\displaystyle \ell =\ell '.}$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}=\;{\frac {\ell ^{*}\pm 1}{2\ell ^{*}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

efecto Hall cuántico fraccionario

Densidad de carga repartida sobre una función de onda.

En realidad, la densidad de carga no está concentrada en una función delta. La carga se distribuye sobre una función de onda. En ese caso la densidad electrónica es ^{[7] : 189}

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi r_{B}^{2}L_{B}}}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {r}{r_{B}}}\right)^{2l}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{r_{B}^{2}}}\right).}$$

La energía de interacción se vuelve

$${\displaystyle E=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}\;M{\left(\ell +1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;M{\left(\ell '+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right)}\;{\mathcal {J}}_{0}{\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}}$$

función hipergeométrica confluentefunción de KummerIntegrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración sobre una función de onda magnética ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\frac {2}{n!}}\int _{0}^{\infty }dr\;r^{2n+1}e^{-r^{2}}J_{0}(kr)=M\left(n+1,1,-{\frac {k^{2}}{4}}\right).}$$

Al igual que con las cargas de función delta, el valor de en el que la energía es un mínimo local sólo depende del momento angular total, no de los momentos angulares de las corrientes individuales. Además, al igual que con las cargas de función delta, la energía mínima aumenta a medida que la relación de los momentos angulares varía de uno. Por tanto, la serie ${\displaystyle r_{12}}$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}},{\text{etc.,}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\ell }{\ell ^{*}}}={\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{7}},{\text{etc.,}}}$$

También aparecen en el caso de cargas dispersas por la función de onda.

La función de onda de Laughlin es una alternativa a la función de onda de cuasipartícula. Si el valor esperado de la energía de interacción se toma sobre una función de onda de Laughlin , estas series también se conservan.

Magnetostática

Interacción de Darwin en el vacío

Una partícula cargada en movimiento puede generar un campo magnético que afecta el movimiento de otra partícula cargada. La versión estática de este efecto se llama interacción de Darwin . Para calcular esto, considere las corrientes eléctricas en el espacio generadas por una carga en movimiento.

$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {x} \right)}=a_{1}\mathbf {v} _{1}\delta ^{3}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}\right)}}$$

${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

La transformada de Fourier de esta corriente es

$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {k} \right)}=a_{1}\mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right).}$$

La corriente se puede descomponer en una parte transversal y una longitudinal (ver descomposición de Helmholtz ).

$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}{\left(\mathbf {k} \right)}=a_{1}\left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right)+a_{1}\left[{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{1}\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{1}\right).}$$

El sombrero indica un vector unitario . El último término desaparece porque

$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} =-k_{0}J^{0}\to 0,}$$

${\displaystyle k_{0}}$

Con la corriente en esta forma la energía de interacción se puede escribir

$${\displaystyle E=a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}}}\;\;D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right).}$$

La ecuación del propagador del Proca Lagrangiano es

$${\displaystyle \eta _{\mu \alpha }\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)D^{\alpha \nu }\left(x-y\right)=\delta _{\mu }^{\nu }\delta ^{4}\left(x-y\right).}$$

La solución espacial es

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}},}$$

$${\displaystyle E=-a_{1}a_{2}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}}}\;\;{\frac {\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1-{\hat {\mathbf {k} }}{\hat {\mathbf {k} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}{k^{2}+m^{2}}}\;\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)\right),}$$

Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Potencial transversal con masa ${\textstyle k=|\mathbf {k} |}$

$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}e^{-mr}\left\{{\frac {2}{\left(mr\right)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)-{\frac {2}{mr}}\right\}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$

$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$$

m

Interacción de Darwin en un plasma.

En un plasma, la relación de dispersión de una onda electromagnética es ^{[5] : 100–103} ( ) ${\displaystyle c=1}$

$${\displaystyle k_{0}^{2}=\omega _{p}^{2}+k^{2},}$$

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {1}{k^{2}+\omega _{p}^{2}}}.}$$

Aquí está la frecuencia del plasma . Por lo tanto, la energía de interacción es ${\displaystyle \omega _{p}}$

$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[1+{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\cdot \mathbf {v} _{2}\;e^{-\omega _{p}r}\left\{{\frac {2}{\left(\omega _{p}r\right)^{2}}}\left(e^{\omega _{p}r}-1\right)-{\frac {2}{\omega _{p}r}}\right\}.}$$

Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones.

La energía de interacción

Considere un tubo de corriente que gira en un campo magnético incrustado en un plasma simple o gas de electrones. La corriente que se encuentra en el plano perpendicular al campo magnético se define como

$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(\mathbf {x} )=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}\left({\hat {\mathbf {b} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\right)}$$

$${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}}$$

vector de ondaonda transversal ${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$ ${\displaystyle L_{B}}$

La energía de interacción es

$${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\left(kr_{12}\right)}}$$

función de Bessel ${\displaystyle r_{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

Ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración angular en coordenadas cilíndricas .

Una corriente en un plasma confinado al plano perpendicular al campo magnético genera una onda extraordinaria . ^{[5] : 110–112} Esta onda genera corrientes Hall que interactúan y modifican el campo electromagnético. La relación de dispersión para ondas extraordinarias es ^{[5] : 112}

$${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+\omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}}}=0,}$$

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({\frac {1}{k^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle k_{X}\equiv {\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{H}}}}$$

$${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$$

frecuencia del ciclotrónunidades gaussianas

$${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{mc}},}$$

frecuencia del plasmaunidades gaussianas

$${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}.}$$

Aquí n es la densidad del electrón, e es la magnitud de la carga del electrón y m es la masa del electrón.

La energía de interacción se vuelve, para corrientes similares,

$${\displaystyle E=-\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

Límite de pequeña distancia entre bucles actuales.

En el límite en que la distancia entre los bucles actuales es pequeña,

$${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}{\left(\mu \right)}K_{1}{\left(\mu \right)}}$$

$${\displaystyle E_{0}=\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}}$$

$${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}}}=k_{X}\;r_{B}}$$

IK

Hemos hecho uso de la integral (ver Integrales comunes en la teoría cuántica de campos § Integración del propagador cilíndrico con masa )

$${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$$

Para m pequeño la integral se convierte en

$${\displaystyle I_{1}{\left(mr\right)}K_{1}{\left(mr\right)}\to {\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\left(mr\right)^{2}\right].}$$

Para mr grande la integral se convierte en

$${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {\frac {1}{2}}\;\left({\frac {1}{mr}}\right).}$$

Relación con el efecto Hall cuántico

El número de onda de detección se puede escribir ( unidades gaussianas )

$${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}c}}=\left({\frac {2e^{2}r_{B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$

constante de estructura fina ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi N\hbar c}{eBA}}}$$

NAefecto Hall cuánticoefecto Hall cuántico fraccionariolos estados de Landau

Para casos de interés en el efecto Hall cuántico, es pequeño. En ese caso la energía de interacción es ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle E=-{\frac {E_{0}}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\mu ^{2}\right]}$$

unidades gaussianas

$${\displaystyle E_{0}={4\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\hbar \omega _{c}.}$$

Gravitación

El tensor tensión-energía genera una perturbación gravitacional ; en consecuencia, el lagrangiano del campo gravitacional es espín -2. Si las perturbaciones están en reposo, entonces el único componente del tensor tensión-energía que persiste es el componente. Si usamos el mismo truco de darle algo de masa al gravitón y luego llevar la masa a cero al final del cálculo, el propagador se convierte en ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle 00}$

$${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;-{\frac {4}{3}}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}}$$

$${\displaystyle E=-{\frac {4}{3}}{\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-mr\right),}$$

^{[2] : 32–37}

Sin embargo, a diferencia del caso electrostático, tomar el límite de masa pequeña del bosón no produce el resultado correcto. Un tratamiento más riguroso produce un factor de uno en la energía en lugar de 4/3. ^{[2] : 35}

Referencias

1. Jaeger, Gregg (2019). "¿Son las partículas virtuales menos reales?". Entropía . 21 (2): 141. Bibcode : 2019Entrp..21..141J. doi : 10.3390/e21020141 . PMC  7514619 . PMID  33266857.
2. Zee, A. (2003). La teoría cuántica de campos en pocas palabras . Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01019-6.
3. "Grupo de Física de Altas Energías - Física Hadrónica". Archivado desde el original el 17 de julio de 2011 . Consultado el 31 de agosto de 2010 .
4. "Teoría de la perturbación independiente del tiempo". virginia.edu .
5. Chen, Francis F. (1974). Introducción a la Física del Plasma . Prensa del Pleno. ISBN 0-306-30755-3.
6. C. Kittel (1976). Introducción a la Física del Estado Sólido (Quinta ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-49024-5.págs. 296-299.
7. Ezewa, Zyun F. (2008). Efectos Hall cuánticos: enfoque teórico de campo y temas relacionados (Segunda ed.). Científico mundial. ISBN 978-981-270-032-2.