función de kummer

función matemática

En matemáticas , existen varias funciones conocidas como función de Kummer . Una de ellas se conoce como función hipergeométrica confluente de Kummer. Otro, definido a continuación, está relacionado con el polilogaritmo . Ambos llevan el nombre de Ernst Kummer .

La función de Kummer está definida por

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\log ^{n-1}|t|}{1+t}}\;dt.}$

La fórmula de duplicación es

${\displaystyle \Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})}$.

Compare esto con la fórmula de duplicación del polilogaritmo:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)+\operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _{n}(z^{2}).}$

Un vínculo explícito con el polilogaritmo viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].}$

Referencias

• Lewin, Leonard, ed. (1991), Propiedades estructurales de los polilogaritmos , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-4532-2.