Integrales comunes en la teoría cuántica de campos.

Las integrales comunes en la teoría cuántica de campos son todas las variaciones y generalizaciones de las integrales gaussianas al plano complejo y a múltiples dimensiones. ^{[1] : 13–15} Otras integrales pueden aproximarse mediante versiones de la integral gaussiana. También se consideran las integrales de Fourier.

Variaciones sobre una integral gaussiana simple

integral gaussiana

La primera integral, con amplia aplicación fuera de la teoría cuántica de campos, es la integral gaussiana. $${\displaystyle G\equiv \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx}$$

En física es común el factor 1/2 en el argumento de la exponencial.

Nota: $${\displaystyle G^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx\right)\cdot \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}y^{2}}\,dy\right)=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-{1 \over 2}r^{2}}\,dr=2\pi \int _{0}^{\infty }e^{-w}\,dw=2\pi .}$$

Así obtenemos $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi }}.}$$

Ligera generalización de la integral gaussiana.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi \over a}}}$$donde hemos escalado $${\displaystyle x\to {x \over {\sqrt {a}}}.}$$

Integrales de exponentes e incluso potencias deX

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=-2{d \over da}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=-2{d \over da}\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}{1 \over a}}$$y $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{4}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left(-2{d \over da}\right)\left(-2{d \over da}\right)\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left(-2{d \over da}\right)\left(-2{d \over da}\right)\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}{3 \over a^{2}}}$$

En general $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over {2}}{1 \over a^{n}}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots 5\cdot 3\cdot 1=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over {2}}{1 \over a^{n}}\left(2n-1\right)!!}$$

Tenga en cuenta que las integrales de exponentes y potencias impares de x son 0, debido a la simetría impar .

Integrales con término lineal en el argumento del exponente

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}ax^{2}+Jx\right)dx}$$

Esta integral se puede realizar completando el cuadrado: $${\displaystyle \left(-{1 \over 2}ax^{2}+Jx\right)=-{1 \over 2}a\left(x^{2}-{2Jx \over a}+{J^{2} \over a^{2}}-{J^{2} \over a^{2}}\right)=-{1 \over 2}a\left(x-{J \over a}\right)^{2}+{J^{2} \over 2a}}$$

Por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over 2}ax^{2}+Jx\right)\,dx&=\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over 2}a\left(x-{J \over a}\right)^{2}\right]\,dx\\[8pt]&=\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over 2}aw^{2}\right)\,dw\\[8pt]&=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\end{aligned}}}$$

Integrales con un término lineal imaginario en el argumento del exponente

La integral es proporcional a la transformada de Fourier de la gaussiana donde J es la variable conjugada de x . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over 2}ax^{2}+iJx\right)dx=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{J^{2} \over 2a}\right)}$$

Completando nuevamente el cuadrado vemos que la transformada de Fourier de una Gaussiana también es Gaussiana, pero en la variable conjugada. Cuanto mayor es a , más estrecha es la gaussiana en x y más ancha es la gaussiana en J. Esta es una demostración del principio de incertidumbre .

Esta integral también se conoce como transformación de Hubbard-Stratonovich y se utiliza en teoría de campos.

Integrales con argumento complejo del exponente.

La integral de interés es (para ver un ejemplo de una aplicación, consulte Relación entre la ecuación de Schrödinger y la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica ) $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)dx.}$$

Ahora suponemos que a y J pueden ser complejos.

Completando el cuadrado $${\displaystyle \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)={1 \over 2}ia\left(x^{2}+{2Jx \over a}+\left({J \over a}\right)^{2}-\left({J \over a}\right)^{2}\right)=-{1 \over 2}{a \over i}\left(x+{J \over a}\right)^{2}-{iJ^{2} \over 2a}.}$$

Por analogía con las integrales anteriores. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)dx=\left({2\pi i \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left({-iJ^{2} \over 2a}\right).}$$

Este resultado es válido como integración en el plano complejo siempre que a sea distinto de cero y tenga una parte imaginaria semipositiva. Véase integral de Fresnel .

Integrales gaussianas en dimensiones superiores

Las integrales unidimensionales se pueden generalizar a múltiples dimensiones. ^[2] $${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+J\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$$

Aquí A es una matriz simétrica definida positiva real .

Esta integral se realiza mediante la diagonalización de A con una transformación ortogonal donde D es una matriz diagonal y O es una matriz ortogonal . Esto desacopla las variables y permite que la integración se realice como n integraciones unidimensionales. $${\displaystyle D=O^{-1}AO=O^{\text{T}}AO}$$

Esto se ilustra mejor con un ejemplo bidimensional.

Ejemplo: integración gaussiana simple en dos dimensiones

La integral gaussiana en dos dimensiones es donde A es una matriz simétrica bidimensional con componentes especificadas como y hemos utilizado la convención de suma de Einstein . $${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}A_{ij}x^{i}x^{j}\right)d^{2}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{2}}{\det A}}}}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\c&b\end{bmatrix}}}$$

Diagonalizar la matriz

El primer paso es diagonalizar la matriz. ^[3] Tenga en cuenta que , dado que A es una matriz simétrica real , podemos elegir que O sea ortogonal y, por tanto, también una matriz unitaria . O se puede obtener a partir de los vectores propios de A. Elegimos O tal que: D ≡ O ^T AO es diagonal. $${\displaystyle A_{ij}x^{i}x^{j}\equiv x^{\text{T}}Ax=x^{\text{T}}\left(OO^{\text{T}}\right)A\left(OO^{\text{T}}\right)x=\left(x^{\text{T}}O\right)\left(O^{\text{T}}AO\right)\left(O^{\text{T}}x\right)}$$

Valores propios deA

Para encontrar los vectores propios de A , primero se encuentran los valores propios λ de A dados por $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\c&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.}$$

Los valores propios son soluciones del polinomio característico que se encuentran mediante la ecuación cuadrática : $${\displaystyle (a-\lambda )(b-\lambda )-c^{2}=0}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}-\lambda (a+b)+ab-c^{2}=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\pm }&={\tfrac {1}{2}}(a+b)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a+b)^{2}-4(ab-c^{2})}}.\\&={\tfrac {1}{2}}(a+b)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+2ab+b^{2}-4ab+4c^{2}}}.\\&={\tfrac {1}{2}}(a+b)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a-b)^{2}+4c^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Vectores propios deA

La sustitución de los valores propios en la ecuación del vector propio produce $${\displaystyle v=-{\left(a-\lambda _{\pm }\right)u \over c},\qquad v=-{cu \over \left(b-\lambda _{\pm }\right)}.}$$

De la ecuación característica sabemos $${\displaystyle {a-\lambda _{\pm } \over c}={c \over b-\lambda _{\pm }}.}$$

También tenga en cuenta $${\displaystyle {a-\lambda _{\pm } \over c}=-{b-\lambda _{\mp } \over c}.}$$

Los vectores propios se pueden escribir como: para los dos vectores propios. Aquí η es un factor de normalización dado por, $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}\\[1ex]-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}-{\frac {b-\lambda _{+}}{c\eta }}\\[1ex]{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \eta ={\sqrt {1+\left({\frac {a-\lambda _{-}}{c}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {b-\lambda _{+}}{c}}\right)^{2}}}.}$$

Se verifica fácilmente que los dos vectores propios son ortogonales entre sí.

Construcción de la matriz ortogonal.

La matriz ortogonal se construye asignando los vectores propios normalizados como columnas en la matriz ortogonal.

$${\displaystyle O={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}&-{\frac {b-\lambda _{+}}{c\eta }}\\-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}&{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}.}$$

Tenga en cuenta que det( O ) = 1 .

Si definimos entonces se puede escribir la matriz ortogonal que es simplemente una rotación de los vectores propios con la inversa: $${\displaystyle \sin(\theta )=-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}}$$ $${\displaystyle O={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle O^{-1}=O^{\text{T}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$$

Matriz diagonal

La matriz diagonal se convierte en vectores propios. $${\displaystyle D=O^{\text{T}}AO={\begin{bmatrix}\lambda _{-}&0\\[1ex]0&\lambda _{+}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

Ejemplo numérico

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}}$$

Los valores propios son $${\displaystyle \lambda _{\pm }={3 \over 2}\pm {{\sqrt {5}} \over 2}.}$$

Los vectores propios están donde $${\displaystyle {1 \over \eta }{\begin{bmatrix}1\\[1ex]-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\end{bmatrix}},\qquad {1 \over \eta }{\begin{bmatrix}{1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\\[1ex]1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \eta ={\sqrt {{5 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}}}.}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}O&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}&{\frac {1}{\eta }}\left({1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\right)\\{\frac {1}{\eta }}\left(-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\right)&{1 \over \eta }\end{bmatrix}}\\O^{-1}&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}&{\frac {1}{\eta }}\left(-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\right)\\{\frac {1}{\eta }}\left({1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\right)&{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

La matriz diagonal se convierte en vectores propios. $${\displaystyle D=O^{\text{T}}AO={\begin{bmatrix}\lambda _{-}&0\\0&\lambda _{+}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{3 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}&0\\0&{3 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

Reescalar las variables e integrar

Con la diagonalización se puede escribir la integral donde $${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x^{\text{T}}Ax\right)d^{2}x=\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{2}\lambda _{j}y_{j}^{2}\right)\,d^{2}y}$$ $${\displaystyle y=O^{\text{T}}x.}$$

Dado que la transformación de coordenadas es simplemente una rotación de coordenadas, el determinante jacobiano de la transformación es uno que produce $${\displaystyle d^{2}y=d^{2}x}$$

Ahora se pueden realizar las integraciones: cuál es la solución anunciada. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax\right)d^{2}x={}&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{2}\lambda _{j}y_{j}^{2}\right)d^{2}y\\[1ex]={}&\prod _{j=1}^{2}\left({2\pi \over \lambda _{j}}\right)^{1/2}\\={}&\left({(2\pi )^{2} \over \prod _{j=1}^{2}\lambda _{j}}\right)^{1/2}\\[1ex]={}&\left({(2\pi )^{2} \over \det {\left(O^{-1}AO\right)}}\right)^{1/2}\\[1ex]={}&\left({(2\pi )^{2} \over \det {\left(A\right)}}\right)^{1/2}\end{aligned}}}$$

Integrales con términos complejos y lineales en múltiples dimensiones.

Con el ejemplo bidimensional ahora es fácil ver la generalización al plano complejo y a múltiples dimensiones.

Integrales con un término lineal en el argumento.

$${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+J\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$$

Integrales con un término lineal imaginario

$${\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left(-{1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$$

Integrales con un término cuadrático complejo

$${\displaystyle \int \exp \left({\frac {i}{2}}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi i)^{n}}{\det A}}}\exp \left(-{i \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)}$$

Integrales con operadores diferenciales en el argumento.

Como ejemplo, considere la integral ^{[1] : 21‒22} donde es un operador diferencial con y J funciones del espaciotiempo e indica la integración en todos los caminos posibles. En analogía con la versión matricial de esta integral, la solución es donde y D ( x − y ) , llamado propagador , es la inversa de y es la función delta de Dirac . $${\displaystyle \int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi }$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D\varphi }$ $${\displaystyle \int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left({1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right)}$$ $${\displaystyle {\hat {A}}D(x-y)=\delta ^{4}(x-y)}$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \delta ^{4}(x-y)}$

Argumentos similares producen y $${\displaystyle \int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +iJ\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left(-{1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right),}$$ $${\displaystyle \int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left(-{i \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right).}$$

Consulte Formulación de integral de ruta del intercambio de partículas virtuales para conocer una aplicación de esta integral.

Integrales que pueden aproximarse mediante el método del descenso más pronunciado.

En la teoría cuántica de campos, las integrales n-dimensionales de la forma aparecen a menudo. Aquí está la constante de Planck reducida y f es una función con un mínimo positivo en . Estas integrales se pueden aproximar mediante el método del descenso más pronunciado . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over \hbar }f(q)\right)d^{n}q}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle q=q_{0}}$

Para valores pequeños de la constante de Planck, f se puede expandir alrededor de su mínimo. Aquí está la matriz n por n de segundas derivadas evaluadas en el mínimo de la función. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)+{1 \over 2}\left(q-q_{0}\right)^{2}f^{\prime \prime }\left(q-q_{0}\right)+\cdots \right)\right]d^{n}q.}$$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }}$

Si descuidamos los términos de orden superior, esta integral se puede integrar explícitamente. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }(f(q))\right]d^{n}q\approx \exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)\right)\right]{\sqrt {(2\pi \hbar )^{n} \over \det f^{\prime \prime }}}.}$$

Integrales que pueden aproximarse por el método de fase estacionaria

Una integral común es una integral de trayectoria de la forma donde es la acción clásica y la integral abarca todas las trayectorias posibles que puede tomar una partícula. En el límite de pequeña la integral se puede evaluar en la aproximación de fase estacionaria . En esta aproximación, la integral está sobre el camino en el que la acción es mínima. Por tanto, esta aproximación recupera el límite clásico de la mecánica . $${\displaystyle \int \exp \left({i \over \hbar }S\left(q,{\dot {q}}\right)\right)Dq}$$ ${\displaystyle S\left(q,{\dot {q}}\right)}$ ${\displaystyle \hbar }$

Integrales de Fourier

Distribución del delta de Dirac

La distribución delta de Dirac en el espacio-tiempo se puede escribir como una transformada de Fourier ^{[1] : 23} $${\displaystyle \int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\exp(ik(x-y))=\delta ^{4}(x-y).}$$

En general, para cualquier dimensión. ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \int {\frac {d^{N}k}{(2\pi )^{N}}}\exp(ik(x-y))=\delta ^{N}(x-y).}$$

Integrales de Fourier de formas del potencial de Coulomb

Laplaciano de 1/r

Si bien no es una integral, la identidad en el espacio euclidiano tridimensional es una consecuencia del teorema de Gauss y puede usarse para derivar identidades integrales. Para ver un ejemplo, consulte Campos vectoriales longitudinales y transversales . $${\displaystyle -{1 \over 4\pi }\nabla ^{2}\left({1 \over r}\right)=\delta \left(\mathbf {r} \right)}$$ $${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} }$$

Esta identidad implica que la representación integral de Fourier de 1/ r es $${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}}={1 \over 4\pi r}.}$$

Potencial de Yukawa: el potencial de Coulomb con masa

El potencial de Yukawa en tres dimensiones se puede representar como una integral sobre una transformada de Fourier ^{[1] : 26, 29} donde $${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}={e^{-mr} \over 4\pi r}}$$ $${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ,\qquad k^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} .}$$

Consulte Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales para conocer una aplicación de esta integral.

En el límite m pequeño la integral se reduce a ⁠1/4 πr⁠ .

Para derivar este resultado, tenga en cuenta: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du{e^{ikru} \over k^{2}+m^{2}}\\[1ex]={}&{2 \over r}\int _{0}^{\infty }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}}{\sin(kr) \over k^{2}+m^{2}}\\[1ex]={}&{1 \over ir}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}}{e^{ikr} \over k^{2}+m^{2}}\\[1ex]={}&{1 \over ir}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}}{e^{ikr} \over (k+im)(k-im)}\\[1ex]={}&{1 \over ir}{\frac {2\pi i}{(2\pi )^{2}}}{\frac {im}{2im}}e^{-mr}\\[1ex]={}&{\frac {1}{4\pi r}}e^{-mr}\end{aligned}}}$$

Potencial de Coulomb modificado con masa

$${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[1+{\frac {2}{mr}}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)\right]}$$donde el sombrero indica un vector unitario en un espacio tridimensional. La derivación de este resultado es la siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du\ u^{2}{\frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}\left[{\frac {1}{kr}}\sin(kr)+{\frac {2}{(kr)^{2}}}\cos(kr)-{\frac {2}{(kr)^{3}}}\sin(kr)\right]\\[1ex]&={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[1+{\frac {2}{mr}}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)\right]\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que en el límite m pequeño la integral va al resultado del potencial de Coulomb ya que el término entre paréntesis va a 1 .

Potencial longitudinal con masa.

$${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} {\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)}$$donde el sombrero indica un vector unitario en un espacio tridimensional. La derivación de este resultado es la siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} {\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left[\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} +\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {\theta }} \right)^{2}\mathbf {\hat {\theta }} \mathbf {\hat {\theta }} +\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {\phi }} \right)^{2}\mathbf {\hat {\phi }} \mathbf {\hat {\phi }} \right]{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left\{\mathbf {1} -{1 \over 2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right\}+\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du{\frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}{1 \over 2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\\[1ex]&={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+{e^{-mr} \over 4\pi r}\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left\{{1 \over 2}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right\}\\[1ex]&={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que en el límite m pequeño la integral se reduce a $${\displaystyle {1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].}$$

Potencial transversal con masa

$${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}={1 \over 2}{e^{-mr} \over 4\pi r}\left\{{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)-{2 \over mr}\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]}$$

En el límite pequeño de mr la integral va a $${\displaystyle {1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].}$$

Para distancias grandes, la integral cae como el cubo inverso de r $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi m^{2}r^{3}}}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].}$$

Para aplicaciones de esta integral, consulte Darwin Lagrangiano e Interacción de Darwin en el vacío .

Integración angular en coordenadas cilíndricas

Hay dos integrales importantes. La integración angular de una exponencial en coordenadas cilíndricas se puede escribir en términos de funciones de Bessel de primera clase ^{[4] [5] : 113} y $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)=J_{0}(p)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\cos(\varphi )\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)=iJ_{1}(p).}$$

Para aplicaciones de estas integrales, consulte Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones .

Funciones de Bessel

Integración del propagador cilíndrico con masa.

Primera potencia de una función de Bessel

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{0}\left(kr\right)=K_{0}(mr).}$$

Véase Abramowitz y Stegun. ^{[6] : §11.4.44}

Para , tenemos ^{[5] : 116} ${\displaystyle mr\ll 1}$ $${\displaystyle K_{0}(mr)\to -\ln \left({mr \over 2}\right)+0.5772.}$$

Para una aplicación de esta integral, consulte Dos cargas lineales incrustadas en un plasma o gas de electrones .

Funciones cuadradas de Bessel

La integración del propagador en coordenadas cilíndricas es ^[4] $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)=I_{1}(mr)K_{1}(mr).}$$

Para m pequeño la integral se convierte en $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\left[1-{1 \over 8}(mr)^{2}\right].}$$

Para mr grande la integral se convierte en $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\left({1 \over mr}\right).}$$

Para aplicaciones de esta integral, consulte Interacción magnética entre bucles de corriente en un plasma simple o gas de electrones .

En general, $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{\nu }^{2}(kr)=I_{\nu }(mr)K_{\nu }(mr)\qquad \Re (\nu )>-1.}$$

Integración sobre una función de onda magnética.

La integral bidimensional sobre una función de onda magnética es ^{[6] : §11.4.28} $${\displaystyle {2a^{2n+2} \over n!}\int _{0}^{\infty }{dr}\;r^{2n+1}\exp \left(-a^{2}r^{2}\right)J_{0}(kr)=M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 4a^{2}}\right).}$$

Aquí, M es una función hipergeométrica confluente . Para una aplicación de esta integral, consulte Densidad de carga repartida sobre una función de onda .

Ver también

• Relación entre la ecuación de Schrödinger y la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica

Referencias

1. A. Zee (2003). La teoría cuántica de campos en pocas palabras . Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01019-6.
2. Frederick W. Byron y Robert W. Fuller (1969). Matemáticas de la Física Clásica y Cuántica . Addison-Wesley. ISBN 0-201-00746-0.
3. Herbert S. Wilf (1978). Matemáticas para las Ciencias Físicas . Dover. ISBN 0-486-63635-6.
4. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
5. Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
6. M. Abramowitz; I. Stegun (1965). Manual de funciones matemáticas . Dover. ISBN 0486-61272-4.